第六節(jié)第六節(jié) 離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差 考點(diǎn)一 離散型隨機(jī)變量的分布列 1(20 xx廣東，4)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 2 3 P 35 310 110 則X的數(shù)學(xué)期望E(X)( ) A.32 B2 C.52 D3 解析 由已知條件可知E(X)1352310311032，故選 A. 答案 A 2(20 xx安徽，17)已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時(shí)檢測結(jié)果 (1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率； (2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用 100 元，設(shè)X表示直到檢測出 2 件次品或者檢測出 3 件正品時(shí)所需要的檢測費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望) 解 (1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A. P(A)A12A13A25310. (2)X的可能取值為 200，300，400. P(X200)A22A25110， P(X300)A33C12C13A22A35310， P(X400)1P(X200)P(X300)1110310610. 故X的分布列為 X 200 300 400 P 110 310 610 E(X)200110300310400610350. 3(20 xx福建，16)某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn) 3 次密碼嘗試錯(cuò)誤，該銀行卡將被鎖定小王到該銀行取錢時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但可以確認(rèn)該銀行卡的正確密碼是他常用的 6 個(gè)密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇 1 個(gè)進(jìn)行嘗試若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定 (1)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率； (2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望 解 (1)設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A， 則P(A)56453412. (2)依題意得，X所有可能的取值是 1，2，3. 又P(X1)16，P(X2)561516， P(X3)5645123. 所以X的分布列為 X 1 2 3 P 16 16 23 所以E(X)11621632352. 4(20 xx重慶，17)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗設(shè)一盤中裝有 10 個(gè)粽子，其中豆沙粽 2 個(gè)，肉粽 3 個(gè)，白粽 5 個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取 3 個(gè) (1)求三種粽子各取到 1 個(gè)的概率； (2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望 解 (1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到 1 個(gè)”，則由古典概型的概率計(jì)算公式有P(A)C12C13C15C31014. (2)X的所有可能值為 0，1，2，且 P(X0)C38C310715，P(X1)C12C28C310715， P(X2)C22C18C310115. 綜上知，X的分布列為 X 0 1 2 P 715 715 115 故E(X)07151715211535(個(gè)) 5(20 xx天津，16)某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有 6 名男同學(xué)，4 名女同學(xué)在這 10 名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余 7 名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同) (1)求選出的 3 名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率； (2)設(shè)X為選出的 3 名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望 解 (1)設(shè)“選出的 3 名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A，則P(A)C13C27C03C37C3104960. 所以，選出的 3 名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為4960. (2)隨機(jī)變量X的所有可能值為 0，1，2，3. P(Xk)Ck4C3k6C310(k0，1，2，3) 所以，隨機(jī)變量X的分布列是 X 0 1 2 3 P 16 12 310 130 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)0161122310313065. 6(20 xx四川，17)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得 10 分，出現(xiàn)兩次音樂獲得 20 分，出現(xiàn)三次音樂獲得 100 分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除 200 分(即獲得200 分)設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為12，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立 (1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列； (2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？ (3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因 解 (1)X可能的取值為：10，20，100，200.根據(jù)題意，有 P(X10)C13121112238， P(X20)C23122112138， P(X100)C33123112018， P(X200)C03120112318. 所以X的分布列為 X 10 20 100 200 P 38 38 18 18 (2)設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i1，2，3)，則 P(A1)P(A2)P(A3)P(X200)18. 所以，“三盤游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為 1P(A1A2A3)118311512511512. 因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是511512. (3)X的數(shù)學(xué)期望為E(X)10382038100182001854. 這表明，獲得分?jǐn)?shù)X的均值為負(fù)， 因此，多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大 7(20 xx山東，18)乒乓球臺(tái)面被球網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分如圖，甲上有兩個(gè)不相交的區(qū)域A，B，乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域C，D.某次測試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來球后向乙回球規(guī)定：回球一次，落點(diǎn)在C上記 3 分，在D上記 1 分，其他情況記 0分對(duì)落點(diǎn)在A上的來球，隊(duì)員小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為12，在D上的概率為13；對(duì)落點(diǎn)在B上的來球，小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為15，在D上的概率為35.假設(shè)共有兩次來球且落在A，B上各一次，小明的兩次回球互不影響求： (1)小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率； (2)兩次回球結(jié)束后，小明得分之和的分布列與數(shù)學(xué)期望 解 (1)記Ai為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在A上的來球回球的得分為i分”(i0，1，3)， 則P(A3)12，P(A1)13，P(A0)1121316； 記Bi為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在B上的來球回球的得分為i分”(i0，1，3)， 則P(B3)15，P(B1)35，P(B0)1153515. 記D為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上” 由題意，DA3B0A1B0A0B1A0B3， 由事件的獨(dú)立性和互斥性， P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3) P(A3B0)P(A1B0)P(A0B1)P(A0B3) P(A3)P(B0)P(A1)P(B0)P(A0)P(B1)P(A0)P(B3) 1215131516351615310， 所以小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率為310. (2)由題意，隨機(jī)變量可能的取值為 0，1，2，3，4，6， 由事件的獨(dú)立性和互斥性，得 P(0)P(A0B0)1615130， P(1)P(A1B0A0B1)P(A1B0)P(A0B1) 1315163516， P(2)P(A1B1)133515， P(3)P(A3B0A0B3)P(A3B0)P(A0B3) 12151615215， P(4)P(A3B1A1B3)P(A3B1)P(A1B3) 123513151130， P(6)P(A3B3)1215110. 可得隨機(jī)變量的分布列為： 0 1 2 3 4 6 P 130 16 15 215 1130 110 所以數(shù)學(xué)期望E()013011621532154113061109130. 8(20 xx重慶，18)一盒中裝有 9 張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中 4 張卡片上的數(shù)字是1，3 張卡片上的數(shù)字是 2，2 張卡片上的數(shù)字是 3.從盒中任取 3 張卡片 (1)求所取 3 張卡片上的數(shù)字完全相同的概率； (2)X表示所取 3 張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望 (注：若三個(gè)數(shù)a，b，c滿足abc，則稱b為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù)) 解 (1)由古典概型中的概率計(jì)算公式知所求概率為pC34C33C39584. (2)X的所有可能值為 1，2，3，且 P(X1)C24C15C34C391742， P(X2)C13C14C12C23C16C33C394384， P(X3)C22C17C39112， 故X的分布列為 X 1 2 3 P 1742 4384 112 從而E(X)117422438431124728. 9(20 xx江西，21)隨機(jī)將 1，2，2n(nN N*，n2)這 2n個(gè)連續(xù)正整數(shù)分成A，B兩組，每組n個(gè)數(shù)A組最小數(shù)為a1，最大數(shù)為a2；B組最小數(shù)為b1，最大數(shù)為b2，記a2a1，b2b1. (1)當(dāng)n3 時(shí)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望； (2)令C表示事件“與的取值恰好相等”，求事件C發(fā)生的概率P(C)； (3)對(duì)(2)中的事件C，C表示C的對(duì)立事件，判斷P(C)和P(C)的大小關(guān)系，并說明理由 解 (1)當(dāng)n3 時(shí)，的所有可能取值為 2，3，4，5. 將 6 個(gè)正整數(shù)平均分成A，B兩組，不同的分組方法共有 C3620 種，所以的分布列為 2 3 4 5 P 15 310 310 15 E()2153310431051572. (2)和恰好相等的所有可能取值為：n1，n，n1，2n2. 又和恰好相等且等于n1 時(shí)，不同的分組方法有 2 種； 和恰好相等且等于n時(shí)，不同的分組方法有 2 種； 和恰好相等且等于nk(k1，2，n2)(n3)時(shí)，不同的分組方法有2Ck2k種； 所以當(dāng)n2 時(shí)，P(C)4623， 當(dāng)n3 時(shí)，P(C)22122(2C )Cnkkknn. (3)由(2)知當(dāng)n2 時(shí)，P(C)13，因此P(C)P(C) 而當(dāng)n3 時(shí)，P(C)P(C)，理由如下： P(C)P(C)等價(jià)于 2214(2Cnnnk. 1當(dāng)n=3 時(shí)，式左邊=4（2+12C）=4（2+2）=16， 右邊=C36C=20，所以式成立. 2假設(shè) n=m(m3)時(shí)式成立， 22214(2C)CmKmKmk即成立 那么，當(dāng)n=m+1 時(shí)， 左邊=1 2214(2Cmkkk 21122(1)22(1)14(2C )4CC+4Cmkmmmkmmmk （2m）！m！m！4（2m2）?。╩1）?。╩1）！ （m1）2（2m）（2m2）?。?m1）（m1）?。╩1）！ （m1）2（2m）（2m2）?。?m）（m1）?。╩1）！ Cm12（m1）2（m1）m（2m1）（2m1） Cm12（m1）右邊 即當(dāng)nm1 時(shí)式也成立 綜合 1，2得：對(duì)于n3 的所有正整數(shù)，都有P(C)P(C)成立 10(20 xx天津，16)一個(gè)盒子里裝有 7 張卡片，其中有紅色卡片 4 張，編號(hào)分別為 1，2，3，4；白色卡片 3 張，編號(hào)分別為 2，3，4.從盒子中任取 4 張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同) (1)求取出的 4 張卡片中，含有編號(hào)為 3 的卡片的概率； (2)在取出的 4 張卡片中，紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望 解 (1)設(shè)“取出的 4 張卡片中，含有編號(hào)為 3 的卡片”為事件A，則P(A)C12C35C22C25C4767. 所以取出的 4 張卡片中，含有編號(hào)為 3 的卡片的概率為67. (2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為 1，2，3，4. P(X1)C33C47135， P(X2)C34C47435， P(X3)C35C4727， P(X4)C36C4747. 所以隨機(jī)變量X的分布列是 X 1 2 3 4 P 135 435 27 47 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)11352435327447175. 11(20 xx北京，16)下圖是某市 3 月 1 日至 14 日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于 100 表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于 200 表示空氣重度污染某人隨機(jī)選擇 3月 1 日至 3 月 13 日的某一天到達(dá)該市，并停留 2 天 (1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率； (2)設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望； (3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？(結(jié)論不要求證明) 解 設(shè)Ai表示事件“此人于 3 月i日到達(dá)該市”(i1，2，13) 根據(jù)題意，P(Ai)113，且AiAj(ij) (1)設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量重度污染”，則BA5A8. 所以P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8)213. (2)由題意可知，X的所有可能取值為 0，1，2，且 P(X1)P(A3A6A7A11)P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)413， P(X2)P(A1A2A12A13)P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)413， P(X0)1P(X1)P(X2)513. 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 513 413 413 故X的期望E(X)0513141324131213. (3)從 3 月 5 日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大 12(20 xx江西，18)小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團(tuán)還是參加學(xué)校排球隊(duì)，游戲規(guī)則為：以O(shè)為起點(diǎn)，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如圖)這 8 個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量，記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X.若X0就參加學(xué)校合唱團(tuán)，否則就參加學(xué)校排球隊(duì) (1)求小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率； (2)求X的分布列和數(shù)學(xué)期望 解 (1)從 8 個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)為向量終點(diǎn)的不同取法共有 C2828 種， X0 時(shí)，兩向量夾角為直角共有 8 種情形， 所以小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率為 P(X0)82827. (2)兩向量數(shù)量積X的所有可能取值為2，1，0，1， X2 時(shí)，有 2 種情形；X1 時(shí)，有 8 種情形；X1 時(shí)，有 10 種情形 所以X的分布列為： X 2 1 0 1 P 114 514 27 27 E(X)(2)114(1)514027127314. 13.(20 xx湖南，18)某人在如圖所示的直角邊長為 4 米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示： X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過 1 米 (1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率； (2)從所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望 解 (1)所種作物總株數(shù)N1234515，其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為 3，邊界上的作物株數(shù)為12.從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株的不同結(jié)果有C13C11236 種，選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有 3328 種 故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，它們恰好“相近”的概率為83629. (2)先求從所種作物中隨機(jī)選取的一株作物的年收獲量Y的分布列 因?yàn)镻(Y51)P(X1)，P(Y48)P(X2)，P(Y45)P(X3)，P(Y42)P(X4)， 所以只需求出P(Xk)(k1，2，3，4)即可 記nk為其“相近”作物恰有k株的作物株數(shù)(k1，2，3，4)，則 n12，n24，n36，n43. 由P(Xk)nkN得 P(X1)215，P(X2)415， P(X3)61525， P(X4)31515. 故所求的分布列為 Y 51 48 45 42 P 215 415 25 15 所求的數(shù)學(xué)期望為 E(Y)51215484154525421534649042546. 14(20 xx新課標(biāo)全國，19)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出 1 t該產(chǎn)品獲利潤 500 元，未售出的產(chǎn)品，每 1 t 虧損 300 元根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示，經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購進(jìn)了130 t該農(nóng)產(chǎn)品，以X(單位：t，100X150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤 (1)將T表示為X的函數(shù)； (2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤T不少于 57 000 元的概率； (3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若需求量X100，110)，則取X105，且X105 的概率等于需求量落入100，100)的頻率)，求T的數(shù)學(xué)期望 解 (1)當(dāng)X100，130)時(shí)，T500X300(130X)800X39 000， 當(dāng)X130，150時(shí)，T50013065 000. 所以T800X39 000，100X2)0.5； X1 對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為 1 分鐘且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間超過 1 分鐘，或第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為 2 分鐘， 所以P(X1)P(Y1)P(Y1)P(Y2)0.10.90.40.49； X2 對(duì)應(yīng)兩個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為 1 分鐘， 所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01. 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 E(X)00.510.4920.010.51. 法二 X所有可能的取值為 0，1，2. X0 對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間超過 2 分鐘， 所以P(X0)P(Y2)0.5； X2 對(duì)應(yīng)兩個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為 1 分鐘， 所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01； P(X1)1P(X0)P(X2)0.49. 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 E(X)00.510.4920.010.51. 考點(diǎn)二 均值與方差 1(20 xx浙江，9)已知甲盒中僅有 1 個(gè)球且為紅球，乙盒中有m個(gè)紅球和n個(gè)藍(lán)球(m3，n3)，從乙盒中隨機(jī)抽取i(i1，2)個(gè)球放入甲盒中 (a)放入i個(gè)球后，甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為i(i1，2)； (b)放入i個(gè)球后，從甲盒中取 1 個(gè)球是紅球的概率記為pi(i1，2)則( ) Ap1p2，E(1)E(2) Bp1E(2) Cp1p2，E(1)E(2) Dp1p2，E(1)p2，E(1)E(2)，故選 A. 答案 A 2(20 xx湖北，9)如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割為 125個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)( ) A.126125 B.65 C.168125 D.75 解析 由題意可知涂漆面數(shù)X的可能取值為 0，1，2，3. 由于P(X0)27125，P(X1)54125，P(X2)36125， P(X3)8125，故E(X)0271251541252361253812515012565. 答案 B 3(20 xx上海，9)馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布列如下表： x 1 2 3 P(x) ？ ！ ？ 請(qǐng)小牛同學(xué)計(jì)算的數(shù)學(xué)期望盡管“！”處完全無法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同據(jù)此，小牛給出了正確答案E()_. 解析 令“？”為a，“！”為b，則 2ab1.又E()a2b3a2(2ab)2. 答案 2 4(20 xx浙江，15)某畢業(yè)生參加人才招聘會(huì)，分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為23，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個(gè)數(shù)若P(X0)112，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)_. 解析 P(X0)13(1p)2112， p12. 則P(X1)231212131212213， P(X2)2312122131212512， P(X3)23121216. 則E(X)0112113251231653. 答案 53 5(20 xx天津，16)為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加現(xiàn)有來自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手 3 名從這 8 名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇 4 人參加比賽 (1)設(shè)A為事件“選出的 4 人中恰有 2 名種子選手，且這 2 名種子選手來自同一個(gè)協(xié)會(huì)”，求事件A發(fā)生的概率； (2)設(shè)X為選出的 4 人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望 解 (1)由已知，有P(A)C22C23C23C23C48635. 所以，事件A發(fā)生的概率為635. (2) 隨機(jī)變量X的所有可能取值為 1，2，3，4. P(Xk)Ck5C4k3C48(k1，2，3，4) 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 2 3 4 P 114 37 37 114 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)1114237337411452. 6(20 xx山東，19)若n是一個(gè)三位正整數(shù)，且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137，359，567等)在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取 1 個(gè)數(shù)，且只能抽取一次得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被 5 整除，參加者得 0分；若能被5整除，但不能被 10 整除，得1 分；若能被 10 整除，得 1 分 (1)寫出所有個(gè)位數(shù)字是 5 的“三位遞增數(shù)”； (2)若甲參加活動(dòng)，求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X) 解 (1)個(gè)位數(shù)是 5 的“三位遞增數(shù)”有 125，135，145，235，245，345； (2)由題意知，全部“三位遞增數(shù)”的個(gè)數(shù)為 C3984， 隨機(jī)變量X的取值為：0，1，1，因此 P(X0)C38C3923， P(X1)C24C39114， P(X1)1114231142， 所以X的分布列為 X 0 1 1 P 23 114 1142 則E(X)023(1)11411142421. 7(20 xx湖南，18)某商場舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都是從裝有 4 個(gè)紅球、6 個(gè)白球的甲箱和裝有 5 個(gè)紅球、5 個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒有紅球，則不獲獎(jiǎng) (1)求顧客抽獎(jiǎng) 1 次能獲獎(jiǎng)的概率； (2)若某顧客有 3 次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在 3 次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望 解 (1)記事件A1從甲箱中摸出的 1 個(gè)球是紅球， A2從乙箱中摸出的 1 個(gè)球是紅球， B1顧客抽獎(jiǎng) 1 次獲一等獎(jiǎng)，B2顧客抽獎(jiǎng) 1 次獲二等獎(jiǎng)， C顧客抽獎(jiǎng) 1 次能獲獎(jiǎng) 由題意，A1與A2相互獨(dú)立，A1A2與A1A2互斥，B1與B2互斥，且B1A1A2，B2A1A2A1A2，CB1B2. 因?yàn)镻(A1)41025，P(A2)51012，所以 P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)251215， P(B2)P(A1A2A1A2)P(A1A2)P(A1A2) P(A1)P(A2)P(A1)P(A2) P(A1)(1P(A2)(1P(A1)P(A2) 251121251212. 故所求概率為 P(C)P(B1B2)P(B1)P(B2)1512710. (2)顧客抽獎(jiǎng) 3 次可視為 3 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，由(1)知，顧客抽獎(jiǎng) 1 次獲一等獎(jiǎng)的概率為15，所以XB3，15. 于是 P(X0)C0315045364125， P(X1)C1315145248125， P(X2)C2315245112125， P(X3)C331534501125. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 X的數(shù)學(xué)期望為E(X)31535. 8(20 xx安徽，17)甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完 5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽假設(shè)每局甲獲勝的概率為23，乙獲勝的概率為13，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立 (1)求甲在 4 局以內(nèi)(含 4 局)贏得比賽的概率； (2)記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望) 解 用A表示“甲在 4 局以內(nèi)(含 4 局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”，則P(Ak)23，P(Bk)13，k1，2，3，4，5. (1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4) P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) 2321323223132325681. (2)X的可能取值為 2，3，4，5. P(X2)P(A1A2)P(B1B2) P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)59， P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3) P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)29， P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4) P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1) P(A2)P(B3)P(B4)1081， P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4)881. 故X的分布列為 X 2 3 4 5 P 59 29 1081 881 E(X)25932941081588122481. 9(20 xx福建，18)為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì) 1 000 位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額 (1)若袋中所裝的 4 個(gè)球中有 1 個(gè)所標(biāo)的面值為 50 元，其余 3 個(gè)均為 10 元，求： ()顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為 60 元的概率； ()顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望； (2)商場對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是 60 000 元，并規(guī)定袋中的 4 個(gè)球只能由標(biāo)有面值 10 元和 50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的 4 個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說明理由 解 (1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X. ()依題意，得P(X60)C11C13C2412， 即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為 60 元的概率為12. ()依題意，得X的所有可能取值為 20，60. P(X60)12，P(X20)C23C2412， 即X的分布列為 X 20 60 P 12 12 所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望為E(X)2012601240(元) (2)根據(jù)商場的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為 60 元所以，先尋找期望為 60 元的可能方案對(duì)于面值由 10 元和 50 元組成的情況，如果選擇(10，10，10，50)的方案，因?yàn)?0 元是面值之和的最大值，所以期望不可能為 60 元；如果選擇(50，50，50，10)的方案，因?yàn)?60 元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為 60 元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，記為方案 1. 對(duì)于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，記為方案 2. 以下是對(duì)兩個(gè)方案的分析： 對(duì)于方案 1，即方案(10，10，50，50)，設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X1，則X1的分布列為 X1 20 60 100 P 16 23 16 X1的期望為E(X1)201660231001660，X1的方差為D(X1)(2060)216(6060)223(10060)2161 6003. 對(duì)于方案 2，即方案(20，20，40，40)，設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2，則X2的分布列為 X2 40 60 80 P 16 23 16 X2的期望為E(X2)40166023801660， X2的方差為D(X2)(4060)216(6060)223(8060)2164003. 由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望都符合要求，但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案 2. 10(20 xx遼寧，18)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示 將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立 (1)求在未來連續(xù) 3 天里，有連續(xù) 2 天的日銷售量都不低于 100 個(gè)且另 1 天的日銷售量低于 50 個(gè)的概率； (2)用X表示在未來 3 天里日銷售量不低于 100 個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X) 解 (1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”，A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”，B表示事件“在未來連續(xù) 3 天里，有連續(xù) 2 天的日銷售量都不低于 100 個(gè)且另 1 天的日銷售量低于 50 個(gè)”，因此 P(A1)(0.0060.0040.002)500.6， P(A2)0.003500.15， P(B)0.60.60.1520.108. (2)X可能取的值為 0，1，2，3，相應(yīng)的概率為P(X0)C03(10.6)30.064， P(X1)C130.6(10.6)20.288， P(X2)C230.62(10.6)0.432， P(X3)C330.630.216. 分布列為 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因?yàn)閄B(3，0.6)，所以期望E(X)30.61.8，方差D(X)30.6(10.6)0.72. 11(20 xx新課標(biāo)全國，19)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取 4 件作檢驗(yàn)，這 4 件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n3，再從這批產(chǎn)品中任取4 件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果n4，再從這批產(chǎn)品中任取 1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn) 假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為 50%，即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為12，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立 (1)求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率； (2)已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為 100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望 解 (1)設(shè)第一次取出的 4 件產(chǎn)品中恰有 3 件優(yōu)質(zhì)品為事件A1，第一次取出的 4 件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2，第二次取出的 4 件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B1，第二次取出的 1 件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2，這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件A，依題意有A(A1B1)(A2B2)，且A1B1與A2B2互斥，所以 P(A)P(A1B1)P(A2B2) P(A1)P(B1|A1)P(A2)P(B2|A2) 41611611612364. (2)X可能的取值為 400，500，800，并且 P(X400)14161161116， P(X500)116，P(X800)14. 所以X的分布列為 X 400 500 800 P 1116 116 14 E(X)400111650011680014506.25.