技法指導(dǎo)技法指導(dǎo)遷移搭橋遷移搭橋 思維流程思維流程找突破口找突破口 化歸的常用策略化歸的常用策略 利用化歸思想可探索一些一般數(shù)列的簡(jiǎn)單性質(zhì)等差數(shù)利用化歸思想可探索一些一般數(shù)列的簡(jiǎn)單性質(zhì)等差數(shù)列與等比數(shù)列是數(shù)列中的兩個(gè)特殊的基本數(shù)列，高考中通常列與等比數(shù)列是數(shù)列中的兩個(gè)特殊的基本數(shù)列，高考中通?？疾榈氖欠堑炔?、等比數(shù)列問(wèn)題，應(yīng)對(duì)的策略就是通過(guò)化歸考查的是非等差、等比數(shù)列問(wèn)題，應(yīng)對(duì)的策略就是通過(guò)化歸思想，將其轉(zhuǎn)化為這兩種數(shù)列思想，將其轉(zhuǎn)化為這兩種數(shù)列. 典例典例 (2018 全國(guó)卷全國(guó)卷)已知數(shù)列已知數(shù)列an滿足滿足 a11，nan12(n1)an.設(shè)設(shè) bnann. (1)求求 b1，b2，b3； (2)判斷數(shù)列判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由； (3)求求an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式 快審題快審題 求什么求什么 想什么想什么 判斷數(shù)列判斷數(shù)列bn是等比數(shù)列，想到判斷等比數(shù)列的方法是等比數(shù)列，想到判斷等比數(shù)列的方法 求求 a an n 的通項(xiàng)公式，想到求的通項(xiàng)公式，想到求b bn n的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式 給什么給什么 用什么用什么 給出給出 nan12(n1)an，用化歸方法化為，用化歸方法化為an1n12ann的形式的形式. 穩(wěn)解題穩(wěn)解題 (1)由條件可得由條件可得 an12 n1 nan. 將將 n1 代入得，代入得，a24a1，而，而 a11，所以，所以 a24. 將將 n2 代入得，代入得，a33a2，所以，所以 a312. 從而從而 b11，b22，b34. (2)數(shù)列數(shù)列bn是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為 1，公比為，公比為 2 的等比數(shù)列的等比數(shù)列 理由如下：理由如下： 由條件可得由條件可得an1n12ann， 即即 bn12bn， 又又 b11， 所以數(shù)列所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為 1，公比為，公比為 2 的等比數(shù)列的等比數(shù)列 (3)由由(2)可得可得ann2n1， 所以所以 ann 2n1. 題后悟道題后悟道 等差、等比數(shù)列基本量的計(jì)算模型等差、等比數(shù)列基本量的計(jì)算模型 (1)分析已知條件和求解目標(biāo)，確定為最終解決問(wèn)題需要首先求解的中間問(wèn)題如為求分析已知條件和求解目標(biāo)，確定為最終解決問(wèn)題需要首先求解的中間問(wèn)題如為求和需要先求出通項(xiàng)、為求出通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差和需要先求出通項(xiàng)、為求出通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比公比)等，確定解題的邏輯次序等，確定解題的邏輯次序 (2)注意細(xì)節(jié)在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問(wèn)題中，如果等比數(shù)列的公比不能確定，則注意細(xì)節(jié)在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問(wèn)題中，如果等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于要看其是否有等于 1 的可能，在數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表的可能，在數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題中第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示等示等 針對(duì)訓(xùn)練針對(duì)訓(xùn)練 已知正數(shù)數(shù)列已知正數(shù)數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 Sn，滿足，滿足 a2nSnSn1(n2)，a11. (1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式 (2)設(shè)設(shè) bn(1an)2a(1an)，若，若 bn1bn對(duì)任意對(duì)任意 nN N*恒成立，求實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍的取值范圍 解：解：(1)因?yàn)橐驗(yàn)?a2nSnSn1(n2)， 所以所以 a2n1Sn1Sn. 兩式相減，得兩式相減，得 a2n1a2nan1an. 因?yàn)橐驗(yàn)?an0，所以，所以 an1an1. 又又 a11，所以，所以an是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為 1，公差為，公差為 1 的等差數(shù)列的等差數(shù)列 所以所以 ann. (2)因?yàn)橐驗(yàn)?bn(1an)2a(1an)，且由，且由(1)得得 ann， 所以所以 bn(1n)2a(1n)n2(a2)n1a， 所以所以 bn1(n1)2(a2)(n1)1an2an. 因?yàn)橐驗(yàn)?bn1bn恒成立，恒成立， 所以所以 n2ann2(a2)n1a， 解得解得 a12n，所以，所以 a1. 則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為的取值范圍為(1，) 專題過(guò)關(guān)檢測(cè)專題過(guò)關(guān)檢測(cè) A 組組“633”考點(diǎn)落實(shí)練考點(diǎn)落實(shí)練 一、選擇題一、選擇題 1(2019 屆高三屆高三 武漢調(diào)研武漢調(diào)研)設(shè)公比為設(shè)公比為 q(q0)的等比數(shù)列的等比數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 Sn.若若 S23a22，S43a42，則，則 a1( ) A2 B1 C.12 D.23 解析：解析：選選 B 由由 S23a22，S43a42， 得得 a3a43a43a2，即，即 qq23q23， 解得解得 q1(舍去舍去)或或 q32， 將將 q32代入代入 S23a22 中，得中，得 a132a1332a12， 解得解得 a11. 2已知數(shù)列已知數(shù)列an滿足滿足an1an1112，且，且 a22，則，則 a4等于等于( ) A12 B23 C12 D11 解析：解析：選選 D 因?yàn)閿?shù)列因?yàn)閿?shù)列an滿足滿足an1an1112，所以，所以 an112(an1)，即數(shù)列，即數(shù)列an1是是等比數(shù)列，公比為等比數(shù)列，公比為 2，則，則 a4122(a21)12，解得，解得 a411. 3(2019 屆高三屆高三 西安八校聯(lián)考西安八校聯(lián)考)若等差數(shù)列若等差數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 Sn，若，若 S6S7S5，則滿足，則滿足SnSn1S7S5， 得， 得 S7S6a7S5， 所以， 所以 a70，所以所以 S1313 a1a13 213a70，所以，所以 S12S130，即滿足，即滿足 SnSn11，數(shù)列數(shù)列an(nN N*)滿足滿足 anf(n)，且，且an是遞增數(shù)列，則是遞增數(shù)列，則 a 的取值范圍是的取值范圍是( ) A(1，) B. 12， C(1,3) D(3，) 解析：解析：選選 D 因?yàn)橐驗(yàn)?anf(n)，且，且an是遞是遞增數(shù)列，增數(shù)列， 所以所以 2a10，a1，a112，a1，2a143.故選故選 D. 6 若數(shù)列 若數(shù)列an滿足滿足a11， 且對(duì)于任意的， 且對(duì)于任意的nN N*都有都有an1ann1， 則， 則1a11a21a2 0171a2 018等于等于( ) A.4 0352 017 B.2 0162 017 C.4 0362 019 D.4 0352 018 解析：解析：選選 C 由由 an1ann1，得，得 an1ann1， 則則 a2a111， a3a221， a4a331， ， anan1(n1)1， 以上等式相加，得以上等式相加，得 ana1123(n1)n1， 把把 a11 代入上式得，代入上式得，an123(n1)nn n1 2， 1an2n n1 2 1n1n1， 則則1a11a21a2 0171a2 0182 112 1213 12 01712 018 12 01812 0192 112 0194 0362 019. 二、填空題二、填空題 7(2018 全國(guó)卷全國(guó)卷)記記 Sn為數(shù)列為數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和若項(xiàng)和若 Sn2an1，則，則 S6_. 解析：解析：Sn2an1，當(dāng)當(dāng) n2 時(shí)時(shí)，Sn12an11， anSnSn12an2an1， 即即 an2an1. 當(dāng)當(dāng) n1 時(shí)，時(shí)，a1S12a11，得，得 a11. 數(shù)列數(shù)列an是首項(xiàng)是首項(xiàng) a1為為1，公比，公比 q 為為 2 的等比數(shù)列，的等比數(shù)列， Sna1 1qn 1q1 12n 1212n， S612663. 答案：答案：63 8古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問(wèn)題：古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問(wèn)題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問(wèn)日織幾何？問(wèn)日織幾何？”意思是：意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的一女子善于織布，每天織的布都是前一天的 2 倍，已知她倍，已知她 5 天天共共織布織布 5 尺，問(wèn)這女子每天分別織布多少？尺，問(wèn)這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上述的已知條件，可求得該女子前根據(jù)上述的已知條件，可求得該女子前 3 天天所織布的總尺數(shù)為所織布的總尺數(shù)為_(kāi) 解析：解析：設(shè)該女子第一天織布設(shè)該女子第一天織布 x 尺，尺， 則則x 251 215，解得，解得 x531， 所以該女子前所以該女子前 3 天所織布的總尺數(shù)為天所織布的總尺數(shù)為 531 231 213531. 答案：答案：3531 9(2019 屆高三屆高三 福建八校聯(lián)考福建八校聯(lián)考)在數(shù)列在數(shù)列 an中，中，nN N*，若，若an2an1an1ank(k 為常數(shù)為常數(shù))，則，則稱稱 an為為“等差比數(shù)列等差比數(shù)列”，下列是對(duì)，下列是對(duì)“等差比數(shù)列等差比數(shù)列”的判斷：的判斷： k 不可能為不可能為 0； 等差數(shù)列一定是等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列等差比數(shù)列”； 等比數(shù)列一定是等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列等差比數(shù)列”； “等差比數(shù)列等差比數(shù)列”中可以有無(wú)數(shù)項(xiàng)為中可以有無(wú)數(shù)項(xiàng)為 0. 其中所有正確判斷的序號(hào)是其中所有正確判斷的序號(hào)是_ 解析：解析：由等差比數(shù)列的定義可知，由等差比數(shù)列的定義可知，k 不為不為 0，所以，所以正確，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為正確，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為 0，即，即等差數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以等差數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以錯(cuò)誤；當(dāng)錯(cuò)誤；當(dāng) an是等比數(shù)列，且公比是等比數(shù)列，且公比q1 時(shí)，時(shí)， an不是等差比數(shù)列，所以不是等差比數(shù)列，所以錯(cuò)誤；數(shù)列錯(cuò)誤；數(shù)列 0,1,0,1，是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有無(wú)數(shù)多個(gè)無(wú)數(shù)多個(gè) 0，所以，所以正確正確 答案：答案： 三、解答題三、解答題 10(2018 全國(guó)卷全國(guó)卷)記記 Sn為等差數(shù)列為等差數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和，已知項(xiàng)和，已知 a17，S315. (1)求求an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式； (2)求求 Sn，并求，并求 Sn的最小值的最小值 解：解：(1)設(shè)設(shè)an的公差為的公差為 d， 由題意得由題意得 3a13d15. 又又 a17，所以，所以 d2. 所以所以an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為 an2n9. (2)由由(1)得得 Snn a1an 2n28n(n4)216， 所以當(dāng)所以當(dāng) n4 時(shí)，時(shí)，Sn取得最小值，最小值為取得最小值，最小值為16. 11(2018 成都第一次診斷性檢測(cè)成都第一次診斷性檢測(cè))已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 Sn，a23，S416，nN N*. (1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)設(shè) bn1anan1，求數(shù)列，求數(shù)列bn的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 Tn. 解：解：(1)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的公差為的公差為 d， a23，S416， a1d3,4a16d16， 解得解得 a11，d2. an2n1. (2)由題意，由題意，bn1 2n1 2n1 12 12n112n1， Tnb1b2bn 12 113 1315 12n112n1 12 112n1 n2n1. 12已知已知 Sn為數(shù)列為數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和，且滿足項(xiàng)和，且滿足 Sn2ann4. (1)證明證明Snn2為等比數(shù)列；為等比數(shù)列； (2)求數(shù)列求數(shù)列Sn的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 Tn. 解：解：(1)證明：當(dāng)證明：當(dāng) n1 時(shí)，由時(shí)，由 Sn2ann4，得，得 a13. S1124. 當(dāng)當(dāng) n2 時(shí)，時(shí)，Sn2ann4 可化為可化為 Sn2(SnSn1)n4， 即即 Sn2Sn1n4， Snn22Sn1(n1)2 Snn2是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為 4，公比為，公比為 2 的等比數(shù)列的等比數(shù)列 (2)由由(1)知，知，Snn22n1， Sn2n1n2. 于是于是 TnS1S2Sn 221223222n1n2 (22232n1)(12n)2n 22 12n 12 1n n22n 2n2n23n24. 數(shù)列數(shù)列Sn的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 Tn為為 2n2n23n24. B 組組大題專攻補(bǔ)短練大題專攻補(bǔ)短練 1(2018 全國(guó)卷全國(guó)卷)等比數(shù)列等比數(shù)列an中，中，a11，a54a3. (1)求求an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式 (2)記記 Sn為為an的前的前 n 項(xiàng)和，若項(xiàng)和，若 Sm63，求，求 m. 解：解：(1)設(shè)設(shè)an的公比為的公比為 q，由題設(shè)得，由題設(shè)得 anqn1. 由已知得由已知得 q44q2，解得，解得 q0(舍去舍去)或或 q2 或或 q2. 故故 an(2)n1或或 an2n1. (2)若若 an(2)n1，則，則 Sn1 2 n3. 由由 Sm63，得，得(2)m188，此方程沒(méi)有正整數(shù)解，此方程沒(méi)有正整數(shù)解 若若 an2n1，則，則 Sn12n122n1. 由由 Sm63，得，得 2m64，解得，解得 m6. 綜上，綜上，m6. 2(2018 濰坊統(tǒng)考濰坊統(tǒng)考)若數(shù)列若數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 Sn滿足滿足 Sn2an(0，nN N*) (1)證明：數(shù)列證明：數(shù)列an為等比數(shù)列，并求為等比數(shù)列，并求 an； (2)若若 4，bn an，n為奇數(shù)，為奇數(shù)，log2an，n為偶數(shù)為偶數(shù)(nN N*)，求數(shù)列，求數(shù)列bn的前的前 2n 項(xiàng)和項(xiàng)和 T2n. 解：解：(1)Sn2an，當(dāng)，當(dāng) n1 時(shí)，得時(shí)，得 a1， 當(dāng)當(dāng) n2 時(shí)，時(shí)，Sn12an1， SnSn12an2an1， 即即 an2an2an1，an2an1， 數(shù)列數(shù)列an是以是以 為首項(xiàng)，為首項(xiàng)，2 為公比的等比數(shù)列，為公比的等比數(shù)列， an 2n1. (2)4，an4 2n12n1， bn 2n1，n為奇數(shù)，為奇數(shù)，n1，n為偶數(shù)，為偶數(shù)， T2n22324526722n2n1 (222422n)(352n1) 44n 414n 32n1 2 4n143n(n2)， T2n4n13n22n43. 3(2018 廈門質(zhì)檢廈門質(zhì)檢)已知數(shù)列已知數(shù)列an滿足滿足 a11，an13an2an3，nN N*. (1)求證：數(shù)列求證：數(shù)列 1an為等差數(shù)列；為等差數(shù)列； (2)設(shè)設(shè) T2n1a1a21a2a31a3a41a4a51a2n1a2n1a2na2n1，求，求 T2n. 解：解：(1)證明：由證明：由 an13an2an3，得，得1an12an33an1an23， 所以所以1an11an23. 又又 a11，則，則1a11， 所以數(shù)列所以數(shù)列 1an是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為 1，公差為，公差為23的等差數(shù)列的等差數(shù)列 (2)設(shè)設(shè) bn1a2n1a2n1a2na2n1 1a2n11a2n11a2n， 由由(1)得，數(shù)列得，數(shù)列 1an是公差為是公差為23的等差數(shù)列，的等差數(shù)列， 所以所以1a2n11a2n143， 即即 bn 1a2n11a2n11a2n431a2n， 所以所以 bn1bn43 1a2n21a2n4343169. 又又 b1431a243 1a123209， 所以數(shù)列所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為209，公差為，公差為169的等差數(shù)列，的等差數(shù)列， 所以所以 T2nb1b2bn209nn n1 2 16949(2n23n) 4(2018 石家莊質(zhì)檢石家莊質(zhì)檢)已知數(shù)列已知數(shù)列an滿足：滿足：a11，an1n1nann12n. (1)設(shè)設(shè) bnann，求數(shù)列，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列求數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 Sn. 解：解：(1)由由 an1n1nann12n，可得，可得an1n1ann12n， 又又 bnann，bn1bn12n， 由由 a11，得，得 b11， 累加可得累加可得(b2b1)(b3b2)(bnbn1)12112212n1， 即即 bnb112 112n1112112n1， bn212n1. (2)由由(1)可知可知 an2nn2n1， 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 n2n1的前的前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 Tn， 則則 Tn120221322n2n1， 12Tn121222323n2n， 得得12Tn12012112212n1n2n112n112n2n2n22n， Tn4n22n1. 易知數(shù)列易知數(shù)列2n的前的前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 n(n1)， Snn(n1)4n22n1.