第3講　基本不等式 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1．(2014延安模擬)若a，b∈R，且ab＞0，則下列不等式中，恒成立的是 (　　)． A．a(chǎn)＋b≥2　 B.＋＞ C.＋≥2　 D．a(chǎn)2＋b2＞2ab 解析　因為ab＞0，即＞0，＞0，所以＋≥2＝2. 答案　C 2．(2014杭州一模)設(shè)a＞0，b＞0.若a＋b＝1，則＋的最小值是 (　　)． A．2　 B.　 C．4　 D．8 解析　由題意＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b＝時，取等號，所以最小值為4. 答案　C 3．(2013金華十校模擬)已知a＞0，b＞0，a，b的等比中項是1，且m＝b＋，n＝a＋，則m＋n的最小值是 (　　)． A．3　 B．4　 C．5　 D．6 1 / 8 解析　由題意知：ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a， ∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4. 答案　B 4．(2012陜西卷)小王從甲地到乙地的時速分別為a和b(a<b)，其全程的平均時速為v，則 (　　)． A．a(chǎn)<v<　 B．v＝ C.<v<　 D．v＝ 解析　設(shè)甲、乙兩地之間的距離為s. ∵a<b，∴v＝＝＝<＝. 又v－a＝－a＝>＝0，∴v>a. 答案　A 5．(2014南昌模擬)已知函數(shù)y＝x－4＋(x＞－1)，當(dāng)x＝a時，y取得最小值b，則a＋b＝ (　　)． A．－3　 B．2　 C．3　 D．8 解析　y＝x－4＋＝x＋1＋－5，由x＞－1，得x＋1＞0，＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋－5≥2－5＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2時取等號，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3. 答案　C 二、填空題 6．(2014廣州模擬)若正實數(shù)a，b滿足ab＝2，則(1＋2a)(1＋b)的最小值為________． 解析　(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋2＝9.當(dāng)且僅當(dāng)2a＝b，即a＝1， b＝2時取等號． 答案　9 7．已知x，y∈R＋，且滿足＋＝1，則xy的最大值為______． 解析　∵x＞0，y＞0且1＝＋≥2，∴xy≤3.當(dāng)且僅當(dāng)＝，即當(dāng)x＝，y＝2時取等號． 答案　3 8．函數(shù)y＝a1－x(a＞0，a≠1)的圖像恒過定點A，若點A在直線mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，則＋的最小值為________． 解析　∵y＝a1－x恒過點A(1,1)， 又∵A在直線上， ∴m＋n＝1. 而＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝時，取“＝”， ∴＋的最小值為4. 答案　4 三、解答題 9．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求證：＋＋≥8. 證明?。剑?， ∵a＋b＝1，a＞0，b＞0， ∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4， ∴＋＋≥8. 10．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20. (1)求u＝lg x＋lg y的最大值； (2)求＋的最小值． 解　(1)∵x>0，y>0， ∴由基本不等式，得2x＋5y≥2. ∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝5y時，等號成立．因此有解得 此時xy有最大值10. ∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1. ∴當(dāng)x＝5，y＝2時，u＝lg x＋lg y有最大值1. (2)∵x>0，y>0，∴＋＝＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝時，等號成立． 由解得 ∴＋的最小值為. 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、選擇題 1．(2014寶雞模擬)已知正實數(shù)a，b滿足a＋2b＝1，則a2＋4b2＋的最小值為 (　　)． A.　 B．4　　 C.　 D. 解析　因為1＝a＋2b≥2，所以ab≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝時取等號．又因為a2＋4b2＋≥2＋＝4ab＋.令t＝ab，所以f(t)＝4t＋在單調(diào)遞減，所以f(t)min＝f＝.此時a＝2b＝. 答案　D 2．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是 (　　)． A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)　 B．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C．(－2,4)　 D．(－4,2) 解析　∵x>0，y>0且＋＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋ ≥4＋2 ＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)＝， 即x＝4，y＝2時取等號， ∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立， 只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立， 即8>m2＋2m，解得－4<m<2. 答案　D 二、填空題 3．(2014南昌模擬)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________． 解析　由已知，得xy＝9－(x＋3y)，即3xy＝27－3(x＋3y)≤2，令x＋3y＝t，則t2＋12t－108≥0，解得t≥6，即x＋3y≥6. 答案　6 三、解答題 4．(2013泰安期末考試)小王于年初用50萬元購買一輛大貨車，第一年因繳納各種費用需支出6萬元，從第二年起，每年都比上一年增加支出2萬元，假定該車每年的運輸收入均為25萬元．小王在該車運輸累計收入超過總支出后，考慮將大貨車作為二手車出售，若該車在第x年年底出售，其銷售價格為(25－x)萬元(國家規(guī)定大貨車的報廢年限為10年)． (1)大貨車運輸?shù)降趲啄昴甑?，該車運輸累計收入超過總支出？ (2)在第幾年年底將大貨車出售，能使小王獲得的年平均利潤最大？(利潤＝累計收入＋銷售收入－總支出) 解　(1)設(shè)大貨車到第x年年底的運輸累計收入與總支出的差為y萬元， 則y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50(0＜x≤10，x∈N)， 即y＝－x2＋20x－50(0＜x≤10，x∈N)， 由－x2＋20x－50＞0，解得10－5＜x＜10＋5. 而2＜10－5＜3，故從第3年開始運輸累計收入超過總支出． (2)因為利潤＝累計收入＋銷售收入－總支出，所以銷售二手貨車后，小王的年平均利潤為 ＝[y＋(25－x)]＝(－x2＋19x－25)＝19－，而19－≤19－2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時等號成立，即小王應(yīng)當(dāng)在第5年將大貨車出售，才能使年平均利潤最大． 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！