難點自選專題四難點自選專題四 “函數(shù)與導(dǎo)數(shù)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”壓軸大題的搶分策略壓軸大題的搶分策略 全國卷全國卷 3 年考情分析年考情分析 年份年份 全國卷全國卷 全國卷全國卷 全國卷全國卷 2018 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)極值與不等式證性、函數(shù)極值與不等式證明明 T21 函數(shù)的單調(diào)性、不等式的函數(shù)的單調(diào)性、不等式的證明、 函數(shù)的零點問題證明、 函數(shù)的零點問題 T21 導(dǎo)數(shù)在研究不等式及極值導(dǎo)數(shù)在研究不等式及極值問題的應(yīng)用問題的應(yīng)用 T21 2017 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點問題性、函數(shù)的零點問題 T21 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值、函數(shù)的零點、性及極值、函數(shù)的零點、不等式的證明不等式的證明 T21 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用、 不等式的放縮的應(yīng)用、 不等式的放縮 T21 2016 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點問題、不等式的證明問題、不等式的證明 T21 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、不等式證明及值域問性、不等式證明及值域問題題 T21 三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算、最三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算、最值問題及不等式證明值問題及不等式證明 T21 導(dǎo)數(shù)日益成為解決問題必不可少的工具， 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值導(dǎo)數(shù)日益成為解決問題必不可少的工具， 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值最值)是高是高考的常見題型，而導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式、方程等的交匯命題，是高考的熱點和難點考的常見題型，而導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式、方程等的交匯命題，是高考的熱點和難點 解答題的熱點題型有：解答題的熱點題型有： (1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值；(2)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式或探討方程根；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式或探討方程根；(3)利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)的范圍或值利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)的范圍或值 考法考法 策略策略(一一) 利用分類討論思想探究函數(shù)的性質(zhì)利用分類討論思想探究函數(shù)的性質(zhì) 典例典例 設(shè)設(shè) f(x)xln xax2(2a1)x，aR R. (1)令令 g(x)f(x)，求，求 g(x)的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間； (2)已知已知 f(x)在在 x1 處取得極大值，求實數(shù)處取得極大值，求實數(shù) a 的取值范圍的取值范圍 解解 (1)由由 f(x)ln x2ax2a， 可得可得 g(x)ln x2ax2a，x(0，) 所以所以 g(x)1x2a12axx. 當(dāng)當(dāng) a0，x(0，)時，時，g(x)0，函數(shù)，函數(shù) g(x)單調(diào)遞增；單調(diào)遞增； 當(dāng)當(dāng) a0，x 0，12a時，時，g(x)0，函數(shù)，函數(shù) g(x)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，x 12a， 時，時，g(x)0，函數(shù)函數(shù) g(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞減 所以當(dāng)所以當(dāng) a0 時，時，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)增區(qū)間為(0，)； 當(dāng)當(dāng) a0 時，時，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)增區(qū)間為 0，12a，單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為 12a， . (2)由由(1)知，知，f(1)0. 當(dāng)當(dāng) a0 時，時，f(x)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增， 所以當(dāng)所以當(dāng) x(0,1)時，時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；單調(diào)遞減； 當(dāng)當(dāng) x(1，)時，時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞增 所以所以 f(x)在在 x1 處取得極小值，不合題意處取得極小值，不合題意 當(dāng)當(dāng) 0a12時，時，12a1， 由， 由(1)知知 f(x)在在 0，12a內(nèi)單調(diào)遞增， 可得當(dāng)內(nèi)單調(diào)遞增， 可得當(dāng) x(0,1)時，時， f(x)0，當(dāng)，當(dāng) x 1，12a時，時，f(x)0. 所以所以 f(x)在在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞減，在 1，12a內(nèi)單調(diào)遞增，所以內(nèi)單調(diào)遞增，所以 f(x)在在 x1 處取得極小值，處取得極小值，不合題意不合題意 當(dāng)當(dāng) a12時，時，12a1，f(x)在在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng) x(0，)時，時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，不合題意單調(diào)遞減，不合題意 當(dāng)當(dāng) a12時，時，012a1，當(dāng)，當(dāng) x 12a，1 時，時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng) x(1，)時，時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞減 所以所以 f(x)在在 x1 處取極大值，符合題意處取極大值，符合題意 綜上可知，實數(shù)綜上可知，實數(shù) a 的取值范圍為的取值范圍為 12， . 題后悟通題后悟通 分類討論思想解決有關(guān)函數(shù)性質(zhì)問題的策略分類討論思想解決有關(guān)函數(shù)性質(zhì)問題的策略 (1)何時討論參數(shù)？何時討論參數(shù)？ 在求解中， 若參數(shù)的取值影響所求結(jié)果， 就要分類討論 如本例在求解中， 若參數(shù)的取值影響所求結(jié)果， 就要分類討論 如本例(1)中由中由 g(x)12axx確定單調(diào)區(qū)間確定單調(diào)區(qū)間時，對時，對 a 的取值要分類討論的取值要分類討論 (2)如何討論參數(shù)？如何討論參數(shù)？ 解答此類問題的關(guān)鍵是如何分類，分類時要結(jié)合題目條件，對參數(shù)取值范圍進行劃分，解答此類問題的關(guān)鍵是如何分類，分類時要結(jié)合題目條件，對參數(shù)取值范圍進行劃分，進而研究其問題如本例進而研究其問題如本例(2)中分類的依據(jù)是中分類的依據(jù)是12a與與 1 的大小比較的大小比較 應(yīng)用體驗應(yīng)用體驗 1(2018 全國卷全國卷)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)1xxaln x. (1)討論討論 f(x)的單調(diào)性；的單調(diào)性； (2)若若 f(x)存在兩個極值點存在兩個極值點 x1，x2， 證明：證明：f x1 f x2 x1x22，令，令 f(x)0， 得得 xa a242或或 xa a242. 當(dāng)當(dāng) x 0，a a242 a a242，時，時， f(x)0. 所 以所 以f(x) 在在 0，a a242， a a242，上 單 調(diào) 遞 減 ， 在上 單 調(diào) 遞 減 ， 在 a a242，a a242上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增 (2)證明：由證明：由(1)知，當(dāng)且僅當(dāng)知，當(dāng)且僅當(dāng) a2 時，時，f(x)存在兩個極值點存在兩個極值點 由于由于 f(x)的兩個極值點的兩個極值點 x1，x2滿足滿足 x2ax10， 所以所以 x1x21，不妨設(shè)，不妨設(shè) x11. 由于由于f x1 f x2 x1x21x1x21aln x1ln x2x1x2 2aln x1ln x2x1x22a2ln x21x2x2， 所以所以f x1 f x2 x1x2a2 等價于等價于1x2x22ln x20. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) g(x)1xx2ln x， 由由(1)知，知，g(x)在在(0，)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減 又又 g(1)0，從而當(dāng)，從而當(dāng) x(1，)時，時，g(x)0. 所以所以1x2x22ln x20， 即即f x1 f x2 x1x20)， f(1)a10，解得，解得 a1， 當(dāng)當(dāng) a1 時，時，f(x)xxln x， 即即 f(x)ln x， 令令 f(x)0，解得，解得 x1； 令令 f(x)0，解得，解得 0 x1，即，即 m2， 當(dāng)當(dāng) 0 x1 時，時，f(x)x(1ln x)0 且且 x0 時，時，f(x)0； 當(dāng)當(dāng) x時，顯然時，顯然 f(x). 如圖，由圖象可知，如圖，由圖象可知，m10，即，即 m1， 由由可得可得2m1. 故實數(shù)故實數(shù) m 的取值范圍為的取值范圍為(2，1) 題后悟通題后悟通 轉(zhuǎn)化與化歸思想解決函數(shù)零點問題的策略轉(zhuǎn)化與化歸思想解決函數(shù)零點問題的策略 (1)直接研究函數(shù)，求出極值以及最值，畫出草圖函數(shù)零點的個數(shù)問題即是函數(shù)圖象直接研究函數(shù)，求出極值以及最值，畫出草圖函數(shù)零點的個數(shù)問題即是函數(shù)圖象與與 x 軸交點的個數(shù)問題軸交點的個數(shù)問題 (2)分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為 ag(x)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識求出函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識求出函數(shù) g(x)在某區(qū)間的單調(diào)性，求在某區(qū)間的單調(diào)性，求出極值以及最值， 畫出草圖函數(shù)零點的個數(shù)問題即是直線出極值以及最值， 畫出草圖函數(shù)零點的個數(shù)問題即是直線 ya 與函數(shù)與函數(shù) yg(x)圖象交點的圖象交點的個數(shù)問題只需要用個數(shù)問題只需要用 a 與函數(shù)與函數(shù) g(x)的極值和最值進行比較即可如本例函數(shù)的極值和最值進行比較即可如本例函數(shù) yf(x)m1的零的零點問題即可轉(zhuǎn)化為點問題即可轉(zhuǎn)化為 yf(x)與與 ym1 兩圖象的交點問題兩圖象的交點問題 應(yīng)用體驗應(yīng)用體驗 2已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)ax2ln x的圖象在的圖象在 xe 處的切線經(jīng)過點處的切線經(jīng)過點(1，e)，其中，其中 e2.718 28. (1)求求 a 的值；的值； (2)若函數(shù)若函數(shù) g(x)tf(x)x 在在 1e，1 (1，e2上有兩個零點，求實數(shù)上有兩個零點，求實數(shù) t 的取值范圍的取值范圍 解：解：(1)由題意，得函數(shù)由題意，得函數(shù) f(x)ax2ln x的定義域為的定義域為(0,1)(1，) 因為因為 f(x)ax 2ln x1 ln x 2，所以，所以 f(e)ae. 所以所以 f(x)的圖象在的圖象在 xe 處的切線方程為處的切線方程為 yf(e)f(e)(xe)， 即即 yae2ae(xe)，所以，所以 yeax. 因為因為 f(x)的圖象在的圖象在 xe 處的切線經(jīng)過點處的切線經(jīng)過點(1，e)， 所以所以 a1. (2)函數(shù)函數(shù) g(x)tf(x)x 在在 1e，1 (1，e2上有兩個零點等價于函數(shù)上有兩個零點等價于函數(shù) h(x)ln xx與與 yt 的的圖象在圖象在 1e，1 (1，e2上有兩個不同的交點上有兩個不同的交點 因為因為 h(x)1ln xx2， 由由 h(x)0，得，得 0 xe 且且 x1； 由由 h(x)0，得，得 xe. 所以當(dāng)所以當(dāng) xe 時，時，h(x)有極大值，即為最大值有極大值，即為最大值 h(e)1e. 又因為又因為 h 1ee，h(e2)2e2，h(1)0 且且2e20e， 所以所以實數(shù)實數(shù) t 的取值范圍為的取值范圍為 2e2，1e. 考法考法 策略策略(三三) 利用函數(shù)思想探究不等式問題利用函數(shù)思想探究不等式問題 典例典例 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)ln xa(x1)，aR R 的圖象在的圖象在(1，f(1)處的切線與處的切線與 x 軸平行軸平行 (1)求求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間； (2)若存在若存在 x01，當(dāng)，當(dāng) x(1，x0)時，恒有時，恒有 f(x)x222x12k(x1)成立，求成立，求 k 的取值范的取值范圍圍 解解 (1)由已知可得由已知可得 f(x)的定義域為的定義域為(0，) f(x)1xa，f(1)1a0，a1， f(x)1x11xx， 令令 f(x)0，得，得 0 x1；令；令 f(x)0，得，得 x1， f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，) (2)由由(1)知知 f(x)ln xx1，不等式，不等式 f(x)x222x12k(x1)可化為可化為 ln xx22x12k(x1)，令，令 g(x)ln xx22x12k(x1)， 則則 g(x)1xx1kx2 1k x1x. 令令 h(x)x2(1k)x1， 則則 h(x)的對稱軸為直線的對稱軸為直線 x1k2， 當(dāng)當(dāng)1k21，即，即 k1 時，易知時，易知 h(x)在在(1，)上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減， x(1，)時，時，h(x)h(1)1k， 若若 k1，則，則 h(x)0，g(x)0，g(x)在在(1，)上單上單調(diào)遞減，調(diào)遞減， g(x)g(1)0，不符合題意，不符合題意 若若1k1，則，則 h(1)0，存在存在 x01，使得，使得 x(1，x0)時，時，h(x)0，即，即 g(x)0， g(x)在在(1，x0)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增， g(x)g(1)0 恒成立，符合題意恒成立，符合題意 當(dāng)當(dāng)1k21，即，即 k1 時，易知存在時，易知存在 x01， 使得使得 h(x)在在(1，x0)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增， h(x)h(1)1k0，g(x)0， g(x)在在(1，x0)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增， g(x)g(1)0 恒成立，符合題意恒成立，符合題意 綜上，綜上，k 的取值范圍是的取值范圍是(，1) 題后悟通題后悟通 函數(shù)思想解決不等式問題的策略函數(shù)思想解決不等式問題的策略 移項法移項法 證明不等式證明不等式 f(x)g(x)(f(x)g(x)的問題轉(zhuǎn)化為證明的問題轉(zhuǎn)化為證明 f(x)g(x)0(f(x)g(x)0)，進而構(gòu)造輔助函數(shù)，進而構(gòu)造輔助函數(shù) h(x)f(x)g(x)(如本例如本例) 構(gòu)造構(gòu)造“形似形似” 函數(shù)函數(shù) 對原不等式同解變形，如移項、通分、取對數(shù)；把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是對原不等式同解變形，如移項、通分、取對數(shù)；把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu)，根據(jù)相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu)，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù) 主元法主元法 對于對于(或可化為或可化為)f(x1，x2)A 的不等式，可選的不等式，可選 x1(或或 x2)為主元，構(gòu)造函數(shù)為主元，構(gòu)造函數(shù) f(x，x2)(或或 f(x1，x) 應(yīng)用應(yīng)用體驗體驗 3(2018 全國卷全國卷)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)aexln x1. (1)設(shè)設(shè) x2 是是 f(x)的極值點，求的極值點，求 a，并求，并求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間； (2)證明：當(dāng)證明：當(dāng) a1e時，時，f(x)0. 解：解：(1)f(x)的定義域為的定義域為(0，)，f(x)aex1x. 由題設(shè)知，由題設(shè)知，f(2)0，所以，所以 a12e2. 從而從而 f(x)12e2exln x1，f(x)12e2ex1x. 可知可知 f(x)在在(0，)上單調(diào)遞增，又上單調(diào)遞增，又 f(2)0， 所以當(dāng)所以當(dāng) 0 x2 時，時，f(x)2 時，時，f(x)0. 所以所以 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)， 單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為(2，) (2)證明：當(dāng)證明：當(dāng) a1e時，時，f(x)exeln x1. 設(shè)設(shè) g(x)exeln x1，則，則 g(x)exe1x. 可知可知 g(x)在在(0，)上單調(diào)遞增，且上單調(diào)遞增，且 g(1)0， 所以當(dāng)所以當(dāng) 0 x1 時，時，g(x)1 時，時，g(x)0. 所以所以 x1 是是 g(x)的最小值點的最小值點 故當(dāng)故當(dāng) x0 時，時，g(x)g(1)0. 因此，當(dāng)因此，當(dāng) a1e時，時，f(x)0.