第二節(jié)第二節(jié)圓與方程及直線與圓的位置關(guān)系圓與方程及直線與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)一圓的方程1(20 xx重慶，7)已知圓C1：(x2)2(y3)21，圓C2：(x3)2(y4)29，M、N分別是圓C1、C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|PN|的最小值為()A5 24B. 171C62 2D. 17解析依題意，設(shè)C1關(guān)于x軸的對(duì)稱圓為C，圓心C為(2，3), 半徑為 1，C2的圓心為(3，4)，半徑為 3，則(|PC|PC2|)min|CC2|5 2，(|PM|PN|)min(|PC|PC2|)min(13)5 24，選 A.答案A2(20 xx新課標(biāo)全國(guó)，14)一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓x216y241 的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)解析由題意知圓過(guò)(4，0)，(0，2)，(0，2)三點(diǎn)，(4，0)，(0，2)兩點(diǎn)的垂直平分線方程為y12(x2)，令y0，解得x32，圓心為32，0，半徑為52.故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x322y2254.答案x322y22543(20 xx江蘇，10)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(1，0)為圓心且與直線mxy2m10(mR R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)解析直線mxy2m10 恒過(guò)定點(diǎn)(2，1)，由題意，得半徑最大的圓的半徑r（12）2（01）2 2.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y22.答案(x1)2y224(20 xx陜西，12)若圓C的半徑為 1，其圓心與點(diǎn)(1，0)關(guān)于直線yx對(duì)稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)解析因?yàn)辄c(diǎn)(1，0)關(guān)于直線yx對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，1)，即圓心C為(0，1)，又半徑為 1，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y1)21.答案x2(y1)215(20 xx福建，17)已知直線l：yxm，mR R.(1)若以點(diǎn)M(2，0)為圓心的圓與直線l相切于點(diǎn)P，且點(diǎn)P在y軸上，求該圓的方程；(2)若直線l關(guān)于x軸對(duì)稱的直線為l，問(wèn)直線l與拋物線C：x24y是否相切？說(shuō)明理由解法一(1)依題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，m)因?yàn)镸Pl，所以0m2011，解得m2，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，2)從而圓的半徑r|MP|（20）2（02）22 2，故所求圓的方程為(x2)2y28.(2)因?yàn)橹本€l的方程為yxm，所以直線l的方程為yxm.由yxm，x24y得x24x4m0.4244m16(1m)當(dāng)m1，即0 時(shí)，直線l與拋物線C相切；當(dāng)m1 時(shí)，即0 時(shí)，直線l與拋物線C不相切綜上，當(dāng)m1 時(shí)， 直線l與拋物線C相切；當(dāng)m1 時(shí)，直線l與拋物線C不相切法二(1)設(shè)所求圓的半徑為r，則圓的方程可設(shè)為(x2)2y2r2.依題意，所求圓與直線l：xym0 相切于點(diǎn)P(0，m)，則4m2r2，|20m|2r，解得m2，r2 2.所以所求圓的方程為(x2)2y28.(2)同法一考點(diǎn)二直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1(20 xx廣東，5)平行于直線 2xy10 且與圓x2y25 相切的直線的方程是()A2xy 50 或 2xy 50B2xy 50 或 2xy 50C2xy50 或 2xy50D2xy50 或 2xy50解析設(shè)所求切線方程為 2xyc0，依題有|00c|2212 5，解得c5，所以所求切線的直線方程為 2xy50 或 2xy50，故選 D.答案D2(20 xx新課標(biāo)全國(guó)，7)過(guò)三點(diǎn)A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圓交y軸于M、N兩點(diǎn)，則|MN|()A2 6B8C4 6D10解析由已知，得AB(3，1)，BC(3，9)，則ABBC3(3)(1)(9)0，所以ABBC，即ABBC，故過(guò)三點(diǎn)A、B、C的圓以AC為直徑，得其方程為(x1)2(y2)225， 令x0 得(y2)224， 解得y122 6，y222 6，所以|MN|y1y2|4 6，選 C.答案C3(20 xx重慶，8)已知直線l：xay10(aR R)是圓C：x2y24x2y10 的對(duì)稱軸，過(guò)點(diǎn)A(4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|()A2B4 2C6D2 10解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24，圓心為C(2，1)，半徑為r2，因此 2a110，a1，即A(4，1)，|AB| |AC|2r2（42）2（11）246，選 C.答案C4(20 xx山東，9)一條光線從點(diǎn)(2，3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x3)2(y2)21相切，則反射光線所在直線的斜率為()A53或35B32或23C54或45D43或34解析圓(x3)2(y2)21 的圓心為(3，2)，半徑r1.(2，3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(2，3)如圖所示，反射光線一定過(guò)點(diǎn)(2，3)且斜率k存在，反射光線所在直線方程為y3k(x2)，即kxy2k30.反射光線與已知圓相切，|3k22k3|k2（1）21，整理得 12k225k120，解得k34或k43.答案D5(20 xx江西，9)在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線 2xy40 相切，則圓C面積的最小值為()A.45B.34C(62 5)D.54解析由題意可知以線段AB為直徑的圓C過(guò)原點(diǎn)O，要使圓C的面積最小，只需圓C的半徑或直徑最小又圓C與直線 2xy40 相切，所以由平面幾何知識(shí)，知圓的直徑的最小值為點(diǎn)O到直線 2xy40 的距離，此時(shí) 2r45，得r25，圓C的面積的最小值為Sr245.答案A6(20 xx江西，9)過(guò)點(diǎn)( 2，0)引直線l與曲線y 1x2相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于()A.33B33C33D 3解析曲線y 1x2的圖象如圖所示， 若直線l與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，則直線l的斜率k0k245.設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1x26k21.AB中點(diǎn)M的軌跡C的參數(shù)方程為x3k21，y3kk21，2 55k2 55，即軌跡C的方程為x322y294，53x3.(3)聯(lián)立x23xy20，yk（x4）(1k2)x2(38k)x16k20.令(38k)24(1k2)16k20k34.又軌跡C(即圓弧)的端點(diǎn)53，2 53與點(diǎn)(4，0)決定的直線斜率為2 57.當(dāng)直線yk(x4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為2 57，2 5734，34 .13.(20 xx江蘇，17)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0，3)，直線l：y2x4.設(shè)圓C的半徑為 1，圓心在l上(1)若圓心C也在直線yx1 上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點(diǎn)M，使MA2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍解(1)由題設(shè)， 圓心C是直線y2x4 和yx1 的交點(diǎn)， 解得點(diǎn)C(3，2)，于是切線的斜率必存在設(shè)過(guò)A(0，3)的圓C的切線方程為ykx3，由題意，|3k1|k211，解得k0 或34，故所求切線方程為y3 或 3x4y120.(2)因?yàn)閳A心在直線y2x4 上，所以圓C的方程為(xa)2y2(a2)21.設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)镸A2MO，所以x2（y3）22x2y2，化簡(jiǎn)得x2y22y30，即x2(y1)24，所以點(diǎn)M在以D(0，1)為圓心，2 為半徑的圓上由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則|21|CD21，即 1a2（2a3）23.由 5a212a80，得aR R；由 5a212a0，得 0a125.所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為0，125