幾何概型 【考點梳理】 1 幾何概型的定義 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度 (面積或體積)成比例，則稱這樣的概 率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型. 2. 幾何概型的兩個基本特點 (1) 無限性：在一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個. (2) 等可能性：每個試驗結(jié)果的發(fā)生具有等可能性. 3. 幾何概型的概率公式 _ 構(gòu)成事件A的區(qū)域長度 面積或體積 _ P(A)試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度 面積或體積 . 【考點突破】 考點一、與長度(角度)有關(guān)的幾何概型 C,現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段 AC ) A. 線段BC有公共點的概率為 1 答案(1) C (2) 3 解析(1) 設|AC = x，則 I BC = 12-X,所以x(12 x)20，解得 2x10,故所求概率 P 10 2 2 12 = 3. (2)以A為圓心，以AD= 1 為半徑作圓弧 D3 交AC AR AB分別為C, P, B . 依題意，點P在三 D 上任何位置是等可能的， 且射線AP與線段BC有公共點，則事件“點 【例 1 (1)在長為 12 cm 的線段AB上任取一點 CB的長，則該矩形的面積大于 20 cm2的概率為( C. 2 3 如圖所示，四邊形 4 D.- 5 ABCD 矩形，AB= 3, BC= 1,在/ DA餉作射線AR則射線AP與 2 P在m c 上發(fā)生”.3 _ n 又在 Rt ABC中，易求/ BAC=Z B AC =. 6 1 I 6 p= C = - | n ! H 7 】 【類題通法】 1.解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考查對象和對象的活動范圍, 且點的活動范圍在線段上時，用“線段長度”為測度計算概率，求解的核心是確定點的邊界位 置. 2.當涉及射線的轉(zhuǎn)動，扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時，應以角對應的弧長的大小作為區(qū)域度 量來計算概率事實上，當半徑一定時，曲線弧長之比等于其所對應的圓心角的弧度數(shù)之比. 【對點訓練】 1. 某公司的班車在 7: 30, 8: 00, 8: 30 發(fā)車，小明在 7: 50 至& 30 之間到達發(fā)車站乘 答案B 解析如圖，7: 50 至& 30 之間的時間長度為 40 分鐘，而小明等車時間不超過 10 分 鐘是指小明在 7: 50 至 8: 00 之間或 8: 20 至 8: 30 之間到達發(fā)車站，此兩種情況下的時間長 20 1 度之和為 20 分鐘，由幾何概型概率公式知所求概率為 P= 40 = 2.故選 B. 7:50 8:00 8:10 8:20 8i30 n I I I A H C D 2 .如圖所示，在等腰直角三角形 ABC中，過直角頂點 C在/ ACB內(nèi)部任作一條射線 CM與 AB交于點 M貝U AMAC的概率為 _ . 1 3. 故所求事件的概率 當考查對象為點, 坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過 1 1 A. B 3 2 2 3 C 3 D 3 10 分鐘的概率是（ Hr B 3 4 答案4 解析過點C作CN交AB于點N,使AN= AC如圖所示.顯然當射線CM處在/ ACh內(nèi)時, AMAC 又/ A= 45,所以/ ACN= 67.5。，故所求概率為 P= 69= 4- 考點二、與面積有關(guān)的幾何概型 【例 2】如圖，大正方形的面積是 34，四個全等直角三角形圍成一個小正方形，直角三角形 的較短邊長為 3,向大正方形內(nèi)拋撒一枚幸運小花朵， 則小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為 （ ） 解析要使該函數(shù)無零點，只需 1 2 A. 17 B .17 4 17 答案B 解析 大正方形的面積34,.大正方形的邊長是，34,由直角三角形的較短邊長為 3，得四個全等直角三角形的直角邊分別是 5 和 3，則小正方形邊長為 2,面積為 4,.小花朵 落在小正方形內(nèi)的概率為 P=蘭=2 34 17 【例 3】在區(qū)間0 , 1 上任取兩個數(shù) a, b,則函數(shù)f（x）= x1 2+ ax + b2無零點的概率為（ 3 3 3. 5 1-2x1X 1X1 【類題通法】 1. 與面積有關(guān)的平面圖形的幾何概型, 的判斷及面積的計算，基本方法是數(shù)形結(jié)合 2. 解題時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量， 圖形，以便求解 【對點訓練】 解題的關(guān)鍵是對所求的事件 A構(gòu)成的平面區(qū)域形狀 把變量看成點的坐標， 找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面 1 如圖，將半徑為 1 的圓分成相等的四段弧， 再將四段弧圍成星形放在圓內(nèi) （陰影部分）現(xiàn) 在往圓內(nèi)任投一點，此點落在星形區(qū)域內(nèi)的概率為 （4 A. 1 n 1 B. n 1 C. 1 n 答案A D 冗 6 n 4_ n ,又因為圓的面積等于 n X12= n，因此所求的概率等于 - =1. n n 2. 從區(qū)間0 , 1隨機抽取 2n個數(shù)X1, X2,xn, y1, y2,y，構(gòu)成n個數(shù)對（X1, y, 答案C解析順次連接星形的四個頂點, 則星形區(qū)域的面積等于 （X2, y2），（Xn, yn），其中兩數(shù)的平方和小1 的數(shù)對共有 m個，則用隨機模擬的方法得到 的圓周率 n的近似值為（ 4n A. - B m ) 2n m 4m n 2m n (2)24 3 3. 7 解析如圖，數(shù)對（Xi, y）（i = 1, 2,，n）表示的點落在邊長為 1 的正方形OAB（內(nèi) （包 括邊界），兩數(shù)的平方和小于 1 的數(shù)對表示的點落在半徑為 1 的四分之一圓（陰影部分）內(nèi)由幾 S fn RR S扇形 4 n m n m ( P= S = R1 2 = ，又 P= n，所以 =n 故 SE方形 R 4 n 4 n 1 6. 【例 5】有一底面半徑為 1、高為 2 的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi) 何概型的概率計算公式知 4m n . 8 考點三、與體積有關(guān)的幾何概型 【例 4】如圖，在長方體 ABCD- ABGD中，有一動點在此長方體內(nèi)隨機運動，則此動點在 三棱錐A ABD內(nèi)的概率為 1 答案6 故點P到點O的距離大于 1 的概率P= 1 3=|.2n 由幾何概型，得 V半球 P1=V柱 X13 * n XI X2 1 解 因為 1 1 1 VA A.BD= VA A1BD V長方體 3 3. 9 【類題通法】 對于與體積有關(guān)的幾何概型問題， 關(guān)鍵是計算問題的總體積 （總空間）以及事件的體積（事件 空間），對于某些較復雜的也可利用其對立事件求解. 【對點訓練】 1.一只蜜蜂在一個棱長為 3 的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方 體 6 個表面的距離均大于 1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為 （ ） 1 A. 8 1 B . 6 C 1 .27 3 D .8 答案 C 解析 由題意知小蜜蜂的安全飛行范圍為以這個正方體的中心為中心， 且棱長為 1 的小 一 1 正方體內(nèi)這個小正方體的體積為 1,大正方體的體積為 27,故安全飛行的概率為 P27. 2.在棱長為 2 的正方體 ABCDABCD中，點O為底面 ABCD勺中心，在正方體 ABCDABCD 內(nèi)隨機取一點P,則點P到點0的距離大于 1 的概率為（ ） n n C. 6 D. 1 - 6 答案B 解析設“點P到點O的距離大于 1”為事件A 則事件A發(fā)生時，點P位于以點O為球心，以 1 為半徑的半球的外部. 1 3 V正方體=2 = 8, 4 V半球=3 n 71 2 - 3 n HA* = 23 =1 - 12 A. n 12 10 A. 2 答案C 2 2 a -4b 0,即(a+ 2b)( a- 2b)0,. a- 2b0.作出 0w bw 1,的可行域（如陰影部分所示），易得該函數(shù)無零點的概率 P a- 2b0 隨機取一點P,則點P到點0的距離大于 1 的概率為（ ） 1 2 3 A. 3 B - 3 C - 4 D 答案B 解析設點P到點O的距離小于等于 1 的概率為P1,