專(zhuān)題10 立體幾何一基礎(chǔ)題組1. 【20xx課標(biāo)全國(guó)，理4】已知m，n為異面直線，m平面，n平面.直線l滿足lm，ln，l，l，則()A且lB且lC與相交，且交線垂直于lD與相交，且交線平行于l【答案】：D2. 【20xx全國(guó)，理4】已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，E為CC1的中點(diǎn)，則直線AC1與平面BED的距離為()A2 B C D1【答案】 D由BDAC，ECBD知，BD面EOC，CMBDCM面BDE.HM為直線AC1到平面BDE的距離又ACC1為等腰直角三角形，CH=2.HM=1.3. 【20xx新課標(biāo)，理6】在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如下圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為()(正視圖)(俯視圖)【答案】D【解析】4. 【2006全國(guó)2，理4】過(guò)球的一條半徑的中點(diǎn),作垂直于該半徑的平面,則所得截面的面積與球的表面積的比為A. B. C. D. 【答案】:A【解析】:設(shè)球半徑為R,截面半徑為r.()2+r2=R2,r2=R2.=.選A.5. 【2006全國(guó)2，理7】如圖,平面平面,A,B,AB與兩平面,所成的角分別為和.過(guò)A,B分別作兩平面交線的垂線,垂足為A,B,則ABAB等于A.21B.31C.32D.43【答案】:A6. 【2005全國(guó)3，理4】設(shè)三棱柱ABCA1B1C1的體積為V，P、Q分別是側(cè)棱AA1、CC1上的點(diǎn)，且PA=QC1，則四棱錐BAPQC的體積為（ ）A B C D【答案】C【解析】連接，在側(cè)面平行四邊形中， 四邊形APQC的面積=四邊形的面積，記B到面的距離為h，.7. 【2005全國(guó)2，理2】正方體中，、分別是、的中點(diǎn)那么，正方體的過(guò)、的截面圖形是（ ）(A) 三角形(B) 四邊形(C) 五邊形(D) 六邊形【答案】D8. 【20xx新課標(biāo)，理18】（本小題滿分12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點(diǎn).（）證明：PB平面AEC；（）設(shè)二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積.【解析】（）證明：設(shè)O為AC與BD交點(diǎn)，連結(jié)OE，則由矩形ABCD知：O為BD的中點(diǎn)，因?yàn)镋是BD的中點(diǎn)，所以O(shè)EPB，因?yàn)镺E面AEC，PB面AEC，所以PB平面AEC。9. 【20xx全國(guó)，理18】ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cos(AC)cosB1，a2c，如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，PA2，E是PC上的一點(diǎn)，PE2EC(1)證明：PC平面BED；(2)設(shè)二面角APBC為90°，求PD與平面PBC所成角的大小【解析】解法一：(1)證明：因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以BDAC又PA底面ABCD，所以PCBD設(shè)ACBD=F，連結(jié)EF.因?yàn)?，PA=2，PE=2EC，故，從而，因?yàn)?，F(xiàn)CE=PCA，設(shè)C(，0,0)，D(，b,0)，其中b0，則P(0,0,2)，E(，0，)，B(，b,0)于是(，0，2)，(，b，)，(，b，)，從而，故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BDE.10. 【2006全國(guó)2，理19】如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BC,D,E分別為BB1,AC1的中點(diǎn).(1)證明:ED為異面直線BB1與AC1的公垂線;(2)設(shè)AA1=AC=AB,求二面角A1-AD-C1的大小.【解析】解法一:(1)設(shè)O為AC中點(diǎn),連結(jié)EO,BO,則EOC1C.又C1CB1B,EODB,EOBD為平行四邊形,EDOB.AB=BC,BOAC.又平面ABC平面ACC1A1,BO面ABC,故BO平面ACC1A1,ED平面ACC1A1,EDAC1,EDCC1.EDBB1,ED為異面直線AC1與BB1的公垂線.解法二:(1)如圖,建立直角坐標(biāo)系Oxyz,其中原點(diǎn)O為AC的中點(diǎn).設(shè)A(A,0,0),B(0,b,0),B1(0,b,2c),則C(-A,0,0),C1(-A,0,2c),E(0,0,c),D(0,b,c).=(0,b,0),=(0,0,2c).·=0,EDBB1.又=(-2A,0,2c),·=0,EDAC1.ED是異面直線BB1與AC1的公垂線.(2)不妨設(shè)A(1,0,0),則B(0,1,0),C(-1,0,0),A1(1,0,2),=(-1,-1,0),=(-1,1,0),=(0,0,2),·=0,·=0,即BCAB,BCAA1,又ABAA1=A,BC面A1AD.又E(0,0,1),D(0,1,1),C(-1,0,0),=(-1,0,-1),=(-1,0,1),=(0,1,0),·=0,·=0,即ECAE,ECED,又AEED=E,EC面C1AD.cos,=,即得和的夾角為60°.二面角A1-AD-C1為60°.11. 【2005全國(guó)3，理18】(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD （）證明AB平面VAD； （）求面VAD與面VDB所成的二面角的大小【解析】：證明：方法一：（）證明： （）解：取VD的中點(diǎn)E，連結(jié)AF，BE，VAD是正三形， AEVD，AE=AB平面VAD， ABAE.又由三垂線定理知BEVD. 因此，tanAEB=即得所求二面角的大小為（）設(shè)E為DV中點(diǎn)，則，由因此，AEB是所求二面角的平面角，解得所求二面角的大小為12. 【20xx高考新課標(biāo)2，理6】一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為( )A B C D【答案】D【考點(diǎn)定位】三視圖二能力題組1. 【20xx新課標(biāo)，理6】如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1（表示1cm）,圖中粗線畫(huà)出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來(lái)毛坯體積的比值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C2. 【20xx全國(guó)2，理9】已知正四棱錐SABCD中，SA2，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，它的高為()A1 B. C2 D3【答案】：CVSABCD×a2×h (242h2)×hh38hV2h28，令V0得h2.當(dāng)h(0,2)時(shí)，V單調(diào)遞增，當(dāng)h(2,2)時(shí)，V單調(diào)遞減，當(dāng)h2時(shí)，V取得最大值3. 【20xx新課標(biāo)，理15】已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且AB6，BC，則棱錐O­ABCD的體積為_(kāi)【答案】【解析】4. 【20xx課標(biāo)全國(guó)，理18】(本小題滿分12分)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，AA1ACCB.(1)證明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值 (2)由ACCB得，ACBC.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.5. 【20xx新課標(biāo)，理18】如圖，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB60°，AB2AD，PD底面ABCD(1)證明：PABD；(2)設(shè)PDAD，求二面角APBC的余弦值【解析】：(1)因?yàn)镈AB60°，AB2AD，由余弦定理得.從而B(niǎo)D2AD2AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD故PABD6. 【20xx全國(guó)2，理19】如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AA1AB，D為BB1的中點(diǎn)，E為AB1上的一點(diǎn)，AE3EB1.(1)證明DE為異面直線AB1與CD的公垂線；(2)設(shè)異面直線AB1與CD的夾角為45°，求二面角A1AC1B1的大小【解析】：解法一：(1)證明：連結(jié)A1B，記A1B與AB1的交點(diǎn)為F，因?yàn)槊鍭A1B1B為正方形，故A1BAB1，且AFFB1，又AE3EB1，所以FEEB1，又D為BB1的中點(diǎn)，故DEBF，DEAB1.作CGAB，G為垂足，由ACBC知，G為AB中點(diǎn)又由底面ABC面AA1B1B，得CG面AA1B1B，連結(jié)DG，則DGAB1，故DEDG，由三垂線定理，得DECD，所以DE為異面直線AB1與CD的公垂線所以二面角A1AC1B1的大小為arctan.解法二：(1)證明：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線BA為x軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz，設(shè)AB2，則A(2,0,0)，B1(0,2,0)，D(0,1,0)，E(，0)，又設(shè)C(1,0，c)，則(，0)，(2，2,0)，(1，1，c)于是0，0，故DEB1A，DEDC，所以DE為異面直線AB1與CD的公垂線設(shè)平面AB1C1的法向量為n(p，q，r)，則n·0，n·0，即p2qr0,2p2q0，令p，則q，r1，故n(，1)所以cosm，n.由于m，n等于二面角A1AC1B1的平面角，所以二面角A1AC1B1的大小為arccos.7. 【20xx高考新課標(biāo)2，理9】已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB=90,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為( )A36 B.64 C.144 D.256【答案】C三拔高題組1. 【20xx新課標(biāo)，理11】直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，則BM與AN所成的角的余弦值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】以C為原點(diǎn)，直線CA為x軸，直線CB為y軸，直線為軸，則設(shè)CA=CB=1，則，A（1，0，0），故，所以，故選C.2. 【20xx課標(biāo)全國(guó)，理7】一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫(huà)該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為()【答案】：A3. 【20xx全國(guó)2，理11】與正方體ABCDA1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點(diǎn)()A有且只有1個(gè) B有且只有2個(gè)C有且只有3個(gè) D有無(wú)數(shù)個(gè)【答案】：D【解析】經(jīng)驗(yàn)證線段B1D上的點(diǎn)B，D，中點(diǎn)，四等分點(diǎn)均滿足題意，故由排除法知應(yīng)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)4. 【2005全國(guó)2，理12】將半徑為1的4個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里這個(gè)正四面體的高的最小值為（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】C【解析】由題意知，底面放三個(gè)鋼球，上再落一個(gè)鋼球時(shí)體積最小，于是把鋼球的球心連接，則又可得到一個(gè)棱長(zhǎng)為2的小正四面體，則不難求出這個(gè)小正四面體的高為，且由正四面體的性質(zhì)可知：正四面體的中心到底面的距離是高的，且小正四面體的中心和正四面體容器的中心應(yīng)該是重合的，小正四面體的中心到底面的距離是，正四面體的中心到底面的距離是（1即小鋼球的半徑），所以可知正四棱錐的高的最小值為，故選 C5. 【20xx全國(guó)，理16】三棱柱ABCA1B1C1中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，BAA1CAA160°，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為_(kāi)【答案】：6. 【20xx全國(guó)2，理16】已知球O的半徑為4，圓M與圓N為該球的兩個(gè)小圓，AB為圓M與圓N的公共弦，AB4，若OMON3，則兩圓圓心的距離MN_.答案：3解析：|OM|ON|3，圓M與圓N的半徑相等，且為.取AB中點(diǎn)C，連結(jié)MC、NC，則MCAB，NCAB，|MC|NC|，易知OM、CN共面且OMMC，ONNC，|OC|2，sinOCM，|MN|2|MC|·sinOCM2×3. 7. 【2005全國(guó)2，理20】(本小題滿分12分)如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，、分別為、的中點(diǎn)() 求證：平面；() 設(shè)，求與平面所成的角的大小EFPEFAEFFAPB、FA為平面PAB內(nèi)的相交直線EF平面PAB以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的長(zhǎng)為單位，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。(I)證明：設(shè)E(，0,0)，其中>0，則C(2，0,0)，A(0,1，0)，B(2，1,0)，P(0,0，1)，F(xiàn)(，)。，EFPB，EFAB又PB平面PAB，AB平面PAB，PBAB=BEF平面PAB則sin=cos=，所以，所求角為arcsin8. 【20xx高考新課標(biāo)2，理19】（本題滿分12分）如圖，長(zhǎng)方體中,，點(diǎn)，分別在，上，過(guò)點(diǎn)，的平面與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形DD1C1A1EFABCB1（）在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形（不必說(shuō)出畫(huà)法和理由）；（）求直線與平面所成角的正弦值【答案】（）詳見(jiàn)解析；（）【考點(diǎn)定位】1、直線和平面平行的性質(zhì)；2、直線和平面所成的角9.