專題十七專題十七 坐標(biāo)系與參數(shù)方程坐標(biāo)系與參數(shù)方程(選修選修 44) 卷卷 卷卷 卷卷 2018 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、曲線方程的求解曲線方程的求解 參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程的應(yīng)用互化、參數(shù)方程的應(yīng)用 參數(shù)方程與普通方程參數(shù)方程與普通方程的互化、參數(shù)方程的的互化、參數(shù)方程的應(yīng)用應(yīng)用 2017 參數(shù)方程與普通方程的互參數(shù)方程與普通方程的互化、化、點到直線的距離點到直線的距離 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、動直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、動點軌跡方程的求法、三角形面點軌跡方程的求法、三角形面積的最值問題積的最值問題 直線的參數(shù)方程與極直線的參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程、動點軌跡坐標(biāo)方程、動點軌跡方程的求法方程的求法 2016 參數(shù)方程與普通方程的互參數(shù)方程與普通方程的互化、 極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)化、 極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化及應(yīng)用方程的互化及應(yīng)用 極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化及應(yīng)用、直線與圓的位的互化及應(yīng)用、直線與圓的位置關(guān)系置關(guān)系 參數(shù)方程、極坐標(biāo)方參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程及點到直線的距程及點到直線的距離、三角函數(shù)的最值離、三角函數(shù)的最值 縱向縱向把握把握趨勢趨勢 考題主要考查極坐標(biāo)與直考題主要考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、 參數(shù)方程與角坐標(biāo)的互化、 參數(shù)方程與普通方程的互化、 曲線方程普通方程的互化、 曲線方程的求解及點到直線距離的的求解及點到直線距離的應(yīng)用預(yù)計應(yīng)用預(yù)計 2019 年會以直年會以直線與圓為載體考查直線與線與圓為載體考查直線與圓參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程圓參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的應(yīng)用的應(yīng)用 考題主要考題主要涉及直角坐標(biāo)方程與參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程涉及直角坐標(biāo)方程與參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的互化、軌跡方程的求法、三角形面積的最值問題、的互化、軌跡方程的求法、三角形面積的最值問題、直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，難度適中預(yù)計直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，難度適中預(yù)計 2019 年會年會以極坐標(biāo)或參數(shù)方程為載體，考查直線與圓的方程及以極坐標(biāo)或參數(shù)方程為載體，考查直線與圓的方程及性質(zhì)性質(zhì) 橫向橫向把握把握重點重點 1.坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一，高考考查的重點主要有兩個方面：一坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一，高考考查的重點主要有兩個方面：一是簡單曲線的極坐標(biāo)方程；二是參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與曲線的綜合應(yīng)用是簡單曲線的極坐標(biāo)方程；二是參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與曲線的綜合應(yīng)用 2.全國卷對此部分內(nèi)容的考查以解答題形式出現(xiàn)，難度中等，備考此部分內(nèi)容時應(yīng)全國卷對此部分內(nèi)容的考查以解答題形式出現(xiàn)，難度中等，備考此部分內(nèi)容時應(yīng)注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 極坐標(biāo)方程及應(yīng)用極坐標(biāo)方程及應(yīng)用 由題知法由題知法 1圓的極坐標(biāo)方程圓的極坐標(biāo)方程 若圓心為若圓心為 M(0，0)，半徑為，半徑為 r，則圓的方程為：，則圓的方程為：220cos(0)20r20. 幾個特殊位置的圓的極坐標(biāo)方幾個特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程：程： (1)當(dāng)圓心位于極點，半徑為當(dāng)圓心位于極點，半徑為 r：r； (2)當(dāng)圓心位于當(dāng)圓心位于 M(a,0)，半徑為，半徑為 a：2acos ； (3)當(dāng)圓心位于當(dāng)圓心位于 M a，2，半徑為，半徑為 a：2asin . 2直線的極坐標(biāo)方程直線的極坐標(biāo)方程 若直線過點若直線過點 M(0，0)，且極軸與此直線所成的角為，且極軸與此直線所成的角為 ，則它的方程為：，則它的方程為：sin()0sin(0) 幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程：幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程： (1)直線過極點：直線過極點：0和和 0； (2)直線過點直線過點 M(a,0)且垂直于極軸：且垂直于極軸：cos a； (3)直線過直線過 M b，2且平行于極軸：且平行于極軸：sin b. 典例典例 (2019 屆 高 三屆 高 三 廣 州 七 校 第 一 次 聯(lián) 考廣 州 七 校 第 一 次 聯(lián) 考 ) 已 知 曲 線已 知 曲 線 C 的 參 數(shù) 方 程 為的 參 數(shù) 方 程 為 x2 5cos ，y1 5sin ( 為參數(shù)為參數(shù))，以坐標(biāo)原點，以坐標(biāo)原點 O 為極點，為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 (1)求曲線求曲線 C 的極坐標(biāo)方程；的極坐標(biāo)方程； (2)設(shè)設(shè) l1：6，l2：3，若，若 l1，l2與曲線與曲線 C 相交于異于原點的兩點相交于異于原點的兩點 A，B，求，求AOB的面積的面積 解解 (1)曲線曲線 C 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 x2 5cos ，y1 5sin ( 為參數(shù)為參數(shù))， 曲線曲線 C 的普通方程為的普通方程為(x2)2(y1)25. 將將 xcos ，ysin 代入并化簡得代入并化簡得 4cos 2sin ， 曲線曲線 C 的極的極坐標(biāo)方程為坐標(biāo)方程為 4cos 2sin . (2)在極坐標(biāo)系中，曲線在極坐標(biāo)系中，曲線 C：4cos 2sin ， 由由 6，4cos 2sin ，得得|OA|2 31. 同理可得同理可得|OB|2 3. 又又AOB6， SAOB12|OA| |OB|sinAOB85 34. AOB 的面積為的面積為85 34. 類題通法類題通法 1極坐標(biāo)方程與普通方程的互化技巧極坐標(biāo)方程與普通方程的互化技巧 (1)巧用極坐標(biāo)方程兩邊同乘以巧用極坐標(biāo)方程兩邊同乘以或同時平方技巧， 將極坐標(biāo)方程構(gòu)造成含有或同時平方技巧， 將極坐標(biāo)方程構(gòu)造成含有cos ， sin ，2的形式，然后利用公式代入化簡得到普通方程的形式，然后利用公式代入化簡得到普通方程 (2)巧借兩角和差公式，轉(zhuǎn)化巧借兩角和差公式，轉(zhuǎn)化 sin( )或或 cos( )的結(jié)構(gòu)形式，進而利用互化公式得的結(jié)構(gòu)形式，進而利用互化公式得到普通方程到普通方程 (3)將直角坐標(biāo)方程中的將直角坐標(biāo)方程中的 x 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為 cos ，將，將 y 換成換成 sin ，即可得到其極坐標(biāo)方程，即可得到其極坐標(biāo)方程 2求解與極坐標(biāo)有關(guān)的問題的主要方法求解與極坐標(biāo)有關(guān)的問題的主要方法 (1)直接利用極坐標(biāo)系求解，可與數(shù)形結(jié)合思想直接利用極坐標(biāo)系求解，可與數(shù)形結(jié)合思想結(jié)合使用結(jié)合使用 (2)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系，用直角坐標(biāo)求解若結(jié)果要求的是極坐標(biāo)，還應(yīng)將直角坐標(biāo)化轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系，用直角坐標(biāo)求解若結(jié)果要求的是極坐標(biāo)，還應(yīng)將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)為極坐標(biāo) 應(yīng)用通關(guān)應(yīng)用通關(guān) 1(2019 屆高三屆高三 南寧模擬南寧模擬)已知曲線已知曲線 C1的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 xcos ，y1sin ( 為參數(shù)為參數(shù))，以坐標(biāo)，以坐標(biāo)原點為極點，原點為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C2的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為 4sin 3，直線直線 l 的直角坐標(biāo)方程為的直角坐標(biāo)方程為 y33x. (1)求曲線求曲線 C1和直線和直線 l 的極坐標(biāo)方程；的極坐標(biāo)方程； (2)已知直線已知直線 l 分別與曲線分別與曲線 C1、曲線、曲線 C2相交于異于極點的相交于異于極點的 A，B 兩點，若兩點，若 A，B 的極徑的極徑分別為分別為 1，2，求，求|21|的值的值 解：解：(1)由曲線由曲線 C1的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 xcos ，y1sin ( 為參數(shù)為參數(shù))， 得曲線得曲線 C1的普通方程為的普通方程為 x2(y1)21， 則則 C1的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為 2sin . 易知直線易知直線 l 過原點，且傾斜角為過原點，且傾斜角為6， 故直線故直線 l 的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為 6(R R) (2)曲線曲線 C1的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為 2sin ， 直線直線 l 的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為 6， 將將 6代入代入 C1的極坐標(biāo)方程得的極坐標(biāo)方程得 11， 將將 6代入代入 C2的極坐標(biāo)方程得的極坐標(biāo)方程得 24， |21|3. 2(2018 全國卷全國卷)在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線中，曲線 C1的方程為的方程為 yk|x|2.以坐標(biāo)原點為以坐標(biāo)原點為極點，極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C2的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為 22cos 30. (1)求求 C2的直角坐標(biāo)方程；的直角坐標(biāo)方程； (2)若若 C1與與 C2有且僅有三個公共點，求有且僅有三個公共點，求 C1的方程的方程 解：解：(1)由由 xcos ，ysin 得得 C2的直角坐標(biāo)方程為的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y24. (2)由由(1)知知 C2是圓心為是圓心為 A(1,0)，半徑為，半徑為 2 的圓的圓 由題設(shè)知，由題設(shè)知，C1是過點是過點 B(0,2)且關(guān)于且關(guān)于 y 軸對稱的兩條射線記軸對稱的兩條射線記 y 軸右邊的射線為軸右邊的射線為 l1，y 軸軸左邊的射線為左邊的射線為 l2. 由于點由于點 B 在圓在圓 C2的外面， 故的外面， 故 C1與與 C2有且僅有三個公共點等價于有且僅有三個公共點等價于 l1與與 C2只有一個公共只有一個公共點且點且 l2與與 C2有兩個公共點，或有兩個公共點，或 l2與與 C2只有一個公共點且只有一個公共點且 l1與與 C2有兩個公共點有兩個公共點 當(dāng)當(dāng) l1與與 C2只有一個公共點時，點只有一個公共點時，點 A 到到 l1所在直線的距離為所在直線的距離為 2，所以，所以|k2|k212，故，故 k43或或 k0. 經(jīng)檢驗，當(dāng)經(jīng)檢驗，當(dāng) k0 時，時，l1與與 C2沒有公共點；沒有公共點； 當(dāng)當(dāng) k43時，時，l1與與 C2只有一個公共點，只有一個公共點，l2與與 C2有兩個公共點有兩個公共點 當(dāng)當(dāng) l2與與 C2只有一個公共點時，點只有一個公共點時，點 A 到到 l2所在直線的距離為所在直線的距離為 2，所以，所以|k2|k212，故，故 k0 或或 k43. 經(jīng)檢驗，當(dāng)經(jīng)檢驗，當(dāng) k0 時，時，l1與與 C2沒有公共點；沒有公共點； 當(dāng)當(dāng) k43時，時，l2與與 C2沒有公共點沒有公共點 綜上，所求綜上，所求 C1的方程為的方程為 y43|x|2. 參數(shù)方程及應(yīng)用參數(shù)方程及應(yīng)用 由題知法由題知法 常見的幾種曲線的普通方程和參數(shù)方程常見的幾種曲線的普通方程和參數(shù)方程 點的點的 軌跡軌跡 普通方程普通方程 參數(shù)方程參數(shù)方程 直線直線 yy0tan (xx0) xx0tcos ，yy0tsin (t 為參數(shù)為參數(shù)) 圓圓 (xx0)2(yy0)2r2 xx0rcos ，yy0rsin ( 為參數(shù)為參數(shù)) 橢圓橢圓 x2a2y2b21(ab0) xacos ，ybsin ( 為參數(shù)為參數(shù)) 拋物線拋物線 y22px x2pt2，y2pt(t 為參數(shù)為參數(shù)) 典例典例 已知直線已知直線 l 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 xt，ymt(t 為參數(shù)為參數(shù))，圓，圓 C 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 xcos ，y1sin ( 為參數(shù)為參數(shù)) (1)若直線若直線 l 與圓與圓 C 的相交弦長不小于的相交弦長不小于 2，求實數(shù)，求實數(shù) m 的取值范圍；的取值范圍； (2)若點若點 A 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2,0)，動點，動點 P 在圓在圓 C 上，試求線段上，試求線段 PA 的中點的中點 Q 的軌跡方程的軌跡方程 解解 (1)由直線由直線 l 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 xt，ymt(t 為參數(shù)為參數(shù))，得直線，得直線 l 的普通方程為的普通方程為 ymx， 由圓由圓 C 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 xcos y1sin ( 為參數(shù)為參數(shù))， 得圓得圓 C 的普通方程為的普通方程為 x2(y1)21. 則圓心則圓心(0,1)到直線到直線 l 的距離的距離 d1m21， 故相交弦長為故相交弦長為 2 11m21， 所以所以 2 11m21 2， 解得解得 m1 或或 m1. 所以實數(shù)所以實數(shù) m 的取值范圍為的取值范圍為(，11，) (2)設(shè)設(shè) P(cos ，1sin )，Q(x，y)， 則則 x12(cos 2)，y12(1sin )， 消去消去 ，整理可得線段，整理可得線段 PA 的中點的中點 Q 的軌跡方程為的軌跡方程為 (x1)2 y12214. 類題通法類題通法 1參數(shù)方程化為普通方程消去參參數(shù)方程化為普通方程消去參數(shù)的方法數(shù)的方法 (1)代入消參法：將參數(shù)解出來代入另一個方程消去參數(shù)，直線的參數(shù)方程通常用代入代入消參法：將參數(shù)解出來代入另一個方程消去參數(shù)，直線的參數(shù)方程通常用代入消參法消參法 (2)三角恒等式法：利用三角恒等式法：利用 sin2cos21 消去參數(shù)，圓的參數(shù)方程和橢圓的參數(shù)方程都消去參數(shù)，圓的參數(shù)方程和橢圓的參數(shù)方程都是運用三角恒等式法是運用三角恒等式法 (3)常見消參數(shù)的關(guān)系式：常見消參數(shù)的關(guān)系式： t1t1； t1t2 t1t24； 2t1t22 1t21t221. 2與參數(shù)方程有關(guān)問題的求解方法與參數(shù)方程有關(guān)問題的求解方法 (1)過定點過定點 P0(x0，y0)，傾斜角為，傾斜角為 的直線參數(shù)方程的標(biāo)準形式為的直線參數(shù)方程的標(biāo)準形式為 xx0tcos ，yy0tsin (t 為為參數(shù)參數(shù))，|t|等于直線上的點等于直線上的點 P 到點到點 P0(x0，y0)的距離若直線上任意兩點的距離若直線上任意兩點 P1，P2對應(yīng)的參數(shù)對應(yīng)的參數(shù)分別為分別為 t1，t2，則，則|P1P2|t1t2|，P1P2的中點對應(yīng)的參數(shù)為的中點對應(yīng)的參數(shù)為12(t1t2) (2)解決與直線、圓錐曲線的參數(shù)方程有關(guān)的綜合問題時，要注意普通方程與參數(shù)方程解決與直線、圓錐曲線的參數(shù)方程有關(guān)的綜合問題時，要注意普通方程與參數(shù)方程的互化，主要是通過互化解決與圓錐曲線上動點有關(guān)的問題，如最值、范圍等的互化，主要是通過互化解決與圓錐曲線上動點有關(guān)的問題，如最值、范圍等 應(yīng)用通關(guān)應(yīng)用通關(guān) 1(2018 全國卷全國卷)在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線中，曲線 C 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 x2cos ，y4sin ( 為參為參數(shù)數(shù))，直線，直線 l 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 x1tcos ，y2tsin (t 為參數(shù)為參數(shù)) (1)求求 C 和和 l 的直角坐標(biāo)方程；的直角坐標(biāo)方程； (2)若曲線若曲線 C 截直線截直線 l 所得線段的中點坐標(biāo)為所得線段的中點坐標(biāo)為(1,2)，求，求 l 的斜率的斜率 解：解：(1)曲線曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為的直角坐標(biāo)方程為x24y2161.當(dāng)當(dāng) cos 0 時，時，l 的直角坐標(biāo)方程為的直角坐標(biāo)方程為 ytan x2tan ， 當(dāng)當(dāng) cos 0 時，時，l 的直角坐標(biāo)方程為的直角坐標(biāo)方程為 x1. (2)將將 l 的參數(shù)方程代入的參數(shù)方程代入 C 的直角坐標(biāo)方程， 整理得關(guān)于的直角坐標(biāo)方程， 整理得關(guān)于 t 的方程的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80. 因為曲線因為曲線 C 截直線截直線 l 所得線段的中點所得線段的中點(1,2)在在 C 內(nèi)，內(nèi)， 所以所以有兩個解，設(shè)為有兩個解，設(shè)為 t1，t2，則，則 t1t20. 又由又由得得 t1t24 2cos sin 13cos2， 故故 2cos sin 0， 于是直線于是直線 l 的斜率的斜率 ktan 2. 2 (2018 石 家 莊 質(zhì) 檢石 家 莊 質(zhì) 檢 ) 在 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系在 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 xOy 中 ， 圓中 ， 圓 C 的 參 數(shù) 方 程 為的 參 數(shù) 方 程 為 x5 2cos t，y3 2sin t(t 為參數(shù)為參數(shù))，在以原點，在以原點 O 為極點，為極點，x 軸的非負半軸為極軸建立的極坐標(biāo)軸的非負半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線系中，直線 l 的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為 cos 4 2. (1)求圓求圓 C 的普通方程和直線的普通方程和直線 l 的直角坐標(biāo)方程；的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)直線設(shè)直線 l 與與 x 軸，軸，y 軸分別交于軸分別交于 A，B 兩點，點兩點，點 P 是圓是圓 C 上任意一點，求上任意一點，求 A，B 兩點兩點的極坐標(biāo)和的極坐標(biāo)和PAB 面積的最小值面積的最小值 解：解：(1)由由 x5 2cos t，y3 2sin t消去參數(shù)消去參數(shù) t， 得得(x5)2(y3)22， 所以圓所以圓 C 的普通方程為的普通方程為(x5)2(y3)22. 由由 cos 4 2，得，得 cos sin 2， 所以直線所以直線 l 的直角坐標(biāo)方程為的直角坐標(biāo)方程為 xy20. (2)直線直線 l 與與 x 軸，軸，y 軸的交點分別為軸的交點分別為 A(2,0)，B(0,2)， 化為極坐標(biāo)為化為極坐標(biāo)為 A(2，)，B 2，2， 設(shè)點設(shè)點 P 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(5 2cos t,3 2sin t)， 則點則點 P 到直線到直線 l 的距離為的距離為 d|5 2cos t3 2sin t2|2 62cos t42. 所以所以 dmin422 2，又，又|AB|2 2. 所以所以PAB 面積的最小值是面積的最小值是 S122 22 24. 極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合問題極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合問題 由題知法由題知法 典例典例 (2018 鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線中，直線 l 過點過點(1,0)，傾斜角為傾斜角為 ，以坐標(biāo)原點為極點，以坐標(biāo)原點為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線線 C 的極坐標(biāo)方程的極坐標(biāo)方程是是 8cos 1cos2. (1)寫出直線寫出直線 l 的參數(shù)方程和曲線的參數(shù)方程和曲線 C 的直角坐標(biāo)方程；的直角坐標(biāo)方程； (2)若若 4，設(shè)直線，設(shè)直線 l 與曲線與曲線 C 交于交于 A，B 兩點，求兩點，求AOB 的面積的面積 解解 (1)由題意可得直線由題意可得直線 l 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 x1tcos ，ytsin (t 為參數(shù)為參數(shù)) 曲線曲線 C 的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為 8cos 1cos2， sin28cos ， 2sin28cos ， 即曲線即曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為的直角坐標(biāo)方程為 y28x. (2)法一：法一：當(dāng)當(dāng) 4時，直線時，直線 l 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 x122t，y22t(t 為參數(shù)為參數(shù))， 代入代入 y28x 可得可得 t28 2t160， 設(shè)設(shè) A，B 兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為 t1，t2， 則則 t1t28 2，t1t216， |AB|t1t2| t1t2 24t1t28 3. 又點又點 O 到直線到直線 AB 的距離的距離 d1sin422， SAOB12|AB|d128 3222 6. 法二：法二：當(dāng)當(dāng) 4時，直線時，直線 l 的方程為的方程為 yx1， 設(shè)設(shè) M(1,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由由 y28x，yx1，得得 y28y80， 則則 y1y28，y1y28， SAOB12|OM|y1y2|121 y1y2 24y1y212 824 8 124 62 6. 類題通法類題通法 解極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程綜合問題的策略解極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程綜合問題的策略 (1)對于參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程應(yīng)用不夠熟練的情況下，我們可以先化成直角坐標(biāo)的普對于參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程應(yīng)用不夠熟練的情況下，我們可以先化成直角坐標(biāo)的普通方程，這樣思路可能更加清通方程，這樣思路可能更加清晰晰 (2)對于一些運算比較復(fù)雜的問題，用參數(shù)方程計算會比較簡捷對于一些運算比較復(fù)雜的問題，用參數(shù)方程計算會比較簡捷 (3)利用極坐標(biāo)方程解決問題時，要注意題目所給的限制條件及隱含條件利用極坐標(biāo)方程解決問題時，要注意題目所給的限制條件及隱含條件 應(yīng)用通關(guān)應(yīng)用通關(guān) 1(2018 合肥第一次質(zhì)量檢測合肥第一次質(zhì)量檢測)在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線中，曲線 C1的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 x3cos ，y2sin ( 為參數(shù)為參數(shù))，在以坐標(biāo)原點，在以坐標(biāo)原點 O 為極點，為極點，x 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線線 C2：2cos 0. (1)求曲線求曲線 C2的直角坐標(biāo)方程；的直角坐標(biāo)方程； (2)若曲線若曲線 C1上有一動點上有一動點 M，曲線，曲線 C2上有一動點上有一動點 N，求，求|MN|的最小值的最小值 解：解：(1)由由 2cos 0 得得 22cos 0. 2x2y2，cos x，x2y22x0， 即曲線即曲線 C2的直角坐標(biāo)方程為的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y21. (2)由由(1)可知，圓可知，圓 C2的圓心為的圓心為 C2(1,0)，半徑為，半徑為 1. 設(shè)曲線設(shè)曲線 C1上的動點上的動點 M(3cos ，2sin )， 由動點由動點 N 在圓在圓 C2上可得上可得|MN|min|MC2|min1. |MC2| 3cos 1 24sin2 5cos26cos 5， 當(dāng)當(dāng) cos 35時，時，|MC2|min4 55， |MN|min|MC2|min14 551. 2 (2018 陜西質(zhì)檢陜西質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中， 已知曲線中， 已知曲線 C 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 xtcos ，ysin (t0， 為參數(shù)為參數(shù))以坐標(biāo)原點以坐標(biāo)原點 O 為極點，為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線 l 的極的極坐標(biāo)方程為坐標(biāo)方程為 2sin 43. (1)當(dāng)當(dāng) t1 時，求曲線時，求曲線 C 上的點到直線上的點到直線 l 的距離的最大值；的距離的最大值； (2)若曲線若曲線 C 上的所有點都在直線上的所有點都在直線 l 的下方，求實數(shù)的下方，求實數(shù) t 的取值范圍的取值范圍 解：解：(1)由由 2sin 43，得，得 sin cos 3， 把把 xcos ，ysin 代入，得直線代入，得直線 l 的直角坐標(biāo)方程為的直角坐標(biāo)方程為 xy30， 當(dāng)當(dāng) t1 時，曲線時，曲線 C 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 xcos ，ysin ( 為參數(shù)為參數(shù))， 消去參數(shù)得曲線消去參數(shù)得曲線 C 的普通方程為的普通方程為 x2y21， 曲線曲線 C 為圓，且圓心為為圓，且圓心為 O，半徑，半徑 r1， 則點則點 O 到直線到直線 l 的距離的距離 d|003|23 22， 曲線曲線 C 上的點到直線上的點到直線 l 的距離的最大值為的距離的最大值為 13 22. (2)曲線曲線 C 上的所有點均在直線上的所有點均在直線 l 的下方，的下方， 對任意的對任意的 R R，tcos sin 30 恒成立，恒成立， 即即 t21cos()3 其中其中tan 1t恒成立，恒成立， t213， 又又 t0，0t2 2. 實數(shù)實數(shù) t 的取值范圍為的取值范圍為(0,2 2) 專題跟蹤檢測專題跟蹤檢測(對應(yīng)配套卷對應(yīng)配套卷 P207) 1(2018 全國卷全國卷)在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，中，O 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 xcos ，ysin ( 為參為參數(shù)數(shù))，過點，過點(0， 2)且且傾斜角為傾斜角為 的直線的直線 l 與與O 交于交于 A，B 兩點兩點 (1)求求 的取值范圍；的取值范圍； (2)求求 AB 中點中點 P 的軌跡的參數(shù)方程的軌跡的參數(shù)方程 解：解：(1)O 的直角坐標(biāo)方程為的直角坐標(biāo)方程為 x2y21. 當(dāng)當(dāng) 2時，時，l 與與O 交于兩點交于兩點 當(dāng)當(dāng) 2時，記時，記 tan k，則，則 l 的方程為的方程為 ykx 2. l 與與O 交于兩點需滿足交于兩點需滿足21k21， 解得解得 k1， 即即 2，34或或 4，2. 綜上，綜上， 的取值范圍是的取值范圍是 4，34. (2)l 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 xtcos ，y 2tsin （t 為參數(shù)，為參數(shù)，434）.設(shè)設(shè) A，B，P 對應(yīng)的參數(shù)分對應(yīng)的參數(shù)分別為別為 tA，tB，tP， 則則 tPtAtB2，且，且 tA，tB滿足滿足 t22 2tsin 10. 于是于是 tAtB2 2sin ，tP 2sin . 又點又點 P 的坐標(biāo)的坐標(biāo)(x，y)滿足滿足 xtPcos ，y 2tPsin ， 所以點所以點 P 的軌跡的參數(shù)方程是的軌跡的參數(shù)方程是 x22sin 2，y2222cos 2 （ 為參數(shù)，為參數(shù)，434）. 2(2018 開封模擬開封模擬)在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線中，直線 C1的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 xtcos ，ytsin (t 為參為參數(shù)數(shù))，圓，圓 C2：(x2)2y24，以坐標(biāo)原點，以坐標(biāo)原點 O 為極點，為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 (1)求求 C1，C2的極坐標(biāo)方程和交點的極坐標(biāo)方程和交點 A 的坐標(biāo)的坐標(biāo)(非坐標(biāo)原點非坐標(biāo)原點)； (2)若直線若直線 C3的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為 4(R R)，設(shè)，設(shè) C2與與 C3的交點為的交點為 B(非坐標(biāo)原點非坐標(biāo)原點)，求，求OAB 的最大面積的最大面積 解：解：(1)由由 xtcos ，ytsin (t 為參數(shù)為參數(shù))，得曲線，得曲線 C1的普通方程為的普通方程為 yxtan ，故曲線，故曲線 C1的極的極坐標(biāo)方程為坐標(biāo)方程為 (R R)將將 xcos ，ysin 代入代入(x2)2y24，得，得 C2的極坐標(biāo)方程的極坐標(biāo)方程為為 4cos .故交點故交點 A 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(4cos ，)(也可寫出直角坐標(biāo)也可寫出直角坐標(biāo)) (2)由題意知，點由題意知，點 B 的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為 2 2，4. SOAB 122 24cos sin 4 2 2sin 242 ， 當(dāng)當(dāng) sin 241 時，時，(SOAB)max2 22， 故故OAB 的最大面積是的最大面積是 2 22. 3(2018 遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)極坐標(biāo)系的極點為直角坐標(biāo)系極坐標(biāo)系的極點為直角坐標(biāo)系 xOy 的原點，極軸為的原點，極軸為 x 軸軸的正半軸，兩種坐標(biāo)系中的長度單位相同已知曲線的正半軸，兩種坐標(biāo)系中的長度單位相同已知曲線 C 的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為 2sin ，0，2 . (1)求曲線求曲線 C 的直角坐標(biāo)方程；的直角坐標(biāo)方程； (2)在曲線在曲線 C 上求一點上求一點 D，使它到直線，使它到直線 l： x 3t 3，y3t2(t 為參數(shù)為參數(shù))的距離最短，寫出的距離最短，寫出D 點的直角坐標(biāo)點的直角坐標(biāo) 解：解：(1)由由 2sin ，可得，可得 22sin ， 曲線曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為的直角坐標(biāo)方程為 x2y22y0. (2)由直線由直線 l 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 x 3t 3，y3t2(t 為參數(shù)為參數(shù))，消去，消去 t 得得 l 的普通方程為的普通方程為 3xy50， 由由(1)得曲線得曲線 C 的圓心為的圓心為(0,1)，半徑為，半徑為 1， 又點又點(0,1)到直線到直線 l 的距離為的距離為|15|1321， 所以曲線所以曲線 C 與與 l 相離相離 因為點因為點 D 在曲線在曲線 C 上，上， 所以可設(shè)所以可設(shè) D(cos ，1sin )，則點，則點 D 到直線到直線 l 的距離的距離 d| 3cos 1sin 5|2 2sin 342， 當(dāng)當(dāng) sin 31 時，點時，點 D 到直線到直線 l 的距離的距離 d 最短，此時最短，此時 6，故點，故點 D 的直角坐標(biāo)為的直角坐標(biāo)為 32，32. 4(2019 屆高三屆高三 昆明調(diào)研昆明調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知傾斜角為中，已知傾斜角為 的直線的直線 l 過點過點A(2,1)以坐標(biāo)原點以坐標(biāo)原點 O 為極點，為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系曲線軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系曲線 C 的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為2sin ，直線，直線 l 與曲線與曲線 C 分別交于分別交于 P，Q 兩點兩點 (1)寫出直線寫出直線 l 的參數(shù)方程和曲線的參數(shù)方程和曲線 C 的直角坐標(biāo)方程；的直角坐標(biāo)方程； (2)若若|PQ|2|AP| |AQ|，求直線，求直線 l 的斜率的斜率 k. 解：解：(1)直線直線 l 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 x2tcos ，y1tsin (t 為參數(shù)為參數(shù))， 曲線曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為的直角坐標(biāo)方程為 x2y22y. (2)將直線將直線 l 的參數(shù)方程代入曲線的參數(shù)方程代入曲線 C 的直角坐標(biāo)方程，得的直角坐標(biāo)方程，得 t2(4cos )t30， 由由 (4cos )2430，得，得 cos234， 則則 t1t24cos ，t1 t23， 由參數(shù)的幾何意義知，由參數(shù)的幾何意義知， |AP|t1|，|AQ|t2|， |PQ|t1t2|， 由題意知，由題意知，(t1t2)2t1 t2， 則則(t1t2)25t1 t2，得，得(4cos )253， 解得解得 cos21516，滿足，滿足 cos234， 所以所以 sin2116，tan2115， 所以直線所以直線 l 的斜率的斜率 ktan 1515. 5已知曲線已知曲線 C： x2cos ，y 3sin ( 為參數(shù)為參數(shù))和定點和定點 A(0， 3)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是此曲線的左、右是此曲線的左、右焦點，以坐標(biāo)原點焦點，以坐標(biāo)原點 O 為極點，以為極點，以 x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 (1)求直線求直線 AF2的極坐標(biāo)方程；的極坐標(biāo)方程； (2)經(jīng)過點經(jīng)過點 F1且與直線且與直線 AF2垂直的直線垂直的直線 l 交曲線交曲線 C 于于 M， N 兩點， 求兩點， 求|MF1|NF1|的值的值 解：解：(1)曲線曲線 C： x2cos ，y 3sin 可化為可化為x24y231， 故曲線故曲線 C 為橢為橢圓，則焦點圓，則焦點 F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0) 所以經(jīng)過點所以經(jīng)過點 A(0， 3)和和 F2(1,0)的直線的直線 AF2的方程為的方程為 xy31，即，即 3xy 30， 所以直線所以直線 AF2的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為 3cos sin 3. (2)由由(1)知，直線知，直線 AF2的斜率為的斜率為 3，因為，因為 lAF2，所以直線，所以直線 l 的斜率為的斜率為33，即傾斜角，即傾斜角為為 30 ， 所以直線所以直線 l 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 x132t，y12t(t 為參數(shù)為參數(shù))， 代入橢圓代入橢圓 C 的方程中，得的方程中，得 13t212 3t360. 則則 t1t212 313. 因為點因為點 M，N 在點在點 F1的兩側(cè)，的兩側(cè)， 所以所以|MF1|NF1|t1t2|12 313. 6(2018 濰坊模擬濰坊模擬)在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線中，曲線 C1的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 x2cos ，y22sin ( 為參數(shù)為參數(shù))，以坐標(biāo)原點，以坐標(biāo)原點 O 為極點，為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C2的極坐標(biāo)方程的極坐標(biāo)方程為為 cos2sin (0,0) (1)寫出曲線寫出曲線 C1的極坐標(biāo)方程，并求的極坐標(biāo)方程，并求 C1與與 C2交點的極坐標(biāo)；交點的極坐標(biāo)； (2)射線射線 63與曲線與曲線 C1，C2分別交于點分別交于點 A，B(A，B 異于原點異于原點)，求，求|OA|OB|的取的取值范圍值范圍 解：解：(1)由題意可得曲線由題意可得曲線 C1的普通的普通方程為方程為 x2(y2)24， 把把 xcos ，ysin 代入，得曲線代入，得曲線 C1的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為 4sin ， 聯(lián)立聯(lián)立 4sin ，cos2sin ，得得 4sin cos2sin ，此時，此時 0， 當(dāng)當(dāng) sin 0 時，時，0，0，得交點的極坐標(biāo)為，得交點的極坐標(biāo)為(0,0)； 當(dāng)當(dāng) sin 0 時，時，cos214，得，得 cos 12， 當(dāng)當(dāng) cos 12時，時，3，2 3，得交點的極坐標(biāo)為，得交點的極坐標(biāo)為 2 3，3， 當(dāng)當(dāng) cos 12時，時，23，2 3，得交點的極坐標(biāo)為，得交點的極坐標(biāo)為 2 3，23， C1與與 C2交點的極坐標(biāo)為交點的極坐標(biāo)為(0,0)， 2 3，3， 2 3，23. (2)將將 代入代入 C1的極坐標(biāo)方程中，得的極坐標(biāo)方程中，得 14sin ， 代入代入 C2的極坐標(biāo)方程中，得的極坐標(biāo)方程中，得 2sin cos2， |OA|OB|4sin sin cos24cos2. 63，14cos23， |OA|OB|的取值范圍為的取值范圍為1,3 7(2018 福州模擬福州模擬)在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線中，曲線 C： xtcos ，ysin ( 為參數(shù)，為參數(shù)，t0)在以坐標(biāo)原點在以坐標(biāo)原點 O 為極點，為極點，x 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線 l：cos 4 2. (1)若若 l 與曲線與曲線 C 沒有公共點，求沒有公共點，求 t 的取值范圍；的取值范圍； (2)若曲線若曲線 C 上存在點到上存在點到 l 的距離的最大值為的距離的最大值為62 2，求，求 t 的值的值 解：解：(1)因為直線因為直線 l 的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為 cos 4 2，即，即 cos sin 2， 所以直線所以直線 l 的直角坐標(biāo)方程為的直角坐標(biāo)方程為 xy2. 因為曲線因為曲線 C 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 xtcos ，ysin ( 為參數(shù)，為參數(shù)，t0)， 所以曲線所以曲線 C 的普通方程為的普通方程為x2t2y21(t0)， 由由 xy2，x2t2y21，消去消去 x，得，得(1t2)y24y4t20， 所以所以 164(1t2)(4t2)0， 又又 t0，所以，所以 0t 3， 故故 t 的取值范圍為的取值范圍為(0， 3) (2)由由(1)知直線知直線 l 的直角坐標(biāo)方程為的直角坐標(biāo)方程為 xy20， 故曲線故曲線 C 上的點上的點(tcos ，sin )到到 l 的距離的距離 d|tcos sin 2|2， 故故 d 的最大值為的最大值為t2122， 由題設(shè)得由題設(shè)得t212262 2， 解得解得 t 2. 又又 t0，所以，所以 t 2. 8(2019 屆高三屆高三 成都診斷成都診斷)在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線中，曲線 C 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 x2cos ，y22sin ( 為參數(shù)為參數(shù))，直線，直線 l 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 x 332t，y312t(t 為參數(shù)為參數(shù))在以坐標(biāo)原在以坐標(biāo)原點點 O 為極點，為極點，x 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，過極點軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，過極點 O 的射線與曲線的射線與曲線 C 相交于不同于相交于不同于極點的點極點的點 A，且點，且點 A 的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為(2 3，)，其中，其中 2， . (1)求求 的值；的值； (2)若射線若射線 OA 與直線與直線 l 相交于點相交于點 B，求，求|AB|的值的值 解：解：(1)由題意知，曲線由題意知，曲線 C 的普通方程為的普通方程為 x2(y2)24， xcos ，ysin ， 曲線曲線 C 的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為(cos )2(sin 2)24， 即即 4sin . 由由 2 3，得，得 sin 32， 2， ，23. (2)易知直線易知直線 l 的普通方程為的普通方程為 x 3y4 30， 直線直線 l 的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為 cos 3sin 4 30. 又射線又射線 OA 的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為 23(0)， 聯(lián)立聯(lián)立 23 0 ，cos 3sin 4 30，解得解得 4 3. 點點 B 的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為 4 3，23， |AB|BA|4 32 32 3.