第四節(jié)　參數(shù)方程 知識梳理 一、參數(shù)方程的定義 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù) (*) 并且對于t的每一個允許值，由方程組(*)所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么方程(*)就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)． 相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的橫、縱坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程． 二、圓的參數(shù)方程 圓(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)) 特別地，圓心在原點，半徑為r的圓x2＋y2＝r2的參數(shù)方程是 (θ為參數(shù)) 其中參數(shù)θ的幾何意義是OM0繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時，OM0轉(zhuǎn)過的角度． 三、橢圓的參數(shù)方程 中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓＋＝1(a>b>0)的參數(shù)方程是 (φ為參數(shù)) 其中參數(shù)φ的范圍為φ∈[0,2π)． 四、雙曲線的參數(shù)方程 中心在原點O，焦點在x軸上的雙曲線－＝1的參數(shù)方程是 (φ為參數(shù)) 其中參數(shù)φ的范圍為φ∈[0,2π)，且φ≠，φ≠注意：sec φ＝. 基礎(chǔ)自測 1．若直線(t為實數(shù))與直線4x＋ky＝1垂直，則常數(shù)k＝________. 解析：參數(shù)方程所表示的直線方程為3x＋2y－7＝0，由此直線與直線4x＋ky＝1垂直可得＝－1，解得k＝－6. 答案：－6 2．參數(shù)方程 (α是參數(shù))表示的曲線的普通方程是________________． 答案：y＝－＋3(|x|≤2) 3．(2013廣東卷)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ.以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線C的參數(shù)方程為____________________． 解析：本題考了備考弱點．講參數(shù)方程的時候，參數(shù)的意義要理解清楚．先化成直角坐標(biāo)方程(x－1)2＋y2＝1，易得曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)) 答案： (θ為參數(shù)) 1 / 4 4. (2013陜西寶雞三模)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝6sin θ，以極點為原點，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則直線l被曲線C截得的線段長度為________． 解析：曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－6y＝0，該曲線是圓，圓心為(0,3)，半徑為3；直線l的普通方程為x－y＋1＝0，圓心到直線的距離為d＝＝1，所以，直線l被曲線C截得的線段長度為2＝4. 答案：4 五、拋物線的參數(shù)方程 開口向右，焦點在x軸上的拋物線y2＝2px(p>0)的參數(shù)方程是 (t為參數(shù)) 其中參數(shù)t表示拋物線上除頂點外的任意一點與原點連線的斜率的倒數(shù)，其范圍為t∈(－∞，＋∞)． 六、直線的參數(shù)方程 1．標(biāo)準(zhǔn)式． 經(jīng)過點M0(x0，y0)，傾斜角為θ的直線的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)) 其中，t是直線上的定點M0(x0，y0)到動點M(x，y)的有向線段的數(shù)量，即|M0M|＝|t|，當(dāng)點(x，y)在點(x0，y0)的上方時，t＞0；當(dāng)點(x，y)在點(x0，y0)的下方時，t<0，當(dāng)點(x，y)與點(x0，y0)重合時，t＝0.以上反之亦然． 于是參數(shù)t的絕對值等于直線上的動點M到定點M0的距離． 由于直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中t具有這樣的幾何意義，所以在解決直線與二次曲線相交的弦長和弦的中點問題時，用參數(shù)方程來解決，方便了很多． 2．點斜式． (t為參數(shù)) 其中，(x0，y0)表示該直線上的一點，表示直線的斜率． 當(dāng)a，b分別表示點M(x，y)在x方向與y方向的分速度時，t就具有物理意義——時間，相應(yīng)的at，bt則表示點M(x，y)在x方向，y方向上相對(x0，y0)的位移． 七、漸開線與擺線的參數(shù)方程(了解) 1．漸開線的參數(shù)方程． (φ為參數(shù)) 其中r為基圓的半徑，φ為過切點的半徑與x軸正方向所成的角． 2．?dāng)[線的參數(shù)方程． (φ為參數(shù)) 其中r為圓的半徑，φ為定點作圓周運動時所轉(zhuǎn)過的角． 八、參數(shù)方程和普通方程的互化 1．由參數(shù)方程化為普通方程(重點)——消去參數(shù)．消參數(shù)常用的方法有代入法、加減(或乘除)消元法、三角代換法等．消參時應(yīng)特別注意參數(shù)的取值范圍對x，y的限制． 由參數(shù)方程化為普通方程一般是唯一的． 2．由普通方程化為參數(shù)方程(難點)——選參數(shù)，參數(shù)選法多種多樣，所以由普通方程化為參數(shù)方程是不唯一的． 1．(2013湖南卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l1：(s為參數(shù))和直線l2：(t為參數(shù))平行，則常數(shù)a的值為______________． 解析： 將兩直線方程化為普通方程分別為l1：x＝2y＋1，l2：ay＝2x－a，當(dāng)l1∥l2時，它們的斜率相等，可得a＝4. 答案： 4 2．(2013江西卷)設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為________． 解析：由得曲線C的普通方程為y＝x2，利用互化公式將y＝x2化為極坐標(biāo)方程為sin θ＝ρcos2θ. 答案：sin θ＝ρcos2θ 1．(2013華南師大附中三模)以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度．已知圓C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cos θ，則它的圓心到直線l：(t為參數(shù))的距離等于__________． 解析：圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4x＝0，圓心為C(2,0)，直線l的普通方程為x＋y－1＝0，所以圓心到該直線等距離為d＝＝. 答案： 2．(2013湖南十二校二模)設(shè)極點與坐標(biāo)原點重合，極軸與x軸正半軸重合，已知直線l的極坐標(biāo)方程是：ρsin＝a，a∈R，圓C的參數(shù)方程是(θ為參數(shù))，若圓C關(guān)于直線l對稱，則a＝__________. 解析：直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋2a＝0，圓C的圓心為(2，2)，因為圓C關(guān)于直線l對稱，所以，圓心(2，2)在直線l上，得(2)－2＋2a＝0，解得a＝－2. 答案：－2 3．已知曲線C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，則過曲線C上橫坐標(biāo)為1的點的切線方程為____________． 解析：曲線C的普通方程為y＝x2＋1，則切點坐標(biāo)為，由y′＝x得切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝1＝，故所求的切線方程為4x－9y＋7＝0. 答案：4x－9y＋7＝0 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！