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2019屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理 (III) 注意事項： 1.答題時，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置。 2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。 3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。 4.選做題的作答：先把所做題目的題號在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑。答案寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。 5.考試結(jié)束后，請將答題卡上交； 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1. 已知集合， ，則A∩B=（　?。? A. B. C. （0，1] D. （0，3] 2. 設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（ ） A. B. C. D. 3.若命題：“”為假命題，則的取值范圍是 A. B. C. D. 4. 已知：，，若函數(shù)和有完全相同的對稱軸，則不等式的解集是 A. B. C. D. 5.執(zhí)行程序框圖，假如輸入兩個數(shù)是S=1、k=2,那么輸出的S= A. B. C.4 D. 6. 某多面體的三視圖如圖所示，正視圖中大直角三角形的斜邊長為，左視圖為邊長是1的正方形，俯視圖為有一個內(nèi)角為的直角梯形，則該多面體的體積為（ ） A. 1 B. C. D. 2 7.已知5臺機器中有2臺存在故障，現(xiàn)需要通過逐臺檢測直至區(qū)分出2臺故障機器為止.若檢測一臺機器的費用為1000元，則所需檢測費的均值為（ ） A．3200元 B．3400元 C．3500元 D．3600元 8. 已知實數(shù)，滿足，若的最小值為，則實數(shù)的值為（ ） A. B. 或 C. 或 D. 9. 函數(shù)，則使得成立的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 10. 已知的外接圓的圓心為，半徑，如果，且，則向量和方向上的投影為( ) A. 6 B. C. D. 11. 直線與圓交于A、B兩點，O為坐標原點，若直線OA 、OB的傾斜角分別為、，則= A. B. C. D. 12. 設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，（為自然對數(shù)的底數(shù)），則不等式的解集為（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非選擇題部分，共90分） 本卷包括必考題和選考題兩部分。第13～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22～23題為選做題，考生根據(jù)要求作答。 二、填空題：本題共4題，每小題5分，共20分。 13.設(shè)則______． 14.已知函數(shù)=當2＜a＜3＜b＜4時，函數(shù)的零點 ． 15. 、分別為雙曲線左、右支上的點，設(shè)是平行于軸的單位向量，則的最小值為__________． 16. 已知為數(shù)列的前項和，且，若，， 給定四個命題①；②；③；④. 則上述四個命題中真命題的序號為_______________________. 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17. （本題滿分12分）已知向量，，. （1）求的最大值，并求此時的值； （2）在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，滿足，，，求的值. 18.（本題滿分12分） 如圖，在四棱椎中，是棱上一點，且，底面是邊長為2的正方形，為正三角形，且平面平面，平面與棱交于點. (1)求證：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 19. （本題滿分12分）某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料： 日期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日 溫差（） 10 11 13 12 8 發(fā)芽數(shù)（顆） 23 25 30 26 16 該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗. （1）求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率； （2）若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程； （3）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？ （注： ，） 20.（本題滿分12分）已知點為圓上一動點，軸于點，若動點滿足. （1）求動點的軌跡的方程； （2）過點的直線與曲線交于兩點，線段的垂直平分線交軸于點，求的值. 21. （本題滿分12分）已知函數(shù). (Ⅰ)求曲線在處的切線方程； (Ⅱ)求證：當時，. 請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分. 22. （本題滿分10分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且），已知曲線的極坐標方程為. （1）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，并將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程； （2）求曲線與曲線交點的極坐標，. 23. （本題滿分10分）已知函數(shù)，. (1)求，求的取值范圍； (2)若，對，都有不等式恒成立，求的取值范圍. 成都龍泉中學(xué)xx級高三上學(xué)期12月月考試題 數(shù)學(xué)（理工類）參考答案 1.【答案】D 【解析】 由解得，所以，由解得，所以，故，選D. 2.【答案】A 【解析】， ，，故選A。 3.【答案】D 4.【答案】B 5.【答案】C 6.【答案】C 【解析】：由題可知，， 所以，故選C。 7.【答案】C 8.【答案】D 【解析】：由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，分類討論求得最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)即可得到答案 【詳解】由作出可行域如圖： 聯(lián)立，解得 聯(lián)立，解得 化為 由圖可知，當時，直線過時在軸上的截距最大，有最小值為，即 當時，直線過時在軸上的截距最大，有最小值為，即 綜上所述，實數(shù)的值為 故選 9.【答案】B 【解析】分析：先判斷出偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，然后根據(jù)對稱性將函數(shù)不等式化為絕對值不等式求解． 詳解：由題意知函數(shù)的定義域為， 當時，， ∴在上單調(diào)遞減， ∵是偶函數(shù)， ∴在上單調(diào)遞增． ∵， ∴， 兩邊平方后化簡得且， 解得或， 故使不等式成立的取值范圍是． 故選B． ②解絕對值不等式時，要根據(jù)絕對值不等式的特點進行求解，解題時要注意絕對值的幾何意義的利用． 10.【答案】B 【解析】由＝0得，＝∴DO經(jīng)過邊EF的中點， ∴DO⊥EF.連接OF，∵||＝||＝||＝4， ∴△DOF為等邊三角形， ∴∠ODF＝60.∴∠DFE＝30，且EF＝4sin 602＝4. ∴向量在方向上的投影為 ||cos〈,〉＝4cos 150＝－6，故選B. 11.【答案】D 12.【答案】B 【解析】：構(gòu)造函數(shù)F（x）=，求出導(dǎo)數(shù)，判斷F（x）在R上遞增．原不等式等價為F（lnx）＜F（），運用單調(diào)性，可得lnx＜，運用對數(shù)不等式的解法，即可得到所求解集． 【詳解】可構(gòu)造函數(shù)F（x）=， F′（x）==， 由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上遞增． 不等式f（lnx）＜x2即為＜1，（x＞0），即＜1，x＞0． 即有F（）==1，即為F（lnx）＜F（）， 由F（x）在R上遞增，可得lnx＜，解得0＜x＜． 故不等式的解集為（0，）， 故選：B． 13.【答案】 -1 14.【答案】 2 15.【答案】 4 【解析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義結(jié)合雙曲線的性質(zhì)進行求解即可 【詳解】 由向量數(shù)量積的定義可知即向量在向量上的投影模長的乘積，故求的最小值，即求在軸上的投影的絕對值的最小值， 由雙曲線的圖象可知的最小值為 故答案為 16.【答案】②④ 【解析】構(gòu)造函數(shù)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，依題意有 又，故數(shù)列為等差數(shù)列，且公差故 故①錯誤；故②正確；由題意知 若，則而此時，不成立，故③錯誤； .，故④成立. 即答案為②④ 17.【答案】(1) ，時，的最大值為 (2) 【解析】⑴利用向量數(shù)量積的坐標結(jié)合降冪公式及輔助角公式化簡求得，進一步求得函數(shù)的最大值，并求得使函數(shù)取得最大值的的值 ⑵由⑴中的解析式結(jié)合求得，再由余弦定理求得，最后由正弦定理求得答案 【詳解】（1） ， 當，，即，時， 的最大值為. （2）∵， ∴， ∵，∴，∴， ∴，在中，由余弦定理得， ，∴，在中，由正弦定理得， ，∴. 18.【答案】(1)見解析(2) 【解析】試題分析：(1)在正方形中，，由面面垂直的性質(zhì)定理可得，∴平面，又平面，∴，進而證得，又平面，， ∴平面，∵平面，∴平面平面. (2)取中點，以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，求出相關(guān)點的坐標，進而得到平面的一個法向量，平面的一個法向量.由空間的夾角公式可求兩個向量的的夾角，又由題意可得二面角為鈍角，即可得到二面角的余弦值. 試題解析： (1)在正方形中，，又平面平面，且平面平面， ∴平面，又平面，∴，∵底面是正方形，∴， 又平面，平面，∴平面. 又四點共面，且平面平面，∴，∴， 又，∴為棱的中點，是棱中點， ∵是正三角形，∴，又平面，， ∴平面，∵平面，∴平面平面. (2)取中點，以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則 ，，，，，，，. 設(shè)平面的法向量為，則，∴，，，解得，，令，則為平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，則，， ∴，，得，，令，則為平面的一個法向量. ∴，由圖知二面角為鈍角， ∴二面角的余弦值為. 19.【答案】（1）.（2）.（3）見解析. 【解析】試題分析：（1）求出抽到相鄰兩組數(shù)據(jù)的事件概率，利用對立事件的概率計算抽到不相鄰兩組數(shù)據(jù)的概率值；（2）由表中數(shù)據(jù)，利用公式計算回歸直線方程的系數(shù)，寫出回歸直線方程，利用方程計算并判斷所得的線性回歸方程是否可靠. 試題解析：（1）設(shè)抽到不相鄰兩組數(shù)據(jù)為事件，因為從第5組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情況，每種情況是等可能出現(xiàn)的，其中抽到相鄰兩組數(shù)據(jù)的情況有4種，所以 故選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率是， （2）由數(shù)據(jù)，求得 ，由公式得， ， 所以關(guān)于的線性回歸方程這 （3）當時， 同樣地，當時， 所以，該研究所得到的線性回歸方程是可靠 20.【答案】(1) . (2). 【解析】：（1）設(shè)，則，根據(jù)向量表達式，表示出的坐標關(guān)系式，得出動點的軌跡。 （2），將直線被代入橢圓方程消去得，根據(jù)韋達定理表示出。所以線段的中點坐標為，表示出線段的垂直平分線的方程，求出點的坐標，再表示出的長度，最后求解。 【詳解】：（1）設(shè)，則，所以，由化簡得，因為，代入得，即為的軌跡為橢圓方程. （2）由（1）知，點為橢圓的左偏點，將直線被代入橢圓方程消去得，設(shè)，則有，則 ，所以線段的中點坐標為 所以線段的垂直平分線所在的直線方程為 令得，即，所以 所以 21.【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ)見解析. 【解析】試題分析：（1）則導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得曲線在處的切線方程。（2）由（1）當時，，即，+,只需證,x 試題解析：（Ⅰ）， 由題設(shè)得，， 在處的切線方程為 (Ⅱ)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增， 所以.過點，且在處的切線方程為，故可猜測：當時，的圖象恒在切線的上方. 下證：當時， 設(shè)，則， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又 ，∴， 所以，存在，使得， 所以，當時，；當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 又，∴，當且僅當時取等號，故. 又，即，當時，等號成立. 22.【答案】（1）（或）. .（2）. 【解析】試題分析：（1）先求出t，再代入消元將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，根據(jù)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）先求曲線與曲線交點的直角坐標，再化為極坐標. 試題解析：解：（1）∵，∴，即， 又，∴，∴或， ∴曲線的普通方程為（或）. ∵，∴，∴，即曲線的直角坐標方程為. （2）由得， ∴（舍去），， 則交點的直角坐標為，極坐標為. 23.【答案】(1) (2) 【解析】試題分析： (1)由題意得到關(guān)于實a的不等式，然后零點分段求解不等式組可得的取值范圍是. (2)原問題等價于，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，由絕對值不等式的性質(zhì)可得，據(jù)此求解關(guān)于實數(shù)a的不等式可得的取值范圍是. 試題解析： （1）， 若，則，得，即時恒成立， 若 ，則，得，即， 若，則，得，即不等式無解， 綜上所述，的取值范圍是. （2）由題意知，要使得不等式恒成立，只需， 當時，， 因為，所以當時，， 即，解得，結(jié)合，所以的取值范圍是.