73復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 讀教材讀教材 填要點(diǎn)填要點(diǎn) 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 一般地，設(shè)一般地，設(shè) z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，有，有 (1)加法：加法：z1z2ac(bd)i. (2)減法：減法：z1z2ac(bd)i. (3)乘法：乘法：z1 z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i. (4)除法：除法：z1z2abicdiacbdc2d2bcadc2d2i(cdi0) 小問題小問題 大思維大思維 1若復(fù)數(shù)若復(fù)數(shù) z1，z2滿足滿足 z1z20，能否認(rèn)為，能否認(rèn)為 z1z2? 提示：提示：不能如不能如 2ii0，但，但 2i 與與 i 不能比較大小不能比較大小 2復(fù)數(shù)的乘法滿足我們以前學(xué)過的完全平方公式、平方差公式嗎？復(fù)數(shù)的乘法滿足我們以前學(xué)過的完全平方公式、平方差公式嗎？ 提示：提示：復(fù)數(shù)的乘法類似多項式的乘法，滿足完全平方公式和平方差公式復(fù)數(shù)的乘法類似多項式的乘法，滿足完全平方公式和平方差公式 3如何辨析復(fù)數(shù)除法與實數(shù)除法的關(guān)系？如何辨析復(fù)數(shù)除法與實數(shù)除法的關(guān)系？ 提示：提示：復(fù)數(shù)的除法和實數(shù)的除法有所不同，復(fù)數(shù)的除法和實數(shù)的除法有所不同，實數(shù)的除法可以直接約分、化簡得出結(jié)果；實數(shù)的除法可以直接約分、化簡得出結(jié)果；而復(fù)數(shù)的除法是先將兩復(fù)數(shù)的商寫成分式，然后分母實數(shù)化而復(fù)數(shù)的除法是先將兩復(fù)數(shù)的商寫成分式，然后分母實數(shù)化 復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算 已知已知 z1(3xy)(y4x)i，z2(4y2x)(5x3y)i(x，yR)，若，若 z1z2 132i，求，求 z1，z2. 自主解答自主解答 z1z2(3xy)(y4x)i(4y2x)(5x3y)i (3xy)(4y2x)(y4x)(5x3y)i (5x3y)(x4y)i. 又又z1z2132i，(5x3y)(x4y)i132i. 5x3y13，x4y2，解得解得 x2，y1. z1(321)(142)i59i. z24 (1)2 25 23 (1)i87i. 對復(fù)數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算時，先分清復(fù)數(shù)的實部與虛部，然后將實部與實部、虛部與虛部對復(fù)數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算時，先分清復(fù)數(shù)的實部與虛部，然后將實部與實部、虛部與虛部分別相加減分別相加減 1(1)計算：計算： 1312i (2i) 4332i . (2)已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù) z 滿足滿足 z13i52i，求，求 z. 解：解：(1) 1312i (2i) 4332i 13243 12132i1i. (2)法一：法一：設(shè)設(shè) zxyi(x，yR)， 因為因為 z13i52i， 所以所以 xyi(13i)52i， 即即 x15 且且 y32， 解得解得 x4，y1， 所以所以 z4i. 法二：法二：因為因為 z13i52i， 所以所以 z(52i)(13i)4i. 復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算 計算：計算： (1)(1i)(1i)(1i)； (2) 1232i 3212i (1i)； (3)(23i) (12i)； (4)(529 5i) (73 5i) 自主解答自主解答 (1)(1i)(1i)(1i)1i2(1i)21i1i. (2) 1232i 3212i (1i) 3434 3414i (1i) 3212i (1i) 3212 1232i 1 321 32i. (3)原式原式23i12i 23i 12i 12i 12i 26 34 i12224575i. (4)原式原式529 5i73 5i 529 5i 73 5i 73 5i 73 5i 352915 15 5297 5 i72 3 5 2 470188 5i9452 5i. (1)三個或三個以上的復(fù)數(shù)相乘可按從左到右的順序運(yùn)算或利用結(jié)合律運(yùn)算，混合運(yùn)算三個或三個以上的復(fù)數(shù)相乘可按從左到右的順序運(yùn)算或利用結(jié)合律運(yùn)算，混合運(yùn)算和實數(shù)的運(yùn)算順序一樣和實數(shù)的運(yùn)算順序一樣 (2)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的除法法則難以記憶，在做題時，牢記分母的除法法則難以記憶，在做題時，牢記分母“實數(shù)化實數(shù)化”即可即可 2(1)已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù) z148i，z269i，求復(fù)數(shù)，求復(fù)數(shù)(z1z2)i 的實部與虛部；的實部與虛部； (2)已知已知 z 是純虛數(shù)，是純虛數(shù)，z21i是實數(shù)，求是實數(shù)，求 z. 解：解：(1)由題意得由題意得 z1z2(48i)(69i)(46)(8i9i)2i， 則則(z1z2)i(2i)i2ii212i. 于是復(fù)數(shù)于是復(fù)數(shù)(z1z2)i 的實部是的實部是 1，虛部是，虛部是2. (2)設(shè)純虛數(shù)設(shè)純虛數(shù) zbi(bR)， 則則z21ibi21i bi2 1i 1i 1i b2 b2 i2. 由于由于z21i是實數(shù)，所以是實數(shù)，所以 b20，即，即 b2， 所以所以 z2i. 復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程問題復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程問題 若關(guān)于若關(guān)于 x 的方程的方程 x2(12i)x(3m1)i0 有實根，求純虛數(shù)有實根，求純虛數(shù) m 的值的值 自主解答自主解答 設(shè)設(shè) mbi(b0)，x0為一實根，代入原方程得為一實根，代入原方程得 x20(12i)x0(3bi1)i0. (x20 x03b)(2x01)i0. x20 x03b0，2x010，解得解得 x012，b112.m112i. 若將若將“求純虛數(shù)求純虛數(shù) m”改為改為“求實數(shù)求實數(shù) m”，如何求解？，如何求解？ 解：解：x2(12i)x(3m1)i0， 即即(x2x)(2x3m1)i0， x2x0，2x3m10， x0，m13或或 x1，m13.即即 m13或或13. 復(fù)數(shù)方程問題，常借助復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題解決復(fù)數(shù)方程問題，常借助復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題解決 3已知關(guān)于已知關(guān)于 x 的方程的方程 x2kxi0 有一根是有一根是 i，求，求 k 的的值值 解：解：因為因為 i 為方程為方程 x2kxi0 的一個根，的一個根， 所以代入原方程，得所以代入原方程，得 i2kii0. 所以所以 k1ii 1i ii21i. 計算：計算：1ii2i3i2 018. 解解 法一：法一：ii2i3i40， inin1in2in30. 1ii2i3i2 018 1ii2(i3i4i5i6)(i7i8i9i10)(i2 015i2 016i2 017i2 018) 1ii2i. 法二：法二：1ii2i2 018 1i2 0191i1i504431i 1i31i1i1i i. 1(62i)(3i1)等于等于( ) A33i B55i C7i D55i 解析：解析：(62i)(3i1)(61)(23)i55i. 答案：答案：B 2(全國卷全國卷)3i1i( ) A12i B12i C2i D2i 解析：解析：3i1i 3i 1i 1i 1i 42i22i. 答案答案：D 3已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù) z1i，則，則z22zz1( ) A2i B2i C2 D2 解析：解析：法一：法一：因為因為 z1i， 所以所以z22zz1 1i 22 1i 1i12i2i. 法二：法二：由已知得由已知得 z1i，而，而z22zz1 z1 21z1 i 21i2i2i. 答案：答案：B 4若若 z1i2時，求時，求 z2 018z102_. 解析：解析：z2 1i22i. z2 018z102(i)1 009(i)51 (i)1 008 (i)(i)48 (i)3ii0. 答案：答案：0 5已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù) z1a23i，z22aa2i，若，若 z1z2是純虛數(shù)，則實數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù) a_. 解析：解析：由條件知由條件知 z1z2a22a3(a21)i，又，又 z1z2是純虛數(shù)，是純虛數(shù)， 所以所以 a22a30，a210，解得解得 a3. 答案：答案：3 6已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù) z 1i 23 1i 2i. (1)求復(fù)數(shù)求復(fù)數(shù) z； (2)若若 z2azb1i，求實數(shù)，求實數(shù) a，b 的值的值 解：解：(1)z2i33i2i3i2i 3i 2i 51i. (2)把把 z1i 代入得代入得(1i)2a(1i)b1i， 即即 ab(2a)i1i， 所以所以 ab1，2a1，解得解得 a3，b4. 一、選擇題一、選擇題 1設(shè)設(shè) i 為虛數(shù)單位，則為虛數(shù)單位，則5i1i( ) A23i B23i C23i D23i 解析：解析：5i1i 5i 1i 1i 1i 46i223i. 答案：答案：C 2(山東高考山東高考)已知已知 i 是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù) z 滿足滿足 zi1i，則，則 z2( ) A2i B2i C2 D2 解析：解析：zi1i，z1ii1i11i. z2(1i)21i22i2i. 答案答案：A 3若若 a 為實數(shù)，且為實數(shù)，且(2ai)(a2i)4i，則，則 a( ) A1 B0 C1 D2 解析：解析：(2ai)(a2i)4i， 4a(a24)i4i. 4a0，a244.解得解得 a0. 答案：答案：B 4已知已知 z123i，z232i 2i 2，則，則z1z2( ) A43i B34i C34i D43i 解析：解析：z123i，z232i 2i 2， z1z2 23i 2i 232i 23i 34i 32i617i32i5239i1343i. 答案：答案：D 二、填空題二、填空題 5復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)12i112i的虛部是的虛部是_ 解析：解析：12i112i15(2i)15(12i)1515i，虛部是虛部是15. 答案：答案：15 6若復(fù)數(shù)若復(fù)數(shù) z 滿足滿足 zi(2z)(i 是虛數(shù)單位是虛數(shù)單位)，則，則 z_. 解析：解析：zi(2z)，z2iiz，(1i)z2i，z2i1i1i. 答案：答案：1i 7(天津高考天津高考)已知已知 aR，i 為虛數(shù)單位，若為虛數(shù)單位，若ai2i為實數(shù)，則為實數(shù)，則 a 的值為的值為_ 解析：解析：由由ai2i ai 2i 2i 2i 2a152a5i 是實數(shù)，得是實數(shù)，得2a50，所以，所以 a2. 答案答案：2 8 若 若zi1是方程是方程z2azb0的一個根， 則實數(shù)的一個根， 則實數(shù)a， b的值分別為的值分別為_， _. 解析：解析：把把 zi1 代入方程代入方程 z2azb0， 得得(ab)(a2)i0，即，即 ab0，a20. 解得解得 a2，b2. 答案：答案：2 2 三、解答題三、解答題 9復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) z 1i 23 1i 2i，若，若 z2az0，求純虛數(shù)，求純虛數(shù) a. 解：解：z 1i 23 1i 2i2i33i2i3i2i1i. a 為純虛數(shù)，為純虛數(shù)，設(shè)設(shè) ami(m0)， 則則 z2az(1i)2mi1i2imim2m2 m22 i0. m20，m220，m4，a4i. 10已知已知 x，yR，且，且x1iy12i513i，求，求 x，y 的值的值 解：解：x1iy12i513i， x 1i 2y 12i 55 13i 10. 即即 5x(1i)2y(12i)515i. (5x2y)(5x4y)i515i. 5x2y5，5x4y15，解得解得 x1，y5.