最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料 三圓的切線的性質(zhì)及判定定理 課標(biāo)解讀 1.掌握切線的性質(zhì)定理及其推論，并能解決有關(guān)問題． 2.掌握切線的判定定理，會判定直線與圓相切. 1．切線的性質(zhì)定理及推論 圖2－3－1 (1)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑． 如圖2－3－1，已知AB切⊙O于點(diǎn)A，則OA⊥AB. (2)推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)． (3)推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心． 2．切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． 1．“以圓的兩條平行切線的切點(diǎn)為端點(diǎn)的線段是圓的直徑”這句話對嗎？為什么？ 【提示】　正確．如圖AB、CD分別切⊙O于E、F，連接EO并延長交CD于F′，∵AB是⊙O的切線，∴OE⊥AB.∵AB∥CD，∴OF′⊥CD，∴F′為切點(diǎn)，∴F′與F重合，即EF是⊙O的直徑． 2．判定直線與圓相切共有哪幾種方法？ 【提示】　判定直線與圓相切共有三種方法： (1)和圓只有一個公共點(diǎn)的直線是圓的切線； (2)到圓心距離等于圓的半徑的直線是圓的切線； (3)過半徑外端且和半徑垂直的直線是圓的切線． 3．從圓的切線的性質(zhì)定理及推論，你能得出怎樣的結(jié)論？ 【提示】　分析圓的切線的性質(zhì)定理及兩個推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系，可以得出如下結(jié)論：如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個，就可以推出第三個．①垂直于切線；②過切點(diǎn)；③過圓心．于是在利用切線性質(zhì)時，通常作的輔助線是過切點(diǎn)的半徑． 圓的切線性質(zhì)的應(yīng)用 圖2－3－2 　如圖2－3－2所示，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，AC平分∠DAB，AD⊥CD. (1)求證：OC∥AD； (2)若AD＝2，AC＝，求AB的長． 【思路探究】　(1)要證OC∥AD，只需證明OC⊥CD. (2)利用△ADC∽△ACB可求得． 【自主解答】　(1)如圖所示，連接BC. ∵CD為⊙O的切線， ∴OC⊥CD. 又AD⊥CD， ∴OC∥AD. (2)∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB. ∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90. 又AD⊥CD，∴∠ADC＝90， ∴△ADC∽△ACB. ∴＝，∴AC2＝ADAB. ∵AD＝2，AC＝，∴AB＝. 1．利用圓的切線的性質(zhì)來證明或進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算時，常用連接圓心與切點(diǎn)的半徑與切線垂直這一理論產(chǎn)生垂直關(guān)系． 2．常作的輔助線： (1)連接切點(diǎn)與圓心的半徑． (2)構(gòu)造直徑所對的圓周角． 如圖2－3－3，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于D，過D作⊙O的切線交AC于E.求證：DE⊥AC. 圖2－3－3 【證明】　如圖，連接OD、AD. ∵AB為⊙O直徑，∴AD⊥BC. ∵AB＝AC，即△ABC為等腰三角形， ∴AD為BC邊上的中線， 即BD＝DC.又OA＝OB， ∴OD為△ABC的中位線． ∴OD∥AC. ∵DE切⊙O于D，∴OD⊥DE. ∴DE⊥AC. 圓的切線的判定 　如圖2－3－4，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAF交⊙O于點(diǎn)E，過E作直線與AF垂直，交AF的延長線于點(diǎn)D，且交AB的延長線于點(diǎn)C.求證：CD是⊙O的切線． 圖2－3－4 【思路探究】　利用圓的切線的判定定理進(jìn)行切線的證明，關(guān)鍵是找出定理的兩個條件：①過半徑的外端；②該直線與某一條半徑所在的直線垂直． 【自主解答】　如圖，連接OE. ∵OA＝OE，∴∠1＝∠2. 又∵AE平分∠BAF， ∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠3，∴OE∥AD. ∵AD⊥CD，∴OE⊥CD. ∴CD與⊙O相切于點(diǎn)E. 1．解答本題的關(guān)鍵是證明OE⊥CD，而已知AD⊥CD，故只需證明OE∥AD. 2．判斷一條直線是圓的切線時，常用輔助線的作法 (1)如果已知這條直線與圓有公共點(diǎn)，則連接圓心與這個公共點(diǎn)，設(shè)法證明連接所得到的半徑與這條直線垂直，簡記為“連半徑，證垂直”； (2)若題目未說明這條直線與圓有公共點(diǎn)，則過圓心作這條直線的垂線，得垂線段，再證明這條垂線段的長等于半徑，簡記“作垂直，證半徑”． 圖2－3－5 　(2013洛陽模擬)如圖2－3－5，直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90，AD∥BC，E為AB上的點(diǎn)，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB為直徑的圓與CD有怎樣的位置關(guān)系？【解】　如題圖，過E作EF⊥CD于F， ∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD， ∠A＝∠B＝90， ∴AE＝EF＝BE＝AB. ∴以AB為直徑的圓的圓心為E， ∴EF是圓心E到CD的距離，且EF＝AB， ∴以AB為直徑的圓與邊CD是相切關(guān)系. 圓的切線性質(zhì)和判定定理的綜 合應(yīng)用 　如圖2－3－6，AB為⊙O的直徑，D是的中點(diǎn)，DE⊥AC交AC的延長線于E，⊙O的切線BF交AD的延長線于點(diǎn)F. 圖2－3－6 (1)求證：DE是⊙O的切線； (2)若DE＝3，⊙O的半徑為5，求BF的長． 【思路探究】　(1)利用圓的切線判定定理證明． (2)作DG⊥AB于G，利用△ADG∽△AFB求解． 【自主解答】　(1)連接OD，∵D是中點(diǎn)． ∴∠1＝∠2. ∵OA＝OD，∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3，∴OD∥AE. ∵DE⊥AE，∴DE⊥OD， 即DE是⊙O的切線． (2)過D作DG⊥AB， ∵∠1＝∠2，∴DG＝DE＝3. 在Rt△ODG中，OG＝＝4， ∴AG＝4＋5＝9. ∵DG⊥AB，F(xiàn)B⊥AB，∴DG∥FB. ∴△ADG∽△AFB，∴＝. ∴＝，∴BF＝. 1．解答本題(2)的關(guān)鍵是作出輔助線DG⊥AB于G，然后利用三角形相似求解． 2．對圓的切線的性質(zhì)與判定的綜合考查往往是熱點(diǎn)，其解答思路常常是先證明某直線是圓的切線，再利用切線的性質(zhì)來求解相關(guān)結(jié)果． 　已知如圖2－3－7，A是 ⊙O上一點(diǎn)，半徑OC的延長線與過點(diǎn)A的直線交于B點(diǎn)，OC＝BC，AC＝OB. 圖2－3－7 (1)求證：AB為⊙O的切線； (2)若∠ACD＝45，OC＝2，求弦CD的長． 【解】　(1)證明：如圖，連接OA， ∵OC＝BC，AC＝OB， ∴OC＝BC＝CA＝OA， ∴△ACO為等邊三角形， ∴∠O＝60，∴∠B＝30， ∴∠OAB＝90， ∴AB為⊙O的切線． (2)作AE⊥CD于點(diǎn)E， ∵∠O＝60，∴∠D＝30. 又∵∠ACD＝45，AC＝OC＝2， ∴在Rt△ACE中，CE＝AE＝， 在Rt△ADE中，∠D＝30， ∴AD＝2，∴DE＝. ∴CD＝DE＋CE＝＋. (教材第32頁習(xí)題2.3第3題)如圖2－3－8，AB是 ⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，OC平行于弦AD.求證：DC是⊙O的切線． 圖2－3－8 (2013江蘇高考) 圖2－3－9 如圖2－3－9，AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，AC經(jīng)過圓心O，且BC＝2OC.求證：AC＝2AD. 【命題意圖】　考查圓的切線性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．考查推理論證能力及分析問題、解決問題的能力． 【證明】　連接OD.因?yàn)锳B和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C， 所以∠ADO＝∠ACB＝90. 又因?yàn)椤螦＝∠A， 所以Rt△ADO∽Rt△ACB. 所以＝. 又BC＝2OC＝2OD， 故AC＝2AD. 1．AB是⊙O的切線，能確定CD⊥AB的條件是(　　) A．O∈CD　　　　　　　B．CD過切點(diǎn) C．O∈CD，且CD過切點(diǎn) D．CD是⊙O的直徑 【解析】　由切線的性質(zhì)定理知，選項(xiàng)C正確． 【答案】　C 2. 圖2－3－10 如圖2－3－10所示，直線l與⊙O相切，P是l上任一點(diǎn)，當(dāng)OP⊥l時，則(　　) A．P不在⊙O上 B．P在⊙O上 C．P不可能是切點(diǎn) D．OP大于⊙O的半徑 【解析】　由切線性質(zhì)定理的推論1，經(jīng)過圓心O垂直于切線l的直線必過切點(diǎn)，故P為切點(diǎn)，應(yīng)選B. 【答案】　B 圖2－3－11 3．如圖2－3－11，AP為圓O的切線，P為切點(diǎn)，OA交圓O于點(diǎn)B，若∠A＝40，則∠APB等于(　　) A．25　　　　　　　B．20 C．40 D．35 【解析】　如圖，連接OP， ∵AP為圓O的切線，∴∠OPA＝90， ∵∠A＝40，∴∠AOP＝90－40＝50. ∵OP＝OB，∴∠OPB＝(180－50)＝65. ∴∠APB＝∠OPA－∠OPB＝90－65＝25. 【答案】　A 4．如圖2－3－12，AB是半圓O的直徑，∠BAC＝30，BC為半圓的切線，且BC＝4，則點(diǎn)O到AC的距離OD＝________. 圖2－3－12 【解析】　如圖，∵BC為半圓的切線， ∴AB⊥BC. 又∠BAC＝30，∴∠C＝60. 設(shè)AC交半圓O于E， 連接BE，則BE⊥AC， ∴∠CBE＝30，∴EC＝BC＝2， ∴BE＝＝＝6， ∴OD＝BE＝3. 【答案】　3 一、選擇題 1．下列說法：①與圓有公共點(diǎn)的直線是圓的切線；②垂直于圓的半徑的直線是圓的切線；③與圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；④過直徑的端點(diǎn)，垂直于此直徑的直線是圓的切線．其中正確的有(　　) A．①②　　　　　　　B．②③ C．③④ D．①④ 【解析】　根據(jù)切線的定義及判定定理知③④正確． 【答案】　C 2．AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，AC交⊙O于D，AB＝6，BC＝8，則BD等于(　　) A．4　　　B．4.8　　　C．5.2　　　D．6 【解析】　∵AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線， ∴AB⊥CB，BD⊥AC. ∵AC＝＝10， ∴BD＝＝＝4.8. 【答案】　C 圖2－3－13 3．如圖2－3－13所示，⊙O是正△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為E、F、G，點(diǎn)P是弧EG上的任意一點(diǎn)，則∠EPF＝(　　) A．120 B．90 C．60 D．30 【解析】　如圖所示，連接OE、OF. ∵OE⊥AB，OF⊥BC， ∴∠BEO＝∠BFO＝90. ∴∠EOF＋∠ABC＝180. ∴∠EOF＝120. ∴∠EPF＝∠EOF＝60. 【答案】　C 圖2－3－14 4．如圖2－3－14所示，AC切⊙O于D，AO的延長線交⊙O于B，且AB⊥BC，若AD∶AC＝1∶2，則AO∶OB＝(　　) A．2∶1 B．1∶1 C．1∶2 D．1∶1.5 【解析】　如圖所示，連接OD、OC，則OD⊥AC. ∵AB⊥BC，∴∠ODC＝∠OBC＝90. ∵OB＝OD，OC＝OC， ∴△CDO≌△CBO.∴BC＝DC. ∵＝，∴AD＝DC. ∴BC＝AC， 又OB⊥BC，∴∠A＝30， ∴OB＝OD＝AO，∴＝. 【答案】　A 二、填空題 5. 圖2－3－15 (2013開封模擬)如圖2－3－15，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝5，BC＝12，⊙O分別與邊AB、AC相切，切點(diǎn)分別為E、C.則⊙O的半徑是________． 【解析】　連接OE，設(shè)OE＝r， ∵OC＝OE＝r，BC＝12， 則BO＝12－r，AB＝＝13， 由△BEO∽△BCA，得＝， 即＝，解得r＝. 【答案】　 6．(2012廣東高考) 圖2－3－16 如圖2－3－16所示，圓O的半徑為1，A，B，C是圓周上的三點(diǎn)，滿足∠ABC＝30，過點(diǎn)A作圓O的切線與OC的延長線交于點(diǎn)P，則PA＝________. 【解析】　連接OA.∵AP為⊙O的切線， ∴OA⊥AP. 又∠ABC＝30，∴∠AOC＝60. ∴在Rt△AOP中，OA＝1，PA＝OAtan 60＝. 【答案】　 三、解答題 圖2－3－17 7．如圖2－3－17，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝30，M是OA上一點(diǎn)，過M作AB的垂線交AC于點(diǎn)N，交BC的延長線于點(diǎn)E，直線CF交EN于點(diǎn)F，且∠ECF＝∠E. 求證：CF是⊙O的切線． 【證明】　如圖，連接OC，∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90. ∵∠BAC＝30， ∴∠ABC＝60， 又∵OB＝OC. ∴∠OCB＝∠OBC＝60， 在Rt△EMB中， ∵∠E＋∠MBE＝90， ∴∠E＝30. ∵∠E＝∠ECF，∴∠ECF＝30， ∴∠ECF＋∠OCB＝90. 又∵∠ECF＋∠OCB＋∠OCF＝180， ∴∠OCF＝90.∴CF為⊙O的切線． 8．如圖2－3－18，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長線上，弦CD⊥AB于E，∠POC＝∠PCE. 圖2－3－18 (1)求證：PC是⊙O的切線； (2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O半徑． 【解】　(1)證明：在△OCP與△CEP中， ∵∠POC＝∠PCE，∠OPC＝∠CPE， ∴∠OCP＝∠CEP. ∵CD⊥AB，∴∠CEP＝90，∴∠OCP＝90. 又C點(diǎn)在圓上，∴PC是⊙O的切線． (2)法一　設(shè)OE＝x，則EA＝2x，OC＝OA＝3x. ∵∠COE＝∠AOC，∠OEC＝∠OCP＝90， ∴△OCE∽△OPC，∴＝. 即(3x)2＝x(3x＋6)，∴x＝1， ∴OA＝3x＝3，即圓的半徑為3. 法二　由(1)知PC是⊙O的切線， ∴∠OCP＝90. 又∵CD⊥OP，由射影定理知OC2＝OEOP，以下同法一． 9．如圖2－3－19，AD是⊙O的直徑，BC切⊙O于點(diǎn)D，AB、AC與圓分別相交于點(diǎn)E、F. 圖2－3－19 (1)AEAB與AFAC有何關(guān)系？請給予證明； (2)在圖中，如果把直線BC向上或向下平移，得到圖(1)或圖(2)，在此條件下，(1)題的結(jié)論是否仍成立？為什么？ 【解】　(1)AEAB＝AFAC. 證明：連接DE. ∵AD為⊙O的直徑，∴∠DEA＝90. 又∵BC與⊙O相切于點(diǎn)D， ∴AD⊥BC，即∠ADB＝90， ∴∠ADB＝∠DEA. 又∵∠BAD＝∠DAE， ∴△BAD∽△DAE， ∴＝，即AD2＝ABAE. 同理AD2＝AFAC， ∴AEAB＝AFAC. (2)(1)中的結(jié)論仍成立． 因?yàn)锽C在平移時始終與AD垂直，設(shè)垂足為D′， 則∠AD′B＝90. ∵AD為圓的直徑， ∴∠AED＝∠AD′B＝90. 又∵∠DAE＝∠BAD′. ∴△ABD′∽△ADE. ∴＝，∴ABAE＝ADAD′. 同理AFAC＝ADAD′，故AEAB＝AFAC. 10. 如圖，正方形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，延長BA到E，使AE＝AB，連接ED. (1)求證：直線ED是⊙O的切線； (2)連接EO交AD于點(diǎn)F，求證：EF＝2FO. 【解】　(1)證明：連接OD. ∵四邊形ABCD為正方形， AE＝AB， ∴AE＝AB＝AD， ∠EAD＝∠DAB＝90. ∴∠EDA＝45，∠ODA＝45. ∴∠ODE＝∠ADE＋∠ODA＝90. ∴直線ED是⊙O的切線． (2)作OM⊥AB于M. ∵O為正方形的中心，∴M為AB的中點(diǎn)． ∵AE＝AB＝2AM，AF∥OM. ∴＝＝2，∴EF＝2FO. 最新精品資料