A 級級基礎(chǔ)通關(guān)基礎(chǔ)通關(guān)1(2018江蘇卷江蘇卷)在極坐標(biāo)系中，直線在極坐標(biāo)系中，直線 l 的方程為的方程為sin(6)2，曲線曲線 C 的方程為的方程為4cos ，求直線，求直線 l 被曲線被曲線 C 截得的弦長截得的弦長解：解：因為曲線因為曲線 C 的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為4cos ，所以曲線所以曲線 C 是圓心為是圓心為(2，0)，直徑為，直徑為 4 的圓的圓因為直線因為直線 l 的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為sin(6)2，則直線則直線 l 過過 A(4，0)，傾斜角為，傾斜角為6，所以所以 A 為直線為直線 l 與圓與圓 C 的一個交點的一個交點設(shè)另一個交點為設(shè)另一個交點為 B，則，則OAB6.如圖，連接如圖，連接 OB.因為因為 OA 為直徑，從而為直徑，從而OBA2，所以所以 AB4cos62 3.因此，直線因此，直線 l 被曲線被曲線 C 截得的弦長為截得的弦長為 2 3.2(2018全國卷全國卷)在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線中，曲線 C 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為x2cos ，y4sin (為參數(shù)為參數(shù))，直線，直線 l 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為x1tcos ，y2tsin (t 為參數(shù)為參數(shù))(1)求求 C 和和 l 的直角坐標(biāo)方程；的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線若曲線 C 截直線截直線 l 所得線段的中點坐標(biāo)為所得線段的中點坐標(biāo)為(1，2)，求，求 l 的斜率的斜率解：解：(1)曲線曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為的直角坐標(biāo)方程為x24y2161.當(dāng)當(dāng) cos 0 時，時，l 的直角坐標(biāo)方程為的直角坐標(biāo)方程為 ytan x2tan ，當(dāng)當(dāng) cos 0 時，時，l 的直角坐標(biāo)方程為的直角坐標(biāo)方程為 x1.(2)將將 l 的參數(shù)方程代入的參數(shù)方程代入 C 的直角坐標(biāo)方程的直角坐標(biāo)方程， 整理得關(guān)于整理得關(guān)于 t 的方程的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因為曲線因為曲線 C 截直線截直線 l 所得線段的中點所得線段的中點(1，2)在在 C 內(nèi)，內(nèi)，所以所以有兩個解，設(shè)為有兩個解，設(shè)為 t1，t2，則，則 t1t20.又由又由得得 t1t24（2cos sin ）13cos2，故故 2cos sin 0，于是直線，于是直線 l 的斜率的斜率 ktan 2.3在平面直角坐標(biāo)系中在平面直角坐標(biāo)系中，以原點以原點 O 為極點為極點，x 軸的正半軸為極軸軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位已知直線建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位已知直線 l 的參數(shù)的參數(shù)方程為方程為x 3t，y1 3t(t 為參數(shù)為參數(shù))，曲線，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為4sin3 .(1)求直線求直線 l 的普通方程與曲線的普通方程與曲線 C 的直角坐標(biāo)方程；的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線若直線 l 與曲線與曲線 C 交于交于 M，N 兩點，求兩點，求MON 的面積的面積解：解：(1)由由x 3t，y1 3t，消去參數(shù)消去參數(shù) t 得得3xy4，所以直線所以直線 l 的普通方程為的普通方程為3xy40.由由4sin3 2sin 2 3cos ，得得22sin 2 3cos ，即，即 x2y22 3x2y.所以曲線所以曲線 C 的直角坐標(biāo)方程是圓的直角坐標(biāo)方程是圓(x 3)2(y1)24.(2)因為原點因為原點 O 到直線到直線 l 的距離的距離 d|4|（ 3）2122.直線直線 l 過圓過圓 C 的圓心的圓心( 3，1)，所以，所以|MN|2r4，所以所以MON 的面積的面積 S12|MN|d4.4(2019佛山檢測佛山檢測)在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中中，直線直線 l 的參數(shù)方程的參數(shù)方程為為xm2t，y 2t(t 為參數(shù)為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點以坐標(biāo)原點為極點，x 軸的正半軸為極軸建軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線立極坐標(biāo)系，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為241sin2.(1)求直線求直線 l 的普通方程和曲線的普通方程和曲線 C 的直角坐標(biāo)方程；的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)設(shè) P 為曲線為曲線 C 上的點上的點， PQl， 垂足為垂足為 Q， 若若|PQ|的最小值為的最小值為 2，求求 m 的值的值解：解：(1)因為曲線因為曲線 C 的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為241sin2，則則22sin24，將將2x2y2，sin y 代入上式并化簡得代入上式并化簡得x24y221，所以曲線所以曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為的直角坐標(biāo)方程為x24y221.由由xm2t，y 2t，消去參數(shù)消去參數(shù) t 得得 x 2ym，所以直線所以直線 l 的普通方程為的普通方程為 x 2ym0.(2)設(shè)設(shè) P(2cos ， 2sin )，由點到直線的距離公式得，由點到直線的距離公式得|PQ|2cos 2sin m|3|2 2cos4 m|3，由題意知由題意知 m0，當(dāng)當(dāng) m0 時，時，|PQ|min|2 2m|32，得，得 m2 32 2；當(dāng)當(dāng) m0 時，時，|PQ|min|2 2m|32，得，得 m2 32 2，所，所以以m2 322或或 m2 32 2.5(2017全國卷全國卷)在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系 xOy 中，以坐標(biāo)原點為極點，中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C1的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為cos 4.(1)M 為曲線為曲線 C1上的動點，點上的動點，點 P 在線段在線段 OM 上，且滿足上，且滿足|OM|OP|16，求點，求點 P 的軌跡的軌跡 C2的直角坐標(biāo)方程；的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點設(shè)點 A 的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為2，3 ，點，點 B 在曲線在曲線 C2上，求上，求OAB 面積面積的最大值的最大值解解：(1)設(shè)設(shè) P 的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為(，)(0)，M 的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為(1，)(10)由題設(shè)知由題設(shè)知|OP|，|OM|14cos .由由|OM|OP|16 得得C2的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為4cos (0)因此因此 C2的直角坐標(biāo)方程為的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24(x0)(2)設(shè)點設(shè)點 B 的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為(B，)(B0)由題設(shè)知由題設(shè)知|OA|2，B4cos ，于是，于是OAB 的面積的面積S12|OA|BsinAOB4cos |sin3|2|sin23 32|2 3.當(dāng)當(dāng)12時，時，S 取得最大值取得最大值 2 3.所以所以O(shè)AB 面積的最大值為面積的最大值為 2 3.6 (2018全國卷全國卷)在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系 xOy 中中， 曲線曲線 C1的方程為的方程為 yk|x|2.以坐標(biāo)原點為極點，以坐標(biāo)原點為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C2的的極坐標(biāo)方程為極坐標(biāo)方程為22cos 30.(1)求求 C2的直角坐標(biāo)方程；的直角坐標(biāo)方程；(2)若若 C1與與 C2有且僅有三個公共點，求有且僅有三個公共點，求 C1的方程的方程解：解：(1)由由 xcos ，ysin 得得 C2的直角坐標(biāo)方程為的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y24.(2)由由(1)知知 C2是圓心為是圓心為 A(1，0)，半徑為，半徑為 2 的圓的圓由題設(shè)知由題設(shè)知，C1是過點是過點 B(0，2)且關(guān)于且關(guān)于 y 軸對稱的兩條射線軸對稱的兩條射線記記 y 軸軸右邊的射線為右邊的射線為 l1，y 軸左邊的射線為軸左邊的射線為 l2.由于點由于點 B 在圓在圓 C2的外面的外面，故故 C1與與 C2有且僅有三個公共點等價有且僅有三個公共點等價于于l1與與 C2只有一個公共點且只有一個公共點且 l2與與 C2有兩個公共點，或有兩個公共點，或 l2與與 C2只有一個只有一個公共點且公共點且 l1與與 C2有兩個公共點有兩個公共點當(dāng)當(dāng) l1與與 C2只有一個公共點時，只有一個公共點時，A 到到 l1所在直線的距離為所在直線的距離為 2，所以，所以|k2|k212，解得，解得 k43或或 k0.經(jīng)檢驗，當(dāng)經(jīng)檢驗，當(dāng) k0 時，時，l1與與 C2沒有公共點；沒有公共點；當(dāng)當(dāng) k43時，時，l1與與 C2只有一個公共點，只有一個公共點，l2與與 C2有兩個公共點有兩個公共點當(dāng)當(dāng) l2與與 C2只有一個公共點時只有一個公共點時，點點 A 到到 l2所在直線的距離為所在直線的距離為 2，所所以以|k2|k212，故，故 k0 或或 k43.經(jīng)檢驗，當(dāng)經(jīng)檢驗，當(dāng) k0 時，時，l1與與 C2沒有公共點；沒有公共點；當(dāng)當(dāng) k43時，時，l2與與 C2沒有公共點沒有公共點綜上，所求綜上，所求 C1的方程為的方程為 y43|x|2.B 級級能力提升能力提升7 在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中中， 以以 O 為極點為極點， x 軸的正半軸為極軸軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線建立極坐標(biāo)系，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為2sin 2acos (a0)；直；直線線 l 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為x222t，y22t(t 為參數(shù)為參數(shù)) 直線直線 l 與曲線與曲線 C 分別交分別交于于M，N 兩點兩點(1)寫出曲線寫出曲線 C 的直角坐標(biāo)方程和直線的直角坐標(biāo)方程和直線 l 的普通方程；的普通方程；(2)若點若點 P 的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為(2，)，|PM|PN|5 2，求，求 a 的值的值解：解：(1)由由2sin 2acos (a0)，得，得22sin 2acos (a0)，所以曲線所以曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為的直角坐標(biāo)方程為 x2y22y2ax，即即(xa)2(y1)2a21.由直線由直線 l 的參數(shù)方程得直線的參數(shù)方程得直線 l 的普通方程為的普通方程為 yx2.(2)將直線將直線 l 的參數(shù)方程的參數(shù)方程x222t，y22t.代入代入 x2y22y2ax，化簡得，化簡得 t2(3 2 2a)t4a40.(3 2 2a)24(4a4)0，解得，解得 a1.t1t23 2 2a，t1t24a4.又因為又因為 a0，所以，所以 t10，t20.因為點因為點 P 的直角坐標(biāo)為的直角坐標(biāo)為(2，0)，且在直線，且在直線 l 上，上，所以所以|PM|PN|t1|t2|3 2 2a5 2，解得解得 a2，此時滿足，此時滿足 a0，且，且 a1，故，故 a2.8(2019珠海檢測珠海檢測)在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線中，曲線 C1的參數(shù)方的參數(shù)方程為程為xt，y4t2(t 為參數(shù)為參數(shù))，以原點以原點 O 為極點為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線坐標(biāo)系，曲線 C2的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為2msin cos .(1)求求 C1的普通方程和的普通方程和 C2的直角坐標(biāo)方程；的直角坐標(biāo)方程；(2)若若 C1與與 C2交于交于 P，Q 兩點，求兩點，求1kOP1kOQ的值的值解：解：(1)由由xt，y4t2(t 為參數(shù)為參數(shù))，消去參數(shù)，消去參數(shù) t，得，得 x214y，則則 C1的普通方程為的普通方程為 x214y.由由2msin cos ，得，得 msin cos 2，將將 xcos ，ysin 代入，得代入，得 myx20，即即 C2的直角坐標(biāo)方程為的直角坐標(biāo)方程為 xmy20.(2)由由xt，y4t2(t 為參數(shù)為參數(shù))，可得，可得yx4t(x0)，故故 4t 的幾何意義是拋物線的幾何意義是拋物線 x214y 上的點上的點(原點除外原點除外)與原點連線的與原點連線的斜率斜率由由(1)知知，當(dāng)當(dāng) m0 時時，C2：x2，則則 C1與與 C2只有一個交點只有一個交點，故故 m0.把把xt，y4t2(t 為參數(shù)為參數(shù))代入代入 xmy20，得得 4mt2t20，設(shè)此方程的兩根分別為，設(shè)此方程的兩根分別為 t1，t2，則則 t1t214m，t1t212m，所以所以1kOP1kOQ14t114t2t1t24t1t214m412m18.