專題二十三 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用【高頻考點(diǎn)解讀】 能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題. 【熱點(diǎn)題型】題型一 考查測(cè)量距離例1、如圖所示，有兩座建筑物AB和CD都在河的對(duì)岸(不知道它們的高度，且不能到達(dá)對(duì)岸)，某人想測(cè)量?jī)勺ㄖ锛忭擜、C之間的距離，但只有卷尺和測(cè)量?jī)x兩種工具若此人在地面上選一條基線EF，用卷尺測(cè)得EF的長(zhǎng)度為a，并用測(cè)角儀測(cè)量了一些角度：AEF，AFE，CEF，CFE，AEC.請(qǐng)你用文字和公式寫出計(jì)算A、C之間距離的步驟和結(jié)果 【提分秘籍】求距離問題時(shí)要注意(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解；(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理【舉一反三】隔河看兩目標(biāo)A與B，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距 km的C，D兩點(diǎn)，同時(shí)，測(cè)得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A，B之間的距離 【熱點(diǎn)題型】題型二 考查高度問題例2、如圖，在湖面上高為10 m處測(cè)得天空中一朵云的仰角為30，測(cè)得湖中之影的俯角為45，則云距湖面的高度為(精確到0.1 m)()A2.7 mB17.3 mC37.3 m D373 m【提分秘籍】求解高度問題首先應(yīng)分清(1)在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)視線與水平線的夾角；(2)準(zhǔn)確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖；(3)運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運(yùn)用【舉一反三】如圖，為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60，再由點(diǎn)C沿北偏東15方向走10米到位置D，測(cè)得BDC45，則塔AB的高是_米【熱點(diǎn)題型】題型三 考查方位角 例3、如圖，我國(guó)的海監(jiān)船在D島海域例行維權(quán)巡航，某時(shí)刻航行至A處，此時(shí)測(cè)得其東北方向與它相距16海里的B處里一外國(guó)船只，且D島位于海監(jiān)船正東14海里處 (1)求此時(shí)該外國(guó)船只與D島的距離；(2)觀測(cè)中發(fā)現(xiàn)，此外國(guó)船只正以每小時(shí)4海里的速度沿正南方向航行為了將該船攔截在離D島12海里處，不讓其進(jìn)入D島12海里內(nèi)的海域，試確定海監(jiān)船的航向，并求其速度的最小值(參考數(shù)據(jù)：sin 36520.6，sin 53080.8)故海監(jiān)船的航向?yàn)楸逼珫|約9036525308，速度的最小值為每小時(shí)20海里【提分秘籍】解決方位角問題其關(guān)鍵是弄清方位角概念結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇正、余弦定理解三角形，同時(shí)注意平面圖形的幾何性質(zhì)的應(yīng)用【舉一反三】如圖，一船在海上自西向東航行，在A處測(cè)得某島M的方位角為北偏東角，前進(jìn)m km后在B處測(cè)量該島的方位角為北偏東角，已知該島周圍n km范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當(dāng)與滿足條件_時(shí)，該船沒有觸礁危險(xiǎn)【熱點(diǎn)題型】題型四 考查函數(shù)思想在解三角形中的應(yīng)用 例4、如圖所示，一輛汽車從O點(diǎn)出發(fā)沿一條直線公路以50公里/小時(shí)的速度勻速行駛(圖中的箭頭方向?yàn)槠囆旭偡较?，汽車開動(dòng)的同時(shí)，在距汽車出發(fā)點(diǎn)O點(diǎn)的距離為5公里、距離公路線的垂直距離為3公里的M點(diǎn)的地方有一個(gè)人騎摩托車出發(fā)想把一件東西送給汽車司機(jī)問騎摩托車的人至少以多大的速度勻速行駛才能實(shí)現(xiàn)他的愿望，此時(shí)他駕駛摩托車行駛了多少公里？ 【提分秘籍】函數(shù)思想在解三角形中常與余弦定理應(yīng)用及函數(shù)最值求法相綜合，此類問題綜合性較強(qiáng)，能力要求較高，要求考生要有一定的分析問題解決問題的能力解答本題利用了函數(shù)思想，求解時(shí)把速度表示為時(shí)間的函數(shù)，利用函數(shù)最值求法完成解答，注意函數(shù)中以為整體構(gòu)造二次函數(shù)，求最值【舉一反三】如圖所示，已知樹頂A離地面米，樹上另一點(diǎn)B離地面米，某人在離地面米的C處看此樹，則該人離此樹_米時(shí)，看A，B的視角最大【高考風(fēng)向標(biāo)】1(20xx江蘇卷) 如圖16所示，為保護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60 m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170 m處(OC為河岸)，tanBCO.(1)求新橋BC的長(zhǎng)(2)當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？圖162(20xx全國(guó)新課標(biāo)卷 如圖13，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角MAN60，C點(diǎn)的仰角CAB45，以及MAC75，從C點(diǎn)測(cè)得MCA60.已知山高BC100 m，則山高M(jìn)N_m.圖133(20xx四川卷) 如圖13所示，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時(shí)氣球的高度是60 m，則河流的寬度BC等于()圖13A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m4(20xx福建卷) 如圖16，在等腰直角OPQ中，POQ90，OP2 ，點(diǎn)M在線段PQ上(1)若OM，求PM的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)N在線段MQ上，且MON30，問：當(dāng)POM取何值時(shí)，OMN的面積最?。坎⑶蟪雒娣e的最小值圖16 5(20xx江蘇卷) 如圖14，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130 m/min，山路AC長(zhǎng)為1 260 m，經(jīng)測(cè)量，cos A，cos C.(1)求索道AB的長(zhǎng)；(2)問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？圖14 【隨堂鞏固】 1有一長(zhǎng)為10 m的斜坡，傾斜角為75，在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?，通過加長(zhǎng)坡面的方法將它的傾斜角改為30，則坡底要延長(zhǎng)()A5 mB10 mC10 m D10 m2一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75，距燈塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向N處，則該船航行的速度為()A.海里/小時(shí) B34海里/小時(shí)C.海里/小時(shí) D34海里/小時(shí)3甲船在島A的正南B處，以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，AB10千米，同時(shí)乙船自島A出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間為()A.分鐘 B.小時(shí)C21.5分鐘 D2.15小時(shí)4.如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)間的距離為()A50 m B50 mC25 m D. m5地上畫了一個(gè)角BDA60，某人從角的頂點(diǎn)D出發(fā)，沿角的一邊DA行走10米后，拐彎往另一邊的方向行走14米正好到達(dá)BDA的另一邊BD上的一點(diǎn)，我們將該點(diǎn)記為點(diǎn)N，則N與D之間的距離為()A14米B15米C 16米D17米6已知等腰三角形的面積為，頂角的正弦值是底角的正弦值的倍，則該三角形的一腰長(zhǎng)為()A. B. C2 D.7.如圖，在某災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場(chǎng)，一條搜救犬從A點(diǎn)出發(fā)沿正北方向行進(jìn)x m到達(dá)B處發(fā)現(xiàn)生命跡象，然后向右轉(zhuǎn)105，行進(jìn)10 m到達(dá)C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135回到出發(fā)點(diǎn)，那么x_.8一船以每小時(shí)15 km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60方向，行駛4 h后，船到B處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15方向，這時(shí)船與燈塔的距離為_km.9一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45，沿點(diǎn)A向北偏東30前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30，則水柱的高度是_ m.10如圖，在某平原地區(qū)一條河的彼岸有一建筑物，現(xiàn)在需要測(cè)量其高度AB.由于雨季河寬水急不能涉水，只能在此岸測(cè)量現(xiàn)有的測(cè)量器材只有測(cè)角儀和皮尺現(xiàn)在選定了一條水平基線HG，使得H，G，B三點(diǎn)在同一條直線上請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種測(cè)量方法測(cè)出建筑物的高度，并說明理由(測(cè)角儀的高為h)11.如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里的C處的乙船(1)求處于C處的乙船和遇險(xiǎn)漁船間的距離；(2)設(shè)乙船沿直線CB方向前往B處救援，其方向向成角，求f(x)sin2sin xcos2cos x(xR)的值域12A，B，C是一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，ABBC1 km，從這三點(diǎn)分別遙望一座電視塔P，A處看塔，塔在東北方向，B處看塔，塔在正東方向，C處看塔，塔在南偏東60方向求塔到直線AC的距離13.某單位設(shè)計(jì)一個(gè)展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)，設(shè)計(jì)一個(gè)對(duì)角線在l上的四邊形電氣線路，如圖所示為充分利用現(xiàn)有材料，邊BC，CD用一根長(zhǎng)為5米的材料彎折而成，邊BA，AD用一根長(zhǎng)為9米的材料彎折而成，要求A和C互補(bǔ)，且ABBC.(1)設(shè)ABx米，cos Af(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范圍；(2)求四邊形ABCD面積的最大值