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2019屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理(含解析) (III) 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1.設(shè)集合，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：先化簡集合，，利用交集定義能求出 詳解： 則 故選 點(diǎn)睛：本題主要考查了集合的交集及其運(yùn)算，利用指數(shù)、對數(shù)求出不等式解集得到集合，繼而求出交集。 2.已知集合，，則( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 . 故選C. 3.已知命題，那么命題為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，即可得到所求命題的否定． 【詳解】由特稱命題的否定為全稱命題，可得 命題p：“”，則命題￢p為“”． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查簡易邏輯，主要是命題的否定，注意特稱命題和全稱命題的轉(zhuǎn)換，考查轉(zhuǎn)變能力，屬于基礎(chǔ)題． 4.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)A產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)．根據(jù)右表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程為，那么表中t的值為( ) A. 3 B. 3.15 C. 3.5 D. 4.5 【答案】A 【解析】 因由回歸方程知＝，解得 ，故選A. 5.如圖，給定由10個(gè)點(diǎn)（任意相鄰兩點(diǎn)距離為1,）組成的正三角形點(diǎn)陣，在其中任意取三個(gè)點(diǎn)，以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的正三角形的個(gè)數(shù)是 A. 12 B. 13 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 試題分析：如圖所示，邊長為1的正三角形共有1+3+5=9個(gè)；邊長為2的正三角形共有3個(gè)； 邊長為3的正三角形共有1個(gè)．邊長為的等邊三角形有2個(gè)：紅顏色和藍(lán)顏色的兩個(gè)三角形．綜上可知：共有9+3+1+2=15個(gè)． 考點(diǎn)：計(jì)數(shù)原理. 6.某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為( ) A. B. C. 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】 畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可． 【詳解】由題意可知幾何體的直觀圖為：多面體：A′B′C′﹣ABCD 幾何體補(bǔ)成四棱柱，底面是直角梯形，底邊長為3，高為3， 上底邊長為1， 幾何體的體積為：V棱柱﹣V棱錐＝318 ． 故選：B． 【點(diǎn)睛】思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬. 7.已知函數(shù)，將的圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的一個(gè)值是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 將的圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，可得函數(shù)的圖象；再把所得的圖象向右平移個(gè)單位長度，可得函數(shù)的圖象．結(jié)合所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得，即，，則的一個(gè)值是． 故選． 8.根據(jù)如下程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)程序，則輸出的值為（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 結(jié)合流程圖可知該流程圖運(yùn)行過程如下： 首先初始化數(shù)據(jù)：， ，不滿足，執(zhí)行：； ，不滿足，執(zhí)行：； ，不滿足，執(zhí)行：； ，滿足，輸出. 本題選擇B選項(xiàng). 9.直線被圓截得的弦長為4，則的最小值是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 圓心為，半徑為，由于所截弦長為，故直線過圓心，將圓心坐標(biāo)代入直線方程得，即，的幾何意義是原點(diǎn)到直線的距離的最小值的平方，故最小值為.所以選. 10.設(shè)，且，則下列結(jié)論必成立的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)條件判斷函數(shù)是偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助單調(diào)性轉(zhuǎn)化條件即可． 【詳解】f（x）＝f（﹣x），故f（x）是偶函數(shù)， 而當(dāng)時(shí)，＝cosx?e1+sinx﹣cosx?e1﹣sinx＝cosx?（e1+sinx﹣e1﹣sinx）＞0， 即f（x）在是單調(diào)遞增的． 由f（x1）＞f（x2），可得f（|x1|）＞f（|x2|）， 即有|x1|＞|x2|，即， 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵． 11.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過且斜率為1的直線交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，其垂直平分線交軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn).若四邊形的面積等于7，則的方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 聯(lián)立方程組求出各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)面積公式計(jì)算p的值得出答案． 【詳解】F（，0），直線AB的方程為：y＝x． 聯(lián)立方程組，可得：x2﹣3px0， 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2＝3p， y1+y2＝x1+x2﹣p＝2p， ∴M（，p）， ∴N（0，p），直線MC的方程為y＝﹣x． ∴C（，0）， ∴四邊形CMNF的面積為 S梯形OCMN﹣S△ONF7， ∴p＝2，即拋物線E的方程為：y2＝4x． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中檔題． 12.如圖，、分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與該雙曲線左支交于、兩點(diǎn)，若是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 試題分析：連接，則為直角三角形，由是等邊三角形，得，故選D. 考點(diǎn)：1、雙曲線的性質(zhì)；2、雙曲線的定義及離心率. 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用雙曲線的簡單性質(zhì)、雙曲線的定義雙曲線的離心率，屬于中檔題.求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率問題應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的等式，從而求出的值.本題是利用雙曲線的定義及特殊的直角三角形構(gòu)造出關(guān)于的等式，最后解出的值. 本卷包括必考題和選考題兩部分。第13～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22～23題為選做題，考生根據(jù)要求作答。 二、填空題：本題共4題，每小題5分，共20分。 13.設(shè).若,則的最小值是______. 【答案】4 【解析】 試題分析：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4． 考點(diǎn)：均值定理. 14.若的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是，則________. 【答案】 【解析】 展開式的通項(xiàng)公式為 ，. 令，得； 令，得. ∴依題設(shè)，有， 解得. 點(diǎn)睛:求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略 (1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第r＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可. (2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第r＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求出其參數(shù). 15.平行四邊形ABCD中，是平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且，若，則的最大值為______. 【答案】2. 【解析】 分析：根據(jù)，利用，利用向量的平方和向量模的平方是相等的，利用基本不等式得出的最大值. 詳解：因?yàn)?，所? ， 又，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值2，故答案是2. 點(diǎn)睛：該題考查的是求式子的最值的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量的平方和向量模的平方是相等的，向量數(shù)量積的定義式，利用基本不等式求最值，在解題的過程中，注意式子的正確使用. 16.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距為，以右頂點(diǎn)為圓心，半徑為的圓與過的直線相切于點(diǎn)，設(shè)與的交點(diǎn)為，若，則雙曲線的離心率為___________. 【答案】2. 【解析】 因?yàn)橐杂翼旤c(diǎn)為圓心，半徑為的圓過的直線相切與點(diǎn)，A=，故可知直線的傾斜角為，設(shè)直線方程為 設(shè)點(diǎn)P，根據(jù)條件知N點(diǎn)是PQ的中點(diǎn)，故得到，因?yàn)?，故得? 故答案為：2. 點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是雙曲線的離心率的求法；圓錐曲線中求離心率的常用方法有：定義法，根據(jù)橢圓或者雙曲線的定義列方程；數(shù)形結(jié)合的方法，利用圖形的幾何特點(diǎn)構(gòu)造方程；利用點(diǎn)在曲線上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，列式子。 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17.數(shù)列滿足 (1)若數(shù)列為公差大于0的等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式； (2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】(1)；(2). 【解析】 試題分析： （1）由題意得，，從而得到，設(shè)出等差數(shù)列的公差，解方程組可得，從而得到．（2）由條件，可得，兩式相減得)，又，故，所以，然后根據(jù)可求得． 試題解析： （1）由已知得 當(dāng)時(shí)，①，即 當(dāng)時(shí)，② ②-①，得；即 設(shè)等差數(shù)列的公差為， 則 解得或． ∵， ∴． ∴． （2）∵③ ∴)④ ③-④得)， 即)， 又， ∴， ∴ ， ∴ ． ∴ ． 點(diǎn)睛：解答本題時(shí)注意以下幾點(diǎn) （1）由遞推關(guān)系解決數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，要注意數(shù)列中項(xiàng)的下標(biāo)的限制． （2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，要根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的方法．常用的求和方法有列項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、公式法、分組求和法等，對于通項(xiàng)中含有或等形式的數(shù)列的求和問題常選擇分組求和法求解． 18.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗(噸)標(biāo)準(zhǔn)煤的幾組對照數(shù)據(jù)： (1)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程； (2)已知該廠技改前，100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)(1)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？ ，參考數(shù)值：. 【答案】(1) (2)19.65頓 【解析】 試題分析：(1) 根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)求出利用最小二乘法所需要的幾個(gè)數(shù)據(jù)，代入求系數(shù)的公式，再計(jì)算，求出的值，即可得出線性回歸方程；(2)利用回歸方程，把代入線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低標(biāo)準(zhǔn)煤的數(shù)量． 試題解析：(1)由對照數(shù)據(jù)，計(jì)算得，，，， 故，，故. (2)將代入方程，得噸. 預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低(噸) 19.如圖所示四棱錐P-ABCD平面，E為線段BD上的一點(diǎn)，且EB=ED=EC=BC,連接CE并延長交AD于F (1)若G為PD的中點(diǎn)，求證：平面平面CGF； (2)若BC=2,PA=3，求平面BCP與平面DCP所成銳二面角的余弦值. 【答案】（1）見解析；(2) 【解析】 【分析】 （1）通過三角形全等證明∠FED＝∠FEA，推出EF⊥AD，證明FG∥PA．可得GF⊥AD，即可證明AD⊥平面CFG．然后證明平面PAD⊥平面CGF； （2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出平面BCP的法向量，平面DCP的法向量利用向量的數(shù)量積求解平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值． 【詳解】在中，， 故, 因?yàn)?，∴? 從而有 ∴，故． 又， ．又平面， 故平面，， 故平面. 又平面，∴平面平面. （2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，則 ， 故，． 設(shè)平面的法向量， 則解得即 設(shè)平面的法向量，則 解得即． 從而平面與平面的夾角的余弦值為 ， 【點(diǎn)睛】空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離. 20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，如圖所示，斜率為且不過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線交橢圓于點(diǎn)，交直線于點(diǎn). （1）求的最小值； （2）若，求證：直線過定點(diǎn). 【答案】（1）.（2）見解析 【解析】 試題分析：（1）設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓方程，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和所在直線方程，求點(diǎn) 的坐標(biāo)，利用基本不等式即可求得 的最小值； （2）由（1）知所在直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，并代入 ，得到 ，因此得證直線過定點(diǎn)； 試題解析：（1）設(shè)直線 的方程為，由題意，， 由方程組，得， 由題意，所以， 設(shè)， 由根與系數(shù)的關(guān)系得，所以， 由于為線段的中點(diǎn)，因此， 此時(shí)，所以所在直線的方程為， 又由題意知，令，得，即， 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號(hào)成立， 此時(shí)由得，因此當(dāng)且時(shí)，取最小值. （2）證明：由（1）知所在直線的方程為， 將其代入橢圓的方程，并由，解得， 又， 由距離公式及得 ，， ， 由，得， 因此直線的方程為，所以直線恒過定點(diǎn). 21.函數(shù) (1)討論函數(shù)的單凋性； (2)若存在使得對任意的不等式（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）略；(Ⅱ)． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，討論參數(shù)的取值確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而判定函數(shù)的單調(diào)性；(Ⅱ)先借助（Ⅰ）的結(jié)論求出不等式左邊的最小值，即將存在性問題轉(zhuǎn)化為左邊的最小值大于不等式右邊，再作差構(gòu)造函數(shù)，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題． 試題解析：（I） ，記 （i）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，函?shù)在上單調(diào)遞增； （ii）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋? 所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增； （iii）當(dāng)時(shí)，由，解得， 所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減， 在區(qū)間上單調(diào)遞增 （II）由（I）知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增， 所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是，對任意的， 都存在，使得不等式成立， 等價(jià)于對任意的，不等式都成立， 即對任意的，不等式都成立， 記，由， ， 由得或,因?yàn)?，所以? ①當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，， 時(shí)，，所以， 所以時(shí)，恒成立； ②當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以? 此時(shí)單調(diào)遞增，且， 所以時(shí)，成立； ③當(dāng)時(shí)，，， 所以存在使得，因此不恒成立． 綜上，的取值范圍是． 另解（II）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增， 所以時(shí)，函數(shù)的最大值是， 對任意的，都存在， 使得不等式成立， 等價(jià)于對任意的，不等式都成立， 即對任意的，不等式都成立， 記， 由，且 ∴對任意的，不等式都成立的必要條件為 又， 由得或 因?yàn)椋裕? 當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，， 時(shí)，，所以， 所以時(shí)，恒成立； ②當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以? 此時(shí)單調(diào)遞增，且， 所以時(shí)，成立． 綜上，的取值范圍是 考點(diǎn)：1.函數(shù)的單調(diào)性；2.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分. 22.在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），. （Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程，并判斷該曲線是什么曲線？ （Ⅱ）設(shè)曲線與曲線的交點(diǎn)為，，，當(dāng)時(shí)，求的值. 【答案】(1) 見解析；（2）. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的轉(zhuǎn)化公式，可得的直角坐標(biāo)方程. (2) 由直線參數(shù)方程的幾何意義得，可得解. 試題解析：(1) 由得，該曲線為橢圓. （2）將代入得，由直線參數(shù)方程的幾何意義，設(shè)， ，所以，從而，由于，所以. 23.已知函數(shù). （1）若，使不等式成立，求滿足條件的實(shí)數(shù)的集合； （2）為中最大正整數(shù)，，，，，求證：. 【答案】（1）;（2）見解析. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)題意，由零點(diǎn)分段討論法分析不等式，得到的解析式，即可得到. （2）由（1）可得，即可得，由基本不等式的性質(zhì)可得，，，將3個(gè)式子相乘，可得． 試題解析：（1）由已知得 則， 由于，使不等式成立，所以， 即 （2）由（1）知，則 因?yàn)?，，，所以，，? 則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）， ，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）， （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）， 則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）， 即. 【點(diǎn)睛】本題絕對值不等式的性質(zhì)以解法，涉及基本不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，（2）的關(guān)鍵是分析轉(zhuǎn)化求出 的最值．