2019年編·人教版高中數(shù)學(xué) 高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明綜合檢測(cè) 新人教A版選修2-2時(shí)間120分鐘，滿(mǎn)分150分。一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的)1觀察數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，的特點(diǎn)，按此規(guī)律，則第100項(xiàng)為()A10B14C13D100答案B解析設(shè)nN*，則數(shù)字n共有n個(gè)，所以100即n(n1)200，又因?yàn)閚N*，所以n13，到第13個(gè)13時(shí)共有91項(xiàng)，從第92項(xiàng)開(kāi)始為14，故第100項(xiàng)為14.2有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪(fǎng)了四位歌手，甲說(shuō)：“是乙或丙獲獎(jiǎng)”乙說(shuō)：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)”丙說(shuō)：“我獲獎(jiǎng)了”丁說(shuō)：“是乙獲獎(jiǎng)”四位歌手的話(huà)只有兩名是對(duì)的，則獲獎(jiǎng)的歌手是()A甲B乙C丙D丁答案C解析若甲獲獎(jiǎng)，則甲、乙、丙、丁說(shuō)的都是錯(cuò)的，同理可推知乙、丙、丁獲獎(jiǎng)的情況，最后可知獲獎(jiǎng)的歌手是丙3(2015·棗莊一模)用數(shù)學(xué)歸納法證明“1<n(nN*，n>1)”時(shí)，由nk(k>1)不等式成立，推證nk1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是()A2k1B2k1C2kD2k1答案C解析左邊的特點(diǎn)是分母逐漸增加1，末項(xiàng)為；由nk時(shí)，末項(xiàng)為到nk1時(shí)末項(xiàng)為，應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)為2k.故選C.點(diǎn)評(píng)本題是基礎(chǔ)題，考查用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的第二步，項(xiàng)數(shù)增加多少問(wèn)題，注意表達(dá)式的形式特點(diǎn)，找出規(guī)律是關(guān)鍵4下列說(shuō)法正確的是()A“a<b”是“am2<bm2”的充要條件B命題“xR，x3x210”的否定是“xR，x3x210”C“若a、b都是奇數(shù)，則ab是偶數(shù)”的逆否命題是“若ab不是偶數(shù)，則a、b不都是奇數(shù)”D若pq為假命題，則p、q均為假命題答案C解析A中“a<b”是“am2<bm2”的必要不充分條件，故A錯(cuò)；B中“xR，x3x210”的否定是“xR，x3x21>0”，故B錯(cuò)；C正確；D中pq為假命題，則p、q中至少有一個(gè)為假命題，故D錯(cuò)5(2014·東北三校模擬) 下列代數(shù)式(其中kN*)能被9整除的是()A66·7kB27k1C2(27k1)D3(27k)答案D解析特值法：當(dāng)k1時(shí)，顯然只有3(27k)能被9整除，故選D.證明如下：當(dāng)k1時(shí)，已驗(yàn)證結(jié)論成立，假設(shè)當(dāng)kn(nN*)時(shí)，命題成立，即3(27n)能被9整除，那么3(27n1)21(27n)36.3(27n)能被9整除，36能被9整除，21(27n)36能被9整除，這就是說(shuō)，kn1時(shí)命題也成立故命題對(duì)任何kN*都成立6已知f(n)，則()Af(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Bf(n)中共有n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Cf(n)中共有n2n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Df(n)中共有n2n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)答案D解析項(xiàng)數(shù)為n2(n1)n2n1，故應(yīng)選D.7已知abc0，則abbcca的值()A大于0B小于0C不小于0D不大于0答案D解析解法1：abc0，a2b2c22ab2ac2bc0，abacbc0.解法2：令c0，若b0，則abbcac0，否則a、b異號(hào)，abbcacab0，排除A、B、C，選D.8已知c1，a，b，則正確的結(jié)論是()AabBabCabDa、b大小不定答案B解析a，b，因?yàn)?amp;gt;>0，>>0，所以>>0，所以a<b.9定義一種運(yùn)算“*”；對(duì)于自然數(shù)n滿(mǎn)足以下運(yùn)算性質(zhì)：()(i)1B.n1Cn1Dn2答案A解析令ann*1，則由(ii)得，an1an1，由(i)得，a11，an是首項(xiàng)a11，公差為1的等差數(shù)列，ann，即n*1n，故選A.10.已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(0)0，導(dǎo)函數(shù)f (x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象與x軸圍成的封閉圖形的面積為()A.BC2D答案B解析由f (x)的圖象知，f (x)2x2，設(shè)f(x)x22xc，由f(0)0知，c0，f(x)x22x，由x22x0得x0或2.故所求面積S (x22x)dx.11已知12×33×324×32n×3n13n(nab)c對(duì)一切nN*都成立，那么a、b、c的值為()Aa，bcBabcCa0，bcD不存在這樣的a、b、c答案A解析令n1、2、3，得所以a，bc.12設(shè)函數(shù)f(x)定義如下表，數(shù)列xn滿(mǎn)足x05，且對(duì)任意的自然數(shù)均有xn1f(xn)，則x2011()x12345f(x)41352A.1B2C4D5答案C解析x1f(x0)f(5)2，x2f(2)1，x3f(1)4，x4f(4)5，x5f(5)2，數(shù)列xn是周期為4的數(shù)列，所以x2011x34，故應(yīng)選C.二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線(xiàn)上)13在ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，則()將上述命題類(lèi)比到四面體中去，得到一個(gè)類(lèi)比命題：_.答案在四面體ABCD中，G為BCD的重心，則()14設(shè)函數(shù)f(x)(x>0)，觀察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)nN*且n2時(shí)，fn(x)f(fn1(x)_.答案解析觀察f1(x)、f2(x)、f3(x)、f4(x)的表達(dá)式可見(jiàn)，fn(x)的分子為x，分母中x的系數(shù)比常數(shù)項(xiàng)小1，常數(shù)項(xiàng)依次為2,4,8,162n.故fn(x).15(20142015·廈門(mén)六中高二期中)在平面上，我們用一直線(xiàn)去截正方形的一個(gè)角，那么截下的一個(gè)直角三角形，按如圖所標(biāo)邊長(zhǎng)，由勾股定理有c2a2b2.設(shè)想正方形換成正方體，把截線(xiàn)換成如圖截面，這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OLMN，如果用S1、S2、S3表示三個(gè)側(cè)面面積，S表示截面面積，那么類(lèi)比得到的結(jié)論是_答案S2SSS解析類(lèi)比如下：正方形正方體；截下直角三角形截下三側(cè)面兩兩垂直的三棱錐；直角三角形斜邊平方三棱錐底面面積的平方；直角三角形兩直角邊平方和三棱錐三個(gè)側(cè)面面積的平方和，結(jié)論S2SSS.證明如下：如圖，作OE平面LMN，垂足為E，連接LE并延長(zhǎng)交MN于F，LOOM，LOON，LO平面MON，MN平面MON，LOMN，OEMN，MN平面OFL，SOMNMN·OF，SMNEMN·FE，SMNLMN·LF，OF2FE·FL，S(MN·OF)2(MN·FE)·(MN·FL)SMNE·SMNL，同理SSMLE·SMNL，SSNLE·SMNL，SSS(SMNESMLESNLE)·SMNLS，即SSSS2.16(20142015·洛陽(yáng)部分重點(diǎn)中學(xué)質(zhì)量檢測(cè))觀察下列等式：×1，××1，×××1，由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論：對(duì)于nN*，×××_.答案1解析由已知中的等式：×1××1，×××1，所以對(duì)于nN*，×××1.三、解答題(本大題共6個(gè)大題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17(本題滿(mǎn)分12分)已知：a、b、cR，且abc1.求證：a2b2c2.證明由a2b22ab，及b2c22bc，c2a22ca.三式相加得a2b2c2abbcca.3(a2b2c2)(a2b2c2)2(abbcca)(abc)2.由abc1，得3(a2b2c2)1，即a2b2c2.18(本題滿(mǎn)分12分)我們知道，在ABC中，若c2a2b2，則ABC是直角三角形現(xiàn)在請(qǐng)你研究：若cnanbn(n2)，問(wèn)ABC為何種三角形？為什么？解析銳角三角形cnanbn (n2)，ca, cb，由c是ABC的最大邊，所以要證ABC是銳角三角形，只需證角C為銳角，即證cosC0.cosC，要證cosC0，只要證a2b2c2，注意到條件：anbncn，于是將等價(jià)變形為：(a2b2)cn2cn.ca，cb，n2，cn2an2，cn2bn2，即cn2an20，cn2bn20，從而(a2b2)cn2cn(a2b2)cn2anbna2(cn2an2)b2(cn2bn2)0，這說(shuō)明式成立，從而式也成立故cosC0，C是銳角，ABC為銳角三角形19(本題滿(mǎn)分12分)(2015·吉林市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中)橢圓與雙曲線(xiàn)有許多優(yōu)美的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)對(duì)于橢圓1(ab0)有如下命題：AB是橢圓1(ab0)的不平行于對(duì)稱(chēng)軸且不過(guò)原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，則kOM·kAB為定值那么對(duì)于雙曲線(xiàn)1(a0，b0)，則有命題：AB是雙曲線(xiàn)1(a0，b0)的不平行于對(duì)稱(chēng)軸且不過(guò)原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，猜想kOM·kAB的值，并證明解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則有kOM，kAB，即kOM·kAB.將A、B坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)方程1中可得：11得：，即kOM·kAB.20(本題滿(mǎn)分12分)若x>0，y>0，用分析法證明：(x2y2)>(x3y3).證明要證(x2y2)>(x3y3)，只需證(x2y2)3>(x3y3)2，即證x63x4y23x2y4y6>x62x3y3y6，即證3x4y23y4x2>2x3y3.又因?yàn)閤>0，y>0，所以x2y2>0，故只需證3x23y2>2xy.而3x23y2>x2y22xy成立，所以(x2y2)>(x3y3)成立21(本題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)f(x)ax(a>1)(1)證明：函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)；(2)用反證法證明方程f(x)0沒(méi)有負(fù)數(shù)根解析(1)證法1：任取x1、x2(1，)，不妨設(shè)x1<x2，則x2x1>0，ax2x1>1且ax1>0，ax2ax1ax1(ax2x11)>0，又x11>0，x21>0，>0，于是f(x2)f(x1)ax2ax1>0，故函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)證法2：f (x)axlnaaxlnaa>1，lna>0，axlna>0，f (x)>0在(1，)上恒成立，即f(x)在(1，)上為增函數(shù)(2)解法1：設(shè)存在x0<0(x01)滿(mǎn)足f(x0)0，則ax0，且0<ax0<1.0<<1，即<x0<2，與假設(shè)x0<0矛盾故方程f(x)0沒(méi)有負(fù)數(shù)根解法2：設(shè)x0<0(x01)，若1<x0<0，則<2，ax0<1，f(x0)<1.若x0<1則>0，ax0>0，f(x0)>0.綜上，x<0(x1)時(shí)，f(x)<1或f(x)>0，即方程f(x)0無(wú)負(fù)數(shù)根22(本題滿(mǎn)分14分)設(shè)數(shù)列a1，a2，an，中的每一項(xiàng)都不為0.證明an為等差數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任何nN，都有.分析本題考查等差數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法與充要條件等有關(guān)知識(shí)，考查推理論證、運(yùn)算求解能力解題思路是利用裂項(xiàng)求和法證必要性，再用數(shù)學(xué)歸納法或綜合法證明充分性證明先證必要性設(shè)數(shù)列an的公差為d.若d0，則所述等式顯然成立若d0，則.再證充分性證法1：(數(shù)學(xué)歸納法)設(shè)所述的等式對(duì)一切nN都成立首先，在等式兩端同乘a1a2a3，即得a1a32a2，所以a1，a2，a3成等差數(shù)列，記公差為d，則a2a1d.假設(shè)aka1(k1)d，當(dāng)nk1時(shí)，觀察如下兩個(gè)等式，將代入，得，在該式兩端同乘a1akak1，得(k1)ak1a1kak.將aka1(k1)d代入其中，整理后，得ak1a1kd.由數(shù)學(xué)歸納法原理知，對(duì)一切nN，都有ana1(n1)d，所以an是公差為d的等差數(shù)列證法2：(直接證法)依題意有，.得，在上式兩端同乘a1an1an2，得a1(n1)an1nan2.同理可得a1nan(n1)an1(n2)得2nan1n(an2an)即an2an1an1an，由證法1知a3a2a2a1，故上式對(duì)任意nN*均成立所以an是等差數(shù)列