專題十五專題十五 導數(shù)的綜合應用導數(shù)的綜合應用【高頻考點解讀】【高頻考點解讀】1.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)2.會利用導數(shù)解決某些實際問題【熱點題型】【熱點題型】題型一題型一函數(shù)的最值與導數(shù)函數(shù)的最值與導數(shù)例 1、已知 aR，函數(shù) f(x)axln x1.(1)當 a1 時，求曲線 yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程；(2)求 f(x)在區(qū)間(0，e上的最小值【舉一反三】【舉一反三】已知函數(shù) f(x)ax2x3ln x，其中 a 為常數(shù)(1)當函數(shù) f(x)的圖象在點23，f23處的切線的斜率為 1 時，求函數(shù) f(x)在32，3上的最小值；(2)若函數(shù) f (x)在區(qū)間(0，)上既有極大值又有極小值，求 a 的取值范圍；【熱點題型】【熱點題型】題型二題型二生活中的優(yōu)化問題生活中的優(yōu)化問題例 2、某商場根據(jù)調(diào)查，估計家電商品從年初(1 月)開始的 x 個月內(nèi)累計的需求量 p(x)(單位：百件)滿足 p(x)x2(39x2x241)(1x12 且 xN*)(1)求第 x 個月的需求量 f(x)的表達式；(2)若第 x 個月的銷售量滿足 g (x)fx21x1xb0，f(x)為 f(x)的導函數(shù)，求 證：fab2fafbabf(b)；【提分秘籍】【提分秘籍】1要證明 f(x)g(x)，x(a，b)，可以構造函數(shù) F(x)f(x)g(x)，如果 F(x)0，則 F(x)在(a，b)上是減函數(shù)，同時若 F(a)0，由減函數(shù)的定義，可知對任意的 x(a，b)，有 F(x)0，即證明了 f(x)0)(1)當 x0 時，求證：f(x)1a11x ；(2)在區(qū)間(1，e)上 f(x)x 恒成立，求實數(shù) a 的范圍；(3)當 a12時，求證：f(2)f(3)f(n1)2(n1 n1)(nN*)【熱點題型】【熱點題型】題型四題型四由不等式恒成立求參數(shù)范圍由不等式恒成立求參數(shù)范圍例 4、設函數(shù) f(x)ln x12ax2bx.(1)當 ab12時，求函數(shù) f(x)的最大值；(2)令 F(x)f(x)12ax2bxax(00， 若對任意的 x10， )總存在 x20，2，使得 g(x1)f(x2)成立，求 m 的取值范圍【提分秘籍】【提分秘籍】1對于任意 x1D1存在 x2D2使得 g(x1)f(x2)成立其解決方法是：(1)求出 g(x)在 D1的最大值(2)求出 f(x)在 D2的最小值(3)轉(zhuǎn)化 g(x)大f(x)小，求出參數(shù)范圍2若存在成立的不等式中參數(shù)可得如 MF(x)，則只需求出 F(x)的最小值可解決問題【舉一反三】【舉一反三】已知函數(shù) f(x)a2xxln x，g(x)x3x2x1.(1)如果存在 x1，x20,2，使得 g(x1)g(x2)M，求滿足該不等式的最大整數(shù) M；(2)如果對任意的 s，t13，2，都有 f(s)g(t)成立，求實數(shù) a 的取值范圍【高考風向標】【高考風向標】1 （20 xx四川卷）已知函數(shù) f(x)exax2bx1，其中 a，bR，e2.718 28為自然對數(shù)的底數(shù)(1)設 g(x)是函數(shù) f(x)的導函數(shù)，求函數(shù) g(x)在區(qū)間0，1上的最小值；(2)若 f(1)0，函數(shù) f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有零點，證明：e2a1.2 （20 xx安徽卷）若直線 l 與曲線 C 滿足下列兩個條件：(i)直線 l 在點 P(x0，y0)處與曲線 C 相切；(ii)曲線 C 在點 P 附近位于直線 l 的兩側則稱直線 l 在點 P 處“切過”曲線 C.下列命題正確的是_(寫出所有正確命題的編號)直線 l：y0 在點 P(0，0)處“切過”曲線 C：yx3；直線 l：x1 在點 P(1，0)處“切過”曲線 C：y(x1)2；直線 l：yx 在點 P(0，0)處“切過”曲線 C：ysin x；直線 l：yx 在點 P(0，0)處“切過”曲線 C：ytan x；直線 l：yx1 在點 P(1，0)處“切過”曲線 C：yln x.3 （20 xx安徽卷）設函數(shù) f(x)1(1a)xx2x3，其中 a0.(1)討論 f(x)在其定義域上的單調(diào)性；(2)當 x0，1時，求 f(x)取得最大值和最小值時的 x 的值4 （20 xx北京卷）已知函數(shù) f(x)2x33x.(1)求 f(x)在區(qū)間2，1上的最大值；(2)若過點 P(1，t)存在 3 條直線與曲線 yf(x)相切，求 t 的取值范圍；(3)問過點 A(1，2)，B(2，10)，C(0，2)分別存在幾條直線與曲線 yf(x)相切？(只需寫出結論)5 （20 xx福建卷）已知函數(shù) f(x)exax(a 為常數(shù))的圖像與 y 軸交于點 A，曲線 yf(x)在點 A 處的切線斜率為1.(1)求 a 的值及函數(shù) f(x)的極值；(2)證明：當 x0 時，x2ex；(3)證明：對任意給定的正數(shù) c，總存在 x0，使得當 x(x0，)時，恒有 xcex.6 （20 xx湖北卷）為圓周率，e2.718 28為自然對數(shù)的底數(shù)(1)求函數(shù) f(x)ln xx的單調(diào)區(qū)間；(2)求 e3，3e，e，e，3，3這 6 個數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)7 （20 xx湖南卷）若 0 x1x21，則()Aex2ex1ln x2ln x1Bex2ex1ln x2ln x1Cx2ex1x1ex2Dx2ex1x1ex28 （20 xx湖南卷）已知函數(shù) f(x)xcos xsin x1(x0)(1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)記 xi為 f(x)的從小到大的第 i(iN*)個零點， 證明： 對一切 nN*， 有1x211x221x2n23.9 （20 xx江西卷）若曲線 yxln x 上點 P 處的切線平行于直線 2xy10，則點 P 的坐標是_10 （20 xx江西卷）將連續(xù)正整數(shù) 1，2，n(nN*)從小到大排列構成一個數(shù) 123n，F(xiàn)(n)為這個數(shù)的位數(shù)(如 n12 時，此數(shù)為 123456789101112，共有 15 個數(shù)字，F(xiàn)(12)15)，現(xiàn)從這個數(shù)中隨機取一個數(shù)字，p(n)為恰好取到 0 的概率(1)求 p(100)；(2)當 n20 xx 時，求 F(n)的表達式；(3)令 g(n)為這個數(shù)中數(shù)字 0 的個數(shù)，f(n)為這個數(shù)中數(shù)字 9 的個數(shù)，h(n)f(n)g(n)，Sn|h(n)1，n100，nN*，求當 nS 時 p(n)的最大值11 （20 xx遼寧卷）當 x2，1時，不等式 ax3x24x30 恒成立，則實數(shù) a 的取值范圍是()A5，3B.6，98C6，2D4，312 （20 xx新課標全國卷 若函數(shù) f(x)kxln x 在區(qū)間(1，)單調(diào)遞增，則 k 的取值范圍是()A(，2B(，1C2，)D1，)13 （20 xx新課標全國卷 已知函數(shù) f(x)x33x2ax2，曲線 yf(x)在點(0，2)處的切線與 x 軸交點的橫坐標為2.(1)求 a；(2)證明：當 k1 時，曲線 yf(x)與直線 ykx2 只有一個交點14 （20 xx全國新課標卷）已知函數(shù) f(x)ax33x21，若 f(x)存在唯一的零點 x0，且x00，則 a 的取值范圍是()A(2，)B(1，)C(，2)D(，1)15 （20 xx全國新課標卷）設函數(shù) f(x)aln x1a2x2bx(a1)，曲線 yf(x)在點(1，f(1)處的切線斜率為 0.(1)求 b；(2)若存在 x01，使得 f(x0)aa1，求 a 的取值范圍16 （20 xx山東卷）設函數(shù) f(x)aln xx1x1，其中 a 為常數(shù)(1)若 a0，求曲線 yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程；(2)討論函數(shù) f(x)的單調(diào)性17 （20 xx陜西卷）設函數(shù) f(x)ln xmx，mR.(1)當 me(e 為自然對數(shù)的底數(shù))時，求 f(x)的極小值；(2)討論函數(shù) g(x)f(x)x3零點的個數(shù)；(3)若對任意 ba0，f（b）f（a）ba1 恒成立，求 m 的取值范圍18 （20 xx天津卷）已知函數(shù) f(x)x223ax3(a0)，xR.(1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若對于任意的 x1(2，)，都存在 x2(1，)，使得 f(x1)f(x2)1，求 a 的取值范圍19 （20 xx浙江卷）已知函數(shù) f(x)x33|xa|(a0)若 f(x)在1，1上的最小值記為g(a)(1)求 g(a)；(2)證明：當 x1，1時，恒有 f(x)g(a)4.19 （20 xx重慶卷） 已知函數(shù) f(x)x4axln x32， 其中 aR， 且曲線 yf(x)在點(1， f(1)處的切線垂直于直線 y12x.(1)求 a 的值；(2)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值【隨堂鞏固】【隨堂鞏固】1已知函數(shù) f(x)ax2c，且 f(1)2，則 a 的值為()A. 2B1C1D02曲線 yx32x1 在點(1，0)處的切線方程為()Ayx1Byx1Cy2x2Dy2x23若函數(shù) f(x)的定義域為a，b，且 ba0，則函數(shù) g(x)f(x)f(x)的定義域為()Aa，bBb，aCb，bDa，a4過點(0，1)且與曲線 yx1x1在點(3，2)處的切線垂直的直線的方程為()A2xy10B2xy10Cx2y20Dx2y205設函數(shù) f(x)1，x0，0，x0，1，x12，則滿足 2f(x)x1 的 x的集合為()Ax|1x1Bx|x1Cx|x1Dx|x17 設 f(x)x(ax2bxc)(a0)在 x1 和 x1 處有極值， 則下列點中一定在 x 軸上的是()A(a，b)B(a，c)C(b，c)D(ab，c)8設曲線 yxn1(nN*)在點(1，1)處的切線與 x 軸的交點橫坐標為 xn，則 log2 012x1log2012x2log2 012x20 xx的值為()Alog2 0122 011B1C1log2 0122 011D19函數(shù) f(x)x3ax(xR)在 x1 處有極值，則曲線 yf(x)在原點處的切線方程是_10曲線 yx(3lnx1)在點(1，1)處的切線方程為_11設 f(x)，g(x)分別是定義在 R 上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當 x0且 g(3)0，則不等式 f(x)g(x)0，討論 f(x)的單調(diào)性；(2)設 a1，證明：對任意 x1，x20，1，都有|f(x1)f(x2)|1 時，判斷方程 f(x)0 實根的個數(shù)