高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料2019.5專題七專題七不等式不等式命題觀察高考定位(對應(yīng)學(xué)生用書第 28 頁)1(20 xx江蘇高考)已知實數(shù)x，y滿足x2y40，2xy20，3xy30，則x2y2的取值范圍是_4 45 5，1313根據(jù)已知的不等式組畫出可行域，如圖陰影部分所示，則(x，y)為陰影區(qū)域內(nèi)的動點dx2y2可以看做坐標(biāo)原點O與可行域內(nèi)的點(x，y)之間的距離數(shù)形結(jié)合，知d的最大值是OA的長，d的最小值是點O到直線 2xy20 的距離 由x2y40，3xy30可得A(2,3)，所以dmax 2232 13，dmin|2|221225.所以d2的最小值為45，最大值為 13.所以x2y2的取值范圍是45，13.2(20 xx江蘇高考)不等式 2x2x4 的解集為_x|1x2(或1，2)2x2x4， 2x2x22， x2x2， 即x2x20，1x2.3(20 xx江蘇高考)已知函數(shù)f(x)x2mx1，若對于任意xm，m1，都有f(x)0 成立，則實數(shù)m的取值范圍是_.【導(dǎo)學(xué)號：56394045】22，0作出二次函數(shù)f(x)的圖象，對于任意xm，m1，都有f(x)0，則有fm0，fm10，即m2m210，m12mm110，解得22m0.所以實數(shù)a的取值范圍為22，0.命題規(guī)律在近年來的高考數(shù)學(xué)中，有關(guān)不等式的試題都占有較大的比重. 不僅考查有關(guān)不等式的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法，而且注重考查邏輯思維能力、運算能力以及分析問題和解決問題的能力. 在題型上，填空題主要考查不等式的性質(zhì)、解簡單不等式、簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用、絕對值不等式、簡單轉(zhuǎn)化求參數(shù)范圍、比較大小等；解答題主要考查基本不等式的應(yīng)用、含參不等式的解法、求恒成立中的參數(shù)范圍、證明不等式、最值型綜合題以及實際應(yīng)用題等. 試題常常是寓不等式的證明、解不等式、求參數(shù)范圍于函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)、三角、解析幾何、立體幾何、實際應(yīng)用等問題之中， 知識覆蓋面廣、綜合性強、思維力度大、能力要求高， 是高考數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、考能力、考素質(zhì)的主陣地. 從近幾年數(shù)學(xué)試題得到啟示：涉及不等式解法的題目，往往較為容易；對簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用的考查，不但具有連續(xù)性，而且其題型規(guī)律易于把握；對基本不等式的考查，較多的寓于綜合題目之中通過第二輪的專題復(fù)習(xí)，應(yīng)注意在鞏固基礎(chǔ)知識、基本方法的基礎(chǔ)上，強化記憶，熟化常見題型的解法，提升綜合應(yīng)用不等式解題的能力主干整合歸納拓展(對應(yīng)學(xué)生用書第 28 頁)第 1 步核心知識再整合1在證明不等式的各種方法中，作差比較法是一種最基本、最重要的方法，它是利用不等式兩邊的差是正數(shù)還是負(fù)數(shù)來證明不等式，其應(yīng)用非常廣泛，一定要熟練掌握2解不等式的過程，實質(zhì)上是不等式等價轉(zhuǎn)化的過程因此在學(xué)習(xí)中理解保持同解變形是解不等式應(yīng)遵循的基本原則轉(zhuǎn)化的方法是： 超越式、分式、整式(高次)、整式(低次)、一次(或二次)不等式其中準(zhǔn)確熟練求解一元二次(一次)不等式是解其他不等式的基礎(chǔ)，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想3對于公式ab2ab，abab22，要理解它們的作用和使用條件及內(nèi)在聯(lián)系，兩個公式也體現(xiàn)了ab和ab的轉(zhuǎn)化關(guān)系4在應(yīng)用均值定理求最值時，要把握定理成立的三個條件，就是“一正各項均為正；二定積或和為定值；三相等等號能否取得”若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤5平面區(qū)域的確定方法是“直線定界，特殊點定域”，二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的半平面的交集確定平面區(qū)域中單個變量的范圍、整點個數(shù)等，只需把區(qū)域畫出來，結(jié)合圖形通過計算解決線性目標(biāo)函數(shù)zaxby中的z不是直線axbyz在y軸上的截距，把目標(biāo)函數(shù)化為yabxzb可知zb是直線axbyz在y軸上的截距，要根據(jù)b的符號確定目標(biāo)函數(shù)在什么情況下取得最大值、什么情況下取得最小值6含有絕對值的不等式常用的方法是：(1)由定義分段討論；(2)利用絕對值不等式的性質(zhì)；(3)平方；(4)利用絕對值的幾何意義第 2 步 高頻考點細(xì)突破簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用【例 1】(江蘇省泰州中學(xué)高三摸底考試)已知實數(shù)x，y滿足2xy0，xy50，y40，若不等式a(x2y2)(xy)2恒成立，則實數(shù)a的最小值是_解析可行域為一個三角形ABC及其內(nèi)部(圖略)，其中A(2,4)，B(1,4)，C53，103 ，因此yxkOA，kOB2,4，因為yxxy在2,4上單調(diào)遞增，所以yxxy52，174 ，不等式a(x2y2)(xy)2恒成立等價于axy2x2y2max12yxxymax95amin95.答案95規(guī)律方法這是簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用的基本題型基本思路是：畫、移、解、代技巧是：往往在“角點”處取得最值，直接代入點的坐標(biāo)即可，關(guān)鍵點是理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義舉一反三(20 xx江蘇省泰州市高考數(shù)學(xué)一模)若實數(shù)x，y滿足2xy4，x3y7，x0，y0，則z3x2y的最大值為_7 7作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：(陰影部分)由z3x2y得y32x12z，平移直線y32x12z，由圖象可知當(dāng)直線y32x12z經(jīng)過點A時，直線y32x12z的截距最大，此時z最大由2xy4，x3y7，解得A(1,2)，代入目標(biāo)函數(shù)z3x2y得z31227.即目標(biāo)函數(shù)z3x2y的最大值為 7.簡單線性規(guī)劃“逆向”問題，確定參數(shù)的取值(范圍)【例 2】(無錫市普通高中高三上學(xué)期期中基礎(chǔ)性檢測)已知x，y滿足yx，xy2xa，若z3xy的最大值為M，最小值為m，且Mm0，則實數(shù)a的值為_解析畫出不等式組yxxy2xa表示的區(qū)域如圖，結(jié)合圖形可以看出當(dāng)動直線y3xz經(jīng)過點A(a，a)和B(1,1)時，z3xy分別取最小值m4a和最大值m4，由題設(shè)可得 4a40，所以a1.答案1規(guī)律方法嘗試畫出“可行域”，通過平移直線確認(rèn)“最優(yōu)解”，建立參數(shù)的方程舉一反三實數(shù)x，y滿足y1，y2x1，xym，如果目標(biāo)函數(shù)zxy的最小值為2，則實數(shù)m的值為_.【導(dǎo)學(xué)號：56394046】8 8如圖， 約束條件表示的可行域應(yīng)該是ABC內(nèi)部(含邊界)(否則可行域不存在)， 作直線l：xy0，當(dāng)把直線l向上平移時，z減小，因此其最小值點是直線y2x1 與直線xym的交點，由y2x1xy2得B(3,5)，代入xym得m8.基本不等式的應(yīng)用【例 3】(20 xx江蘇蘇州市高三期中調(diào)研考試)若函數(shù)ytancos 21sin 200.ytancos 21sin 2tan2cos22sincostan1tan2tan1tan2，當(dāng)且僅當(dāng) tan1 時取等號因此y的最小值為 2.答案2規(guī)律方法應(yīng)用基本不等式，應(yīng)注意“一正、二定、三相等”，缺一不可靈活的通過“拆、湊、代(換)”，創(chuàng)造應(yīng)用不等式的條件，是解答此類問題的技巧；忽視等號成立的條件，是常見錯誤之一舉一反三(蘇北四市(淮安、 宿遷、 連云港、 徐州)高三上學(xué)期期中)已知正數(shù)a，b滿足1a9bab5，則ab的最小值為_36361a9bab5ab529ab(ab)25ab60ab6ab36，當(dāng)且僅當(dāng)b9a時取等號，因此ab的最小值為 36.不等式的綜合應(yīng)用【例 4】(泰州中學(xué) 20 xx度第一學(xué)期第一次質(zhì)量檢測)已知二次函數(shù)f(x)mx22x3，關(guān)于實數(shù)x的不等式f(x)0 的解集為1，n.(1)當(dāng)a0 時，解關(guān)于x的不等式：ax2n1(m1)x2ax；(2)是否存在實數(shù)a(0,1)，使得關(guān)于x的函數(shù)yf(ax)3ax1(x1,2)的最小值為5？若存在，求實數(shù)a的值；若不存在，說明理由解(1)由不等式mx22x30 的解集為1，n知， 關(guān)于x的方程mx22x30 的兩根為1 和n，且m0，由根與系數(shù)關(guān)系，得1n2m，1n3m，m1，n3.所以原不等式化為(x2)(ax2)0，當(dāng) 0a0，且 22a或x0，解得xR R 且x2；當(dāng)a1 時，原不等式化為(x2)x2a0，且 22a，解得x2；綜上所述：當(dāng) 02a或x1 時，原不等式的解集為x|x2 或x2a.(2)假設(shè)存在滿足條件的實數(shù)a，由(1)得：m1，f(x)x22x3，yf(ax)3ax1a2x(3a2)ax3.令axt(a2ta)，則yt2(3a2)t3(a2ta)，對稱軸t3a22，因為a(0,1)，所以a2a1,13a2252，所以函數(shù)yt2(3a2)t3 在a2，a上單調(diào)遞減，所以當(dāng)ta時，y的最小值為y2a22a35，解得a512.規(guī)律方法應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)、證明不等式，解題格式明確、規(guī)范，基本思路清晰，能使問題解決的領(lǐng)域更寬廣解題過程中，注意應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，化生為熟、化難為易、化繁為簡，是解決問題的基本方法舉一反三(泰州中學(xué) 20 xx度第一學(xué)期第一次質(zhì)量檢測文科)已知函數(shù)f(x)|x1|，g(x)x26x5(xR R)(1)若g(x)f(x)，求x的取值范圍；(2)求g(x)f(x)的最大值.【導(dǎo)學(xué)號：56394047】解(1)當(dāng)x1 時，f(x)x1，由g(x)f(x)，得x26x5x1，整理得(x1)(x4)0，所以x1,4；當(dāng)x1 時，f(x)1x，由g(x)f(x)，得x26x51x，整理得(x1)(x6)0，所以x1,6，由x0，b0，ab1，求a1a2b1b2的最小值錯解a1a2b1b2a2b21a21b242ab2ab44ab1ab48，所以，a1a2b1b2的最小值是 8.錯解分析上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2b22ab，第一次等號成立的條件是ab12，第二次等號成立的條件是ab1ab，顯然，這兩個條件是不能同時成立的因此，8 不是最小值正解a1a2b1b2a2b21a21b24(ab)22ab1a1b22ab4(12ab)11a2b24，由abab2214， 得 12ab11212， 且1a2b216, 11a2b217，原式12174252(當(dāng)且僅當(dāng)ab12時，等號成立)，所以，a1a2b1b2的最小值是252.專家預(yù)測鞏固提升(對應(yīng)學(xué)生用書第 31 頁)1已知正實數(shù)x，y滿足x2x3y4y10，則xy的取值范圍為_1 1，8 83 3設(shè)xyt，則ytx，所以 10 x2x3y4yx2x3tx4xt14t x(23t)1x214t23t.即 3t211t80，解之得 1t83.2已知函數(shù)的定義域是2，)且f(4)f(2)1,f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且f(x)的圖象如圖 71 所示， 則不等式組x0y0f2xy1所圍成的平面區(qū)域的面積是_.【導(dǎo)學(xué)號：56394048】圖 714 4由導(dǎo)函數(shù)的圖象得到f(x)在2,0遞減；在0，)遞增，f(4)f(2)1，f(2xy)1，22xy4，x0y0f2xy1x0y022xy4表示的平面區(qū)域如下：所以平面區(qū)域的面積為12244.3已知函數(shù)f(x)的定義域是3，)且f(6)2，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f(x)的圖象如圖 72 所示，若正數(shù)a，b滿足f(2ab)0，2ab0)x2zy2z41，這個橢圓與可行域有公共點，只需它與線段xy1(0 x1)有公共點，把y1x代入橢圓方程得 5x28x4z0，由判別式6445(4z)0 得z45，且x450,1時，z45.