精品資料第 2 講矩陣與變換1 正如矩陣 A1121，向量12.求向量，使得 A2.解A2112111213243設(shè)xy，由 A2，得3243xy123x2y1，4x3y2，解得x1，y2.12.2在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，設(shè)橢圓 4x2y21 在矩陣 A2001 對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線 F，求 F 的方程解設(shè) P(x0，y0)是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn) P(x0，y0)在矩陣 A 對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn) P(x0，y0)則有x0y02001x0y0，即x02x0y0y0 x0 x02，y0y0.又點(diǎn) P 在橢圓上，故 4x20y201，從而 x20y201.曲線 F 的方程是 x2y21.3已知矩陣 M1ba1 ，Nc02d ，且 MN2200 .(1)求實(shí)數(shù) a、b、c、d 的值；(2)求直線 y3x 在矩陣 M 所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的像的方程解(1)由題設(shè)得：c02，2ad0，bc02，2bd0.解得a1，b1，c2，d2.(2)矩陣 M 對(duì)應(yīng)的線性變換將直線變成直線(或點(diǎn))，可取直線 y3x 上的兩點(diǎn)(0,0)，(1,3)，由111100 00 ，111113 22，得點(diǎn)(0,0)，(1,3)在矩陣 M 所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的像是點(diǎn)(0,0)，(2,2)從而，直線 y3x 在矩陣 M 所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的像的方程為 yx.4 若點(diǎn)A(2,2)在矩陣Mcos sin sin cos 對(duì)應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為B(2,2)，求矩陣 M 的逆矩陣解由題意，知 M22 22，即2cos 2sin 2sin 2cos 22，cos sin 1，sin cos 1，解得cos 0，sin 1.M0110.由 M1M1001 ，解得 M10110 .5已知二階矩陣 Aabcd，矩陣 A 屬于特征值11 的一個(gè)特征向量為 a111，屬于特征值24 的一個(gè)特征向量為 a232，求矩陣 A.解由特征值、特征向量定義可知，Aa11a1，即abcd11111，得ab1，cd1.同理可得3a2b12，3c2d8.解得 a2，b3，c2，d1.因此矩陣 A2321.6已知矩陣 M3113，求 M 的特征值及屬于各特征值的一個(gè)特征向量解由矩陣 M 的特征多項(xiàng)式 f()|3113|(3)210，解得12，24，即為矩陣 M 的特征值設(shè)矩陣 M 的特征向量為xy，當(dāng)12 時(shí)，由 Mxy2xy，可得xy0，xy0.可令 x1，得 y1，111是 M 的屬于12 的特征向量當(dāng)24 時(shí)，由 Mxy4xy，可得xy0，xy0，取 x1，得 y1，211是 M 的屬于24 的特征向量7求曲線 C：xy1 在矩陣 M1111對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線 C1的方程解設(shè) P(x0，y0)為曲線 C：xy1 上的任意一點(diǎn)，它在矩陣 M1111對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn) Q(x，y)由1111x0y0 xy，得x0y0 x，x0y0y.解得x0 xy2，y0 xy2.因?yàn)?P(x0，y0)在曲線 C：xy1 上，所以 x0y01.所以xy2xy21，即 x2y24.所以所求曲線 C1的方程為 x2y24.8已知矩陣 A1002，B0110，求(AB)1.解AB100201100120.設(shè)(AB)1abcd，則由(AB)(AB)11001，得0120abcd1001，即cd2a2b1001，所以c1，d0，2a0，2b1，解得a0，b12，c1，d0.故(AB)101210.9設(shè)矩陣 Ma00b(其中 a0，b0)(1)若 a2，b3，求矩陣 M 的逆矩陣 M1；(2)若曲線 C：x2y21 在矩陣 M 所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到曲線 C：x24y21，求 a、b 的值解(1)設(shè)矩陣 M 的逆矩陣 M1x1y1x2y2，則 MM11001.又 M2003.2003x1y1x2y21001.2x11,2y10,3x20,3y21，即 x112，y10，x20，y213，故所求的逆矩陣 M1120013.(2)設(shè)曲線 C 上任意一點(diǎn) P(x，y)，它在矩陣 M 所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn) P(x，y)，則a00bxyxy，即axx，byy，又點(diǎn) P(x，y)在曲線 C上，x24y21.則a2x24b2y21 為曲線 C 的方程又已知曲線 C 的方程為 x2y21，故a24，b21.又 a0，b0，a2，b1.10已知梯形 ABCD，其中 A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)，D(1，2)，先將梯形作關(guān)于 x 軸的反射變換，再將所得圖形繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90.(1)求連續(xù)兩次變換所對(duì)應(yīng)的變換矩陣 M.(2)求點(diǎn) A，B，C，D 在 TM作用下所得到的結(jié)果解(1)關(guān)于 x 軸的反射變換矩陣為 M11001，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90的變換矩陣為M2cos 90sin 90sin 90cos 900110故 MM2M1011010010110.(2)A：01100000，即 A(0，0)B：01103003，即 B(0，3)C：01102222，即 C(2，2)D：01101221，即 D(2，1)11已知二階矩陣 M 有特征值8 及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量 e111，并且矩陣 M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(1,2)變換成(2,4)(1)求矩陣 M；(2)求矩陣 M 的另一個(gè)特征值，及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量 e2的坐標(biāo)之間的關(guān)系；(3)求直線 l：xy10 在矩陣 M 的作用下的直線 l的方程解(1)設(shè) Mabcd，則abcd1181188，故ab8，cd8.因abcd1224，故a2b2，c2d4.聯(lián)立以上兩方程組解得 a6，b2，c4，d4，故 M6244.(2)由(1)知，矩陣 M 的特征多項(xiàng)式為f()(6)(4)821016，故其另一個(gè)特征值為2.設(shè)矩陣 M 的另一個(gè)特征向量是 e2xy，則 Me26x2y4x4y2xy，解得 2xy0.(3)設(shè)點(diǎn)(x，y)是直線 l 上的任一點(diǎn)，其在矩陣 M 的變換下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則6244xyxy，即 x14x18y， y14x38y， 代入直線 l 的方程后并化簡(jiǎn)得 xy20，即 xy20.12已知矩陣 A1a1b，A 的一個(gè)特征值2，其對(duì)應(yīng)的特征向量是121.(1)求矩陣 A；(2)若向量74，計(jì)算 A5的值解(1)A1214.(2)矩陣 A 的特征多項(xiàng)式為 f()|1214|2560， 得12， 23，當(dāng)12 時(shí)，121，當(dāng)23 時(shí)，得211.由m1n2，得2mn7，mn4，解得 m3，n1.A5A5(312)3(A51)A523(511)522325213511435339.13設(shè)矩陣 Ma00b(其中 a0，b0)若 a2，b3，求 M 的逆矩陣 M1；若曲線 C：x2y21，在矩陣 M 所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到曲線 C：x24y21，求 a，b 的值解設(shè) M1x1y1x2y2， 則 MM11001又 M2003， 2003x1y1x2y21001.2x11，2y10，3x20，3y21.即 x12，y10，x20，y213.M1120013.設(shè) C 上任一點(diǎn) P(x，y)，在 M 作用下得點(diǎn) P(x，y)，則a00bxyxy，來(lái)源axxbyy，又點(diǎn) P(x，y)在 C上，所以x24y21.即a2x24b2y21 為曲線 C 的方程又 C 的方程為 x2y21，a24，b21.又 a0，b0，所以a2，b1.