工程數(shù)學(xué)作業(yè)（一）答案 第 2 章 矩陣（一）單項選擇題（每小題 2 分，共 20 分） 設(shè) ，則 （ D ） A. 4 B. 4 C. 6 D. 6 若 ，則 （ A ） A. B. 1 C. D. 1 乘積矩陣 中元素 （ C ） A. 1 B. 7 C. 10 D. 8 設(shè) 均為 階可逆矩陣，則下列運算關(guān)系正確的是（ B ） A. B. C. D. 設(shè) 均為 階方陣， 且 ，則下列等式正確的是（ D ） A. B. C. D. 下列結(jié)論正確的是（ A ） A. 若 是正交矩陣，則 也是正交矩陣 B. 若 均為 階對稱矩陣，則 也是對稱矩陣 C. 若 均為 階非零矩陣，則 也是非零矩陣 D. 若 均為 階非零矩陣，則 矩陣 的伴隨矩陣為（ C ） A. B. C. D. 方陣 可逆的充分必要條件是（ B ） A. B. C. D. 設(shè) 均為 階可逆矩陣，則 （ D ） A. B. C. D. 設(shè) 均為 階可逆矩陣，則下列等式成立的是（ A ） A. B. C. D. （二）填空題（每小題 2 分，共 20 分） 7 是關(guān)于 的一個一次多項式，則該多項式一次項的系數(shù)是 2 若 為 矩陣， 為 矩陣，切乘積 有意義，則 為 5 4 矩陣 二階矩陣 設(shè) ，則 設(shè) 均為 3 階矩陣，且 ，則 72 設(shè) 均為 3 階矩陣，且 ，則 3 若 為正交矩陣，則 0 矩陣 的秩為 2 設(shè) 是兩個可逆矩陣，則 （三）解答題（每小題 8 分，共 48 分） 設(shè) ，求 ； ； ； ； ； 答案： 設(shè) ，求 解 ： 已知 ，求滿足方程 中的 解 ： 寫出 4 階行列式中元素 的代數(shù)余子式，并求其值答案 ： 用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣： ； ； 解：（ 1 ） （ 2 ） ( 過程略 ) (3) 求矩陣 的秩解 ： （四）證明題（每小題 4 分，共 12 分） 對任意方陣 ，試證 是對稱矩陣證明： 是對稱矩陣 若 是 階方陣，且 ，試證 或 證明 ： 是 階方陣，且 或 若 是正交矩陣，試證 也是正交矩陣證明： 是正交矩陣 即 是正交矩陣工程數(shù)學(xué)作業(yè)（第二次） 第 3 章 線性方程組（一）單項選擇題 ( 每小題 2 分，共 16 分 ) 用消元法得 的解 為（ C ） A. B. C. D. 線性方程組 （ B ） A. 有無窮多解 B. 有唯一解 C. 無解 D. 只有零解 向量組 的秩為（ A ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 設(shè)向量組為 ，則（ B ）是極大無關(guān)組 A. B. C. D. 與 分別代表一個線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣，若這個方程組無解，則（ D ） A. 秩 秩 B. 秩 秩 C. 秩 秩 D. 秩 秩 若某個線性方程組相應(yīng)的齊次線性方程組只有零解，則該線性方程組（ A ） A. 可能無解 B. 有唯一解 C. 有無窮多解 D. 無解 以下結(jié)論正確的是（ D ） A. 方程個數(shù)小于未知量個數(shù)的線性方程組一定有解 B. 方程個數(shù)等于未知量個數(shù)的線性方程組一定有唯一解 C. 方程個數(shù)大于未知量個數(shù)的線性方程組一定有無窮多解 D. 齊次線性方程組一定有解 若向量組 線性相關(guān)，則向量組內(nèi)（ A ）可被該向量組內(nèi)其余向量線性表出 A. 至少有一個向量 B. 沒有一個向量 C. 至多有一個向量 D. 任何一個向量9 設(shè) A ，為 階矩陣， 既是又是的特征值， 既是又是的屬于 的特征向量，則結(jié)論（）成立 是 AB 的特征值 是 A+B 的特征值 是 A B 的特征值 是 A+B 的屬于 的特征向量10 設(shè)，為 階矩陣，若等式（）成立，則稱和相似 （二）填空題 ( 每小題 2 分，共 16 分 ) 當(dāng) 時，齊次線性方程組 有非零解 向量組 線性 相關(guān) 向量組 的秩是 設(shè)齊次線性方程組 的系數(shù)行列式 ，則這個方程組有 無窮多 解，且系數(shù)列向量 是線性 相關(guān) 的 向量組 的極大線性無關(guān)組是 向量組 的秩與矩陣 的秩 相同 設(shè)線性方程組 中有 5 個未知量，且秩 ，則其基礎(chǔ)解系中線性無關(guān)的解向量有 個 設(shè)線性方程組 有解， 是它的一個特解，且 的基礎(chǔ)解系為 ，則 的通解為 9 若 是的特征值，則 是方程 的根 10 若矩陣滿足 ，則稱為正交矩陣（三）解答題 ( 第 1 小題 9 分，其余每小題 11 分 ) 1 用消元法解線性方程組解： 方程組解為 設(shè)有線性方程組 為何值時，方程組有唯一解 ? 或有無窮多解 ?解： 當(dāng) 且 時， ，方程組有唯一解當(dāng) 時， ，方程組有無窮多解 判斷向量 能否由向量組 線性表出，若能，寫出一種表出方式其中 解 ：向量 能否由向量組 線性表出，當(dāng)且僅當(dāng)方程組 有解這里 方程組無解 不能由向量 線性表出 計算下列向量組的秩，并且（ 1 ）判斷該向量組是否線性相關(guān) 解 ： 該向量組線性相關(guān) 求齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系解： 方程組的一般解為 令 ，得基礎(chǔ)解系 求下列線性方程組的全部解 解： 方程組一般解為 令 ， ，這里 ， 為任意常數(shù)，得方程組通解試證：任一維向量 都可由向量組， ， ， 線性表示，且表示方式唯一，寫出這種表示方式證明： 任一維向量可唯一表示為 試證：線性方程組有解時，它有唯一解的充分必要條件是：相應(yīng)的齊次線性方程組只有零解證明： 設(shè) 為含 個未知量的線性方程組該方程組有解，即 從而 有唯一解當(dāng)且僅當(dāng) 而相應(yīng)齊次線性方程組 只有零解的充分必要條件是 有唯一解的充分必要條件是：相應(yīng)的齊次線性方程組 只有零解9 設(shè) 是可逆矩陣的特征值，且 ，試證： 是矩陣 的特征值證明： 是可逆矩陣的特征值 存在向量 ，使 即 是矩陣 的特征值10 用配方法將二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)型解：令 ， ， ， 即 則將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型 工程數(shù)學(xué)作業(yè)（第三次）第 4 章 隨機事件與概率（一）單項選擇題 為兩個事件，則（ B ）成立 A. B. C. D. 如果（ C ）成立，則事件 與 互為對立事件 A. B. C. 且 D. 與 互為對立事件 10 張獎券中含有 3 張中獎的獎券，每人購買 1 張，則前 3 個購買者中恰有 1 人中獎的概率為（ D ） A. B. C. D. 4. 對于事件 ，命題（ C ）是正確的 A. 如果 互不相容，則 互不相容 B. 如果 ，則 C. 如果 對立，則 對立 D. 如果 相容，則 相容某隨機試驗的成功率為 , 則在 3 次重復(fù)試驗中至少失敗 1 次的概率為（ D ） A. B. C. D. 6. 設(shè)隨機變量 ，且 ，則參數(shù) 與 分別是（ A ） A. 6, 0.8 B. 8, 0.6 C. 12, 0.4 D. 14, 0.27. 設(shè) 為連續(xù)型隨機變量 的密度函數(shù)，則對任意的 ， （ A ） A. B. C. D. 8. 在下列函數(shù)中可以作為分布密度函數(shù)的是（ B ） A. B. C. D. 9. 設(shè)連續(xù)型隨機變量 的密度函數(shù)為 ，分布函數(shù)為 ，則對任意的區(qū)間 ，則 （ D ） A. B. C. D. 10. 設(shè) 為隨機變量， ，當(dāng)（ C ）時，有 A. B. C. D. （二）填空題從數(shù)字 1,2,3,4,5 中任取 3 個，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個三位數(shù)是偶數(shù)的概率為 2. 已知 ，則當(dāng)事件 互不相容時， 0.8 ， 0.3 3. 為兩個事件，且 ，則 4. 已知 ，則 5. 若事件 相互獨立，且 ，則 6. 已知 ，則當(dāng)事件 相互獨立時， 0.65 ， 0.3 7. 設(shè)隨機變量 ，則 的分布函數(shù) 8. 若 ，則 6 9. 若 ，則 10. 稱為二維隨機變量 的 協(xié)方差 （三）解答題1. 設(shè) 為三個事件，試用 的運算分別表示下列事件： 中至少有一個發(fā)生； 中只有一個發(fā)生； 中至多有一個發(fā)生； 中至少有兩個發(fā)生； 中不多于兩個發(fā)生； 中只有 發(fā)生解 : (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2. 袋中有 3 個紅球， 2 個白球，現(xiàn)從中隨機抽取 2 個球，求下列事件的概率： 2 球恰好同色； 2 球中至少有 1 紅球解 : 設(shè) = “ 2 球恰好同色”， = “ 2 球中至少有 1 紅球” 3. 加工某種零件需要兩道工序，第一道工序的次品率是 2% ，如果第一道工序出次品則此零件為次品；如果第一道工序出正品，則由第二道工序加工，第二道工序的次品率是 3% ，求加工出來的零件是正品的概率解： 設(shè) “第 i 道工序出正品”（ i=1,2 ）4. 市場供應(yīng)的熱水瓶中，甲廠產(chǎn)品占 50% ，乙廠產(chǎn)品占 30% ，丙廠產(chǎn)品占 20% ，甲、乙、 丙廠產(chǎn)品的合格率分別為 90%,85%,80% ，求買到一個熱水瓶是合格品的概率解： 設(shè) 5. 某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止已知他每發(fā)命中的概率是 ，求所需設(shè)計次數(shù) 的概率分布解： 故 X 的概率分布是6. 設(shè)隨機變量 的概率分布為試求 解：7. 設(shè)隨機變量 具有概率密度試求 解： 8. 設(shè) ，求 解： 9. 設(shè) ，計算 ； 解：10. 設(shè) 是獨立同分布的隨機變量，已知 ，設(shè) ，求 解： 工程數(shù)學(xué)作業(yè)（第四次）第 6 章 統(tǒng)計推斷（一）單項選擇題 設(shè) 是來自正態(tài)總體 （ 均未知）的樣本，則（ A ）是統(tǒng)計量 A. B. C. D. 設(shè) 是來自正態(tài)總體 （ 均未知）的樣本，則統(tǒng)計量（ D ）不 是 的無偏估計 A. B. C. D. （二）填空題 1 統(tǒng)計量就是 不含未知參數(shù)的樣本函數(shù) 2 參數(shù)估計的兩種方法是 點估計 和 區(qū)間估計 常用的參數(shù)點估計有 矩估計法 和 最大似然估計 兩種方法 3 比較估計量好壞的兩個重要標(biāo)準(zhǔn)是 無偏性 ， 有效性 4 設(shè) 是來自正態(tài)總體 （ 已知）的樣本值，按給定的顯著性水平 檢驗 ，需選取統(tǒng)計量 5 假設(shè)檢驗中的顯著性水平 為 事件 （ u 為臨界值） 發(fā)生的概率 （三）解答題 1 設(shè)對總體 得到一個容量為 10 的樣本值4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0試分別計算樣本均值 和樣本方差 解： 2 設(shè)總體 的概率密度函數(shù)為試分別用矩估計法和最大似然估計法估計參數(shù) 解：提示教材第 214 頁例 3矩估計： 最大似然估計：， 3 測兩點之間的直線距離 5 次，測得距離的值為（單位： m ）：108.5 109.0 110.0 110.5 112.0測量值可以認(rèn)為是服從正態(tài)分布 的，求 與 的估計值并在 ； 未知的情況下，分別求 的置信度為 0.95 的置信區(qū)間解： （ 1 ）當(dāng) 時，由 1 0.95 ， 查表得： 故所求置信區(qū)間為： （ 2 ）當(dāng) 未知時，用 替代 ，查 t (4, 0.05 ) ，得 故所求置信區(qū)間為： 4 設(shè)某產(chǎn)品的性能指標(biāo)服從正態(tài)分布 ，從歷史資料已知 ，抽查 10 個樣品，求得均值為 17 ，取顯著性水平 ，問原假設(shè) 是否成立 解： ，由 ，查表得： 因為 > 1.96 ，所以拒絕 5 某零件長度服從正態(tài)分布，過去的均值為 20.0 ，現(xiàn)換了新材料，從產(chǎn)品中隨機抽取 8 個樣品，測得的長度為（單位： cm ）：20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5問用新材料做的零件平均長度是否起了變化（ ）解：由已知條件可求得： | T | < 2.62 接受 H 0