機械手臂的運動學(xué)公式推導(dǎo)圖13關(guān)節(jié)平面機械臂1. 3關(guān)節(jié)平面機械臂3關(guān)節(jié)平面機械臂有3個自由度，關(guān)節(jié)1有1個自由度，關(guān)節(jié)2有1個 自由度，關(guān)節(jié)3有1個自由度機器人手臂的幾何尺寸（mm）:關(guān)節(jié)1長度：L1關(guān)節(jié)2長度：L2關(guān)節(jié)3長度：L3關(guān)節(jié)的運動范圍（右手）：如表1所示。表1關(guān)節(jié)運動范圍關(guān)節(jié)123最大值Max1<0Max2<0Max3最小值Min1Min2Min32.機器人手臂的坐標(biāo)系建立參考坐標(biāo)系（1）為了對3關(guān)節(jié)平面機械臂進行控制，同時也便于描述機器人的動作狀態(tài)， 必須建立適當(dāng)?shù)某跏甲鴺?biāo)系。我們設(shè)定機械臂的初始姿態(tài)：關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3均處于水平姿態(tài)，與世界坐標(biāo)系（xo,yo）的xo軸的夾角為0度。參考坐標(biāo)系（實驗室坐標(biāo)系）的設(shè)定如圖 1所示：X軸：從關(guān)節(jié)i到關(guān)節(jié)i+1的方向定義為X軸，即沿連桿方向y軸：根據(jù)X軸和Z軸的方向，以右手螺旋法則確定Z軸：沿關(guān)節(jié)軸方向，即垂直紙面，從里向外為Z軸正方向(2)連桿參數(shù)連桿參數(shù)列表如表2所示C1-S1000T =lS00!丨AI 010001 一C21_S20LJ1；T =IS21C2001101010.0001 一C3_S30呵2t =IS3C30031I00100001 一(si C2C3 C1S2C3 C1C2S _ S1S2S3)qC2C3 1 S1S2C3 -sqq 1 qC2S300C1C2C_ SIS2C_C1S2S _ S1C2S3SIC2C"*"C1S2C*"C1C2S3 _ S1S2S30I00010L1c +Lc1cs1s2 )Ll5 + L2 ( sc2 +5% )01(1)C123S1230I -0_S123L1C1C123L2c12L2SI2表2連桿參數(shù)連桿iai-1a i-1diOi關(guān)節(jié)變量范圍1000010Min1 Max12L100020Min2 0Max23L200O3OMin3 0Max3正解：連桿之間的齊次變換矩陣為:C0xl10yl1 01010.0001 一其中C1： cos(5)(6)c2： cos2s1: sinGs1: sinG(7)C - C123(8)s = si23(9)x = L)C| L2q2(10) Lisi L2s12(11)式(1)為3關(guān)節(jié)平面機械臂的變換矩陣，式(2)為采用三角函數(shù)和差角公式化 簡得到的，式(3)為式的簡化表示，式(4)-式(11)為簡化符號的詳細表示。反解：幾何解：*y0圖2 3關(guān)節(jié)平面機械臂的平面幾何關(guān)系圖2給出了 3關(guān)節(jié)平面機械臂的幾何關(guān)系，可以看出，在世界坐標(biāo)系(xo,yo)下,由連桿Li,L2以及關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)3的連線構(gòu)成三角形。圖中虛線所示為構(gòu)成三 角形的另一種情況，對于實線構(gòu)成的三角形，采用余弦定理可得X2 y2 = L22 -2IhL2COS(180 二2)(12)由于 cos(180+62)=-cos62,所以L12 L2：2L丄2(13)5三角形成立的條件為 2邊之和大于第三邊，因此L1+L2必須大于,x2y2?？衫蒙鲜綑z驗反解是否存在，當(dāng)上述條件不成立時，反 解不存在。當(dāng)反解存在時，即可由(13)式得出G2的值。為求，可先求出B和収根據(jù)三角函數(shù)與三角形各邊的關(guān)系，(14)(15)(16)應(yīng)用2幅角反正切公式得：:=Ata n 2( y, x)cos?=X2 y2 _L12 _L222L1 ,x2 y2再利用余弦定理求出式中，+-號根據(jù)G2的符號取，當(dāng)62<0,取正號，反之取負號。平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)角度可加和，因此3個連桿的旋轉(zhuǎn)角度之和即為末端連桿 的姿態(tài)，也即機械臂末端的姿態(tài)。玉八(17)由以上式(1)-式(17)，可反解出所有連桿在世界坐標(biāo)系的變換矩陣，即姿態(tài)。#