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精校版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案:第二講 三 圓的切線的性質(zhì)及判定定理 Word版含解析

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精校版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案:第二講 三 圓的切線的性質(zhì)及判定定理 Word版含解析

最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料 三圓的切線的性質(zhì)及判定定理 [對應(yīng)學(xué)生用書P25] 1.切線的性質(zhì) (1)性質(zhì)定理:圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑. 如圖,已知AB切⊙O于A點,則OA⊥AB. (2)推論1:經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點. (3)推論2:經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心. 2.圓的切線的判定方法 (1)定義:和圓只有一個公共點的直線是圓的切線. (2)數(shù)量關(guān)系:到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線. (3)定理:過半徑外端點且與這條半徑垂直的直線是圓的切線. 其中(2)和(3)是由(1)推出的,(2)是用數(shù)量關(guān)系來判定,而(3)是用位置關(guān)系加以判定的. [說明] 在切線的判定定理中要分清定理的題設(shè)和結(jié)論,“經(jīng)過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”這兩個條件缺一不可,否則該直線就不是圓的切線. [對應(yīng)學(xué)生用書P25] 圓的切線的性質(zhì) [例1] 如圖,已知∠C=90°,點O在AC上,CD為⊙O的直徑,⊙O切AB于E,若BC=5,AC=12.求⊙O的半徑. [思路點撥] ⊙O切AB于點E,由圓的切線的性質(zhì),易聯(lián)想到連接OE構(gòu)造Rt△OAE,再利用相似三角形的性質(zhì),求出⊙O的半徑. [解] 連接OE, ∵AB與⊙O切于點E, ∴OE⊥AB,即∠OEA=90°. ∵∠C=90°,∠A=∠A, ∴Rt△ACB∽Rt△AEO, ∴=. ∵BC=5,AC=12,∴AB=13, ∴=, ∴OE=. 即⊙O的半徑為. 利用圓的切線的性質(zhì)來證明或進行有關(guān)的計算有時需添加輔助線,其中連接圓心和切點的半徑是常用輔助線,從而可以構(gòu)造直角三角形,利用直角三角形邊角關(guān)系求解,或利用勾股定理求解,或利用三角形相似求解等. 1.如圖,AB切⊙O于點B,延長AO交⊙O于點C,連接BC.若∠A=40°,則∠C=(  ) A.20°          B.25° C.40° D.50° 解析:連接OB,因為AB切⊙O于點B,所以O(shè)B⊥AB,即∠ABO=90°,所以∠AOB=50°. 又因為點C在AO的延長線上,且在⊙O上, 所以∠C=∠AOB=25°. 答案:B 2.如圖,已知PAB是⊙O的割線,AB為⊙O的直徑.PC為⊙O的切線,C為切點,BD⊥PC于點D,交⊙O于點E,PA=AO=OB=1. (1)求∠P的度數(shù); (2)求DE的長. 解:(1)連接OC. ∵C為切點,∴OC⊥PC,△POC為直角三角形. ∵OC=OA=1,PO=PA+AO=2, ∴sin ∠P==.∴∠P=30°. (2)∵BD⊥PD,∴在Rt△PBD中, 由∠P=30°,PB=PA+AO+OB=3, 得BD=. 連接AE.則∠AEB=90°,∴AE∥PD. ∴∠EAB=∠P=30°,∴BE=ABsin 30°=1, ∴DE=BD-BE=. 圓的切線的判定 [例2] 已知D是△ABC的邊AC上的一點,AD∶DC=2∶1,∠C=45°,∠ADB=60°,求證:AB是△BCD的外接圓的切線. [思路點撥]   →→ →→. [證明] 如圖,連接OB,OC,OD,OD交BC于E. ∵∠DCB是所對的圓周角, ∠BOD是所對的圓心角, ∠BCD=45°, ∴∠BOD=90°. ∵∠ADB是△BCD的一個外角, ∴∠DBC=∠ADB-∠ACB =60°-45°=15°, ∴∠DOC=2∠DBC=30°, 從而∠BOC=120°, ∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=30°. 在△OEC中,因為∠EOC=∠ECO=30°, ∴OE=EC, 在△BOE中,因為∠BOE=90°,∠EBO=30°. ∴BE=2OE=2EC, ∴==, ∴AB∥OD,∴∠ABO=90°, 故AB是△BCD的外接圓的切線. 要證明某直線是圓的切線,主要是運用切線的判定定理,除此以外,還有圓心到直線的距離等于半徑等判定方法,但有時需添加輔助線構(gòu)造判定條件,其中過圓心作直線的垂線是常用輔助線. 3.本例中,若將已知改為“∠ABD=∠C”,怎樣證明:AB是△BCD的外接圓的切線. 證明:作直徑BE,連接DE, ∵BE是⊙O的直徑, ∴∠BDE=90°, ∴∠E+∠DBE=90°. ∵∠C=∠E,∠ABD=∠C, ∴∠ABD+∠DBE=90°. 即∠ABE=90°. ∴AB是△BCD的外接圓的切線. 4.如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,點D在OC的延長線上,sin B=,∠D=30°. (1)求證:AD是⊙O的切線. (2)若AC=6,求AD的長. 解:(1)證明:如圖,連接OA, ∵sin B=,∴∠B=30°, ∵∠AOC=2∠B,∴∠AOC=60°, ∵∠D=30°, ∴∠OAD=180°-∠D-∠AOC=90°, ∴AD是⊙O的切線. (2)∵OA=OC,∠AOC=60°, ∴△AOC是等邊三角形,∴OA=AC=6, ∵∠OAD=90°,∠D=30°, ∴AD=AO=6. 圓的切線的性質(zhì)和判定的綜合考查 [例3] 如圖,AB為⊙O的直徑,D是的中點,DE⊥AC交AC的延長線于E,⊙O的切線BF交AD的延長線于點F. (1)求證:DE是⊙O的切線; (2)若DE=3,⊙O的半徑為5,求BF的長. [思路點撥] (1)連接OD,證明OD⊥DE; (2)作DG⊥AB. [證明] (1)連接OD, ∵D是中點, ∴∠1=∠2. ∵OA=OD, ∴∠2=∠3. ∴∠1=∠3. ∴OD∥AE. ∵DE⊥AE,∴DE⊥OD,即DE是⊙O的切線. (2)過D作DG⊥AB, ∵∠1=∠2,∴DG=DE=3. 在Rt△ODG中,OG==4, ∴AG=4+5=9. ∵DG⊥AB,F(xiàn)B⊥AB,∴DG∥FB. ∴△ADG∽△AFB. ∴=. ∴=.∴BF=. 對圓的切線的性質(zhì)與判定的綜合考查往往是熱點,其解答思路常常是先證明某直線是圓的切線,再利用切線的性質(zhì)來求解相關(guān)結(jié)果. 5.如圖,已知兩個同心圓O,大圓的直徑AB交小圓于C、D,大圓的弦EF切小圓于C,ED交小圓于G,若小圓的半徑為2,EF=4,試求EG的長. 解:連接GC,則GC⊥ED. ∵EF和小圓切于C, ∴EF⊥CD,EC=EF=2. 又CD=4,∴在Rt△ECD中, 有ED= = =2. 由射影定理可知EC2=EG·ED, ∴EG===. 6.如圖,以Rt△ABC直角邊AC上一點O為圓心,OC為半徑的⊙O與AC的另一個交點為E,D為斜邊AB上一點且在⊙O上,AD2=AE·AC. (1)證明:AB是⊙O的切線; (2)若DE·OB=8,求⊙O的半徑. 解:(1)證明:連接OD,CD, ∵AD2=AE·AC, ∴=.又∵∠DAE=∠DAC, ∴△DAE∽△CAD,∴∠ADE=∠ACD. ∵OD=OC,∴∠ACD=∠ODC, 又∵CE是⊙O的直徑, ∴∠ODE+∠CDO=90°,∴∠ODA=90°, ∴AB是⊙O的切線. (2)∵AB,BC是⊙O的切線, ∴OB⊥DC,∴DE∥OB,∴∠CED=∠COB, ∵∠EDC=∠OCB,∴△CDE∽△BCO, ∴=,DE·OB=2R2=8, ∴⊙O的半徑為2. [對應(yīng)學(xué)生用書P27] 一、選擇題 1.下列說法:①與圓有公共點的直線是圓的切線;②垂直于圓的半徑的直線是圓的切線;③與圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線;④過直徑的端點,垂直于此直徑的直線是圓的切線.其中正確的有(  ) A.①②         B.②③ C.③④ D.①④ 答案:C 2.如圖,AB是⊙O的直徑,BC是⊙O的切線,AC交⊙O于D.AB=6,BC=8,則BD等于(  ) A.4 B.4.8 C.5.2 D.6 解析:∵AB是⊙O的直徑,∴BD⊥AC. ∵BC是⊙O的切線,∴AB⊥BC. ∵AB=6,BC=8,∴AC=10. ∴BD==4.8. 答案:B 3.如圖,CD切⊙O于B,CO的延長線交⊙O于A,若∠C=36°,則∠ABD的度數(shù)是(  ) A.72° B.63° C.54° D.36° 解析:連接OB. ∵CD為⊙O的切線,∴∠OBC=90°. ∵∠C=36°,∴∠BOC=54°. 又∵∠BOC=2∠A,∴∠A=27°, ∴∠ABD=∠A+∠C=27°+36°=63°. 答案:B 4.如圖,在⊙O中,AB為直徑,AD為弦,過B點的切線與AD的延長線交于C,若AD=DC,則sin ∠ACO等于(  ) A. B. C. D. 解析:連接BD,則BD⊥AC. ∵AD=DC,∴BA=BC, ∴∠BCA=45°. ∵BC是⊙O的切線,切點為B, ∴∠OBC=90°. ∴sin ∠BCO===, cos ∠BCO===. ∴sin ∠ACO=sin(45°-∠BCO) =sin 45°cos ∠BCO-cos 45°sin ∠BCO =×-×=. 答案:A 二、填空題 5.如圖,已知∠AOB=30°,M為OB邊上一點,以M為圓心、2為半徑作⊙M.若點M在OB邊上運動,則當(dāng)OM=________時,⊙M與OA相切. 解析:若⊙M與OA相切,則圓心M到直線OA的距離等于圓的半徑2. 過M作MN⊥OA于點N, 則MN=2. 在Rt△MON中,∵∠MON=30°, ∴OM=2MN=2×2=4. 答案:4 6.已知PA是圓O的切線,切點為A,PA=2,AC是圓O的直徑,PC與圓O交于B點,PB=1.則圓O的半徑R=________. 解析:AB==. 由AB2=PB·BC, ∴BC=3,Rt△ABC中, AC==2. ∴R=. 答案: 7.圓O的直徑AB=6,C為圓周上一點,BC=3,過C作圓的切線l,過A作l的垂線AD,AD分別與直線l、圓交于點D、E,則∠DAC=________,DC=________. 解析:連接OC, ∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC. 又∠DCA+∠ACO=90°, ∠ACO+∠OCB=90°, ∴∠DCA=∠OCB, ∵OC=3,BC=3, ∴△OCB是正三角形. ∴∠OBC=60°,即∠DCA=60°. ∴∠DAC=30°. 在Rt△ACB中,AC==3, DC=ACsin 30°=. 答案:30°  三、解答題 8.如圖所示,D是⊙O的直徑AB的延長線上一點,PD是⊙O的切線,P是切點,∠D=30 °. 求證:PA=PD. 證明:如圖,連接OP, ∵PD是⊙O的切線,P為切點. ∴PO⊥PD. ∵∠D=30°,∴∠POD=60°. 又∵OA=OP, ∴∠A=∠APO=30°. ∴∠A=∠D.∴PA=PD. 9.如圖,已知在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于D,過D點作⊙O的切線交AC于E. 求證:(1)DE⊥AC; (2)BD2=CE·CA. 證明:(1)連接OD,AD. ∵DE是⊙O的切線,D為切點, ∴OD⊥DE. ∵AB是⊙O的直徑, ∴AD⊥BC.又AB=AC, ∴BD=DC. ∴OD∥AC.∴DE⊥AC. (2)∵AD⊥BC,DE⊥AC, ∴△CDE∽△CAD. ∴=.∴CD2=CE·CA. ∴BD=DC.∴BD2=CE·CA. 10.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,BD是⊙O的直徑,AE⊥CD,垂足為E,DA平分∠BDE. (1)求證:AE是⊙O的切線; (2)若∠DBC=30°,DE=1 cm,求BD的長. 解:(1)證明:連接OA. ∵DA平分∠BDE, ∴∠BDA=∠EDA. ∵OA=OD, ∴∠ODA=∠OAD. ∴∠OAD=∠EDA. ∴OA∥CE. ∵AE⊥DE,∴∠AED=90°, ∴∠OAE=∠DEA=90°. ∴AE⊥OA. ∴AE是⊙O的切線. (2)∵BD是直徑, ∴∠BCD=∠BAD=90°. ∵∠DBC=30°,∴∠BDC=60°. ∴∠BDE=120°. ∵DA平分∠BDE, ∴∠BDA=∠EDA=60°. ∴∠ABD=∠EAD=30°. 在Rt△AED中,∠AED=90°,∠EAD=30°, ∴AD=2DE. 在Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠ABD=30°, ∴BD=2AD=4DE. ∵DE的長是1 cm, ∴BD的長是4 cm. 最新精品資料

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