專題46 整體代換誘導(dǎo)公式法求三角函數(shù)值一、單選題 1已知，且，則（ ）ABCD【答案】D【分析】由已知求得，再由誘導(dǎo)公式可求得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，且，所以，所以，又，故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于三角函數(shù)給值求值型問題，關(guān)鍵在于得出所求的角與已知角之間的特殊關(guān)系，求解時(shí)，注意盡可能縮小角的范圍，以便確定三角函數(shù)的值的符號(hào).2計(jì)算（ ）ABCD【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.【詳解】利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，故選：B.3已知，則（ ）ABCD【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式將題干條件化簡(jiǎn)，即可得答案.【詳解】由題意得：故選：B.4若，則（ ）ABCD【答案】A【分析】將轉(zhuǎn)化成，在用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，代入求值即可.【詳解】由得.故選：A5若，則（ ）ABCD【答案】A【分析】利用，結(jié)合二倍角公式可求得結(jié)果.【詳解】由得：.故選：A.6已知，則（ ）ABCD【答案】C【分析】利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系和二倍角公式可求得，利用誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果.【詳解】由得：，.故選：.7已知，則（ ）ABCD【答案】B【分析】設(shè)，則，然后利用誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】設(shè)，則，故故選：B8已知，則（ ）ABCD【答案】B【分析】依題意原式為，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋怨蔬x：B9設(shè)，.若對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)的對(duì)數(shù)為（ ）A1B2C9D12【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)恒成立，則對(duì)應(yīng)的圖象完全相同求得a、b即可【詳解】對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有，則函數(shù)的周期相同，若，此時(shí)，此時(shí)，若，則方程 ，則，則，綜上滿足條件的有序?qū)崝?shù)組為，共有2組.故選：B10已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若存在，滿足，則（ ）ABCD【答案】C【分析】利用圖象求得函數(shù)的解析式為，由結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性得出，且有，將代入結(jié)合誘導(dǎo)公式可求得的值.【詳解】由圖象知函數(shù)的最小正周期為，又，且，所以，當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖?，滿足，即，則，可得，且，則.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)三角函數(shù)的部分圖象求函數(shù)解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而得出；（3）取特殊點(diǎn)代入函數(shù)可求得的值.11已知，則（ ）AB-2 CD【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得，再根據(jù)已知代入求解即可.【詳解】解：由誘導(dǎo)公式得：，因?yàn)椋?故選：B.12若，則（ ）ABCD【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式可求得的值.【詳解】.故選：C.13已知，則的值等于（ ）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得，再利用誘導(dǎo)公式對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】解：由題可知，由于，所以.故選：C.14（ ）ABCD【答案】B【分析】直接利用誘導(dǎo)公式得答案.【詳解】依題意.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.15已知，則（ ）ABCD【答案】B【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式可求出的值，結(jié)合角的范圍，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，進(jìn)而根據(jù)誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可計(jì)算求解.【詳解】由題意，所以，則，因?yàn)?，所以，即，所?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16式子的值為（ ）ABCD2【答案】B【分析】由正余弦的倍角公式、誘導(dǎo)公式即可化簡(jiǎn)求值.【詳解】由，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了利用三角恒等變換化簡(jiǎn)求值，屬于簡(jiǎn)單題.17已知，則（ ）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式計(jì)算得到，故，解得答案.【詳解】解：由誘導(dǎo)公式可知，又得：，所以，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，是中檔題.18如果，且，那么（ ）ABCD【答案】C【分析】利用先求得的值，由此求得的值.【詳解】依題意，由于，所以，所以，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.19已知cos =，則=（ ）ABCD【答案】A【分析】直接利用誘導(dǎo)公式求解即可【詳解】解：因?yàn)閏os =，所以，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題20已知是第二象限角，且，則（ ）ABCD【答案】D【分析】求出的范圍，進(jìn)而可求出的值，再利用誘導(dǎo)公式可求出和，結(jié)合，可求出答案.【詳解】因?yàn)槭堑诙笙藿牵?，則，因?yàn)?，所以，則，則，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.二、多選題21下列關(guān)于函數(shù)的圖像或性質(zhì)的說法中，正確的為（ ）A函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱B將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位所得圖像的函數(shù)為C函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D若，則【答案】AD【分析】令得到對(duì)稱軸，即可判斷A；根據(jù)平移變換知識(shí)可判斷B；求出其單調(diào)增區(qū)間即可判斷C；利用配角法即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，令 ，解得，當(dāng)時(shí)，得，故A正確；對(duì)于B，將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，故D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)：(1) .(2)周期(3)由 求對(duì)稱軸(4)由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.22函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）ABCD【答案】BD【分析】根據(jù)最小值求得，根據(jù)周期求得，根據(jù)點(diǎn)求得，由此求得的解析式，結(jié)合誘導(dǎo)公式確定正確選項(xiàng).【詳解】由圖象可得，解得，所以，所以，又的圖象過點(diǎn)，則，解得，又，所以，即.故選BD【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象求三角函數(shù)解析式，考查誘導(dǎo)公式，屬于中檔題.第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明三、雙空題23（1）一個(gè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)是半徑的倍，則扇形的面積等于_（2）（a，b為常數(shù)，），若，則_【答案】 【分析】（1）首先利用扇形的弧長(zhǎng)公式求出扇形的圓心角，再利用扇形的面積公式即可求解.（2）利用誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】（1）根據(jù)題意可知，弧長(zhǎng)，設(shè)扇形的圓心角為，所以，解得，所以扇形的面積；（2）由，所以，所以所以 .故答案為：；24已知函數(shù)，若方程的解為，則_，_【答案】 【分析】由已知求出的范圍，根據(jù)方程的解的對(duì)稱性可求得；再利用表示，即可表示為，再根據(jù)已知條件結(jié)合三角函數(shù)求值即可得到答案.【詳解】，又方程的解為，解得， 由，可得，又，可得，.故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了三角函數(shù)的對(duì)稱性，及利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)并求值，解題的關(guān)鍵是要注意到是的兩個(gè)根，由三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性得到兩個(gè)根的對(duì)稱性，從而得解，考查了學(xué)生的分析解題能力與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.25已知，則_，_【答案】 【分析】利用誘導(dǎo)公式可求得的值，利用誘導(dǎo)公式結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得的值.【詳解】，則，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.四、填空題26若，且，則_.【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行整體代換，并利用同角三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求值.【詳解】由誘導(dǎo)公式得，又，故答案為：.27已知，則_.【答案】【分析】由，再結(jié)合誘導(dǎo)公式可得結(jié)果.【詳解】【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，常用拼湊角,，常見的互余關(guān)系有：與，與，與等；常見的互補(bǔ)關(guān)系有： 與，與等；28設(shè)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則滿足條件的的所有取值的和為_【答案】【分析】結(jié)合進(jìn)行分類討論，由此求得的所有可能取值，進(jìn)而求得滿足條件的的所有取值的和.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)都有，所以當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于，則兩函數(shù)的周期相同，即當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)綜上，的所有取值為，和為故答案為：29關(guān)于函數(shù)有如下命題，其中正確的有_的表達(dá)式可改寫為是以為最小正周期的周期函數(shù)；的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式變形，判斷選項(xiàng)；利用周期公式，判斷選項(xiàng)；代入函數(shù)判斷是否為0，判斷選項(xiàng)；代入選項(xiàng)，是否取得最值，判斷選項(xiàng).【詳解】，故正確；的最小正周期，故不正確；當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)值為0，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故正確；當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)值是0，不是函數(shù)的對(duì)稱軸，故不正確. 故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查的解析式和性質(zhì)的判斷，可以整體代入驗(yàn)證的方法判斷函數(shù)性質(zhì)：（1）對(duì)于函數(shù)，其對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn)，因此判斷直線或點(diǎn)是否是函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心時(shí)，可通過驗(yàn)證的值進(jìn)行判斷；（2）判斷某區(qū)間是否是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，也可以求的范圍，驗(yàn)證次區(qū)間是否是函數(shù)的增或減區(qū)間.30已知，則_【答案】【分析】由，利用誘導(dǎo)公式、二倍角余弦可得即可求值.【詳解】由題意知：，而，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先由整體代換法得到的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式得到含有已知三角函數(shù)值的函數(shù)式求值.31_【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值【詳解】解：，故答案為： 32已知，則_.【答案】【分析】根據(jù)與的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解出的值.【詳解】設(shè)，則，故.故答案為：.33若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則的值為_.【答案】【分析】由已知可得，解得，代入，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.【詳解】由點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，得，解得所以故答案為：34在平面直角坐標(biāo)系中，角和角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱.若，則_.【答案】【分析】由題意可得，由此能求出結(jié)果.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.35已知，則的值為_.【答案】【分析】先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，得，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，從而可得結(jié)果【詳解】解：由，得，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題36化簡(jiǎn)_.【答案】-1【分析】直接由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】.故答案為：-1【點(diǎn)睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，屬于基礎(chǔ)題.37若，且，則_.【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式可得，從而根據(jù)誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可.【詳解】，且，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.38若，則_【答案】【分析】由，可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.39已知，則_.【答案】【分析】由已知函數(shù)值，根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求的值.【詳解】，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了利用誘導(dǎo)公式求函數(shù)值，利用已知函數(shù)值，應(yīng)用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化成含有目標(biāo)函數(shù)中代數(shù)式形式的函數(shù)求函數(shù)值；40已知，則_.【答案】【分析】先由二倍角公式求出，再由誘導(dǎo)公式知，代入計(jì)算即可得答案.【詳解】因?yàn)?所以,所以,故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角公式，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.41若，則_.【答案】【分析】利用結(jié)合余弦的誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值，屬于簡(jiǎn)單題，整體代入是關(guān)鍵.五、解答題42已知，且，求的值.【答案】.【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得的值，再結(jié)合誘導(dǎo)公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】，又，.,.43如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為單位圓上一點(diǎn)，射線OA繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后交單位圓于點(diǎn)B，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)y關(guān)于的函數(shù)為.（1）求函數(shù)的解析式，并求；（2）若，求的值.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由三角函數(shù)的定義得到，進(jìn)而代入計(jì)算；（2）由已知得，將所求利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化即得.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，由三角函?shù)定義，得.所以.（2）因?yàn)?，所以，所?【點(diǎn)睛】本題考査三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)性質(zhì)，誘導(dǎo)公式.考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力.考查轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.已知求時(shí)要將已知中的角作為整體不分離，觀察所求中的角與已知中的角的關(guān)系，利用誘導(dǎo)公式直接轉(zhuǎn)化是化簡(jiǎn)求值的常見類型.44已知（1）化簡(jiǎn)；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式，將原式直接化簡(jiǎn)整理即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，由誘導(dǎo)公式，以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）；（2）因?yàn)?，由?）得，所以.45（1）已知角的終邊上有一點(diǎn)，求的值.（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意先確定角的三角函數(shù)值，然后利用誘導(dǎo)公式將原式化簡(jiǎn)，然后求值；（2）將化為，根據(jù)題目條件可求得，再利用可求得，然后求解的值.【詳解】解：（1）原式因?yàn)橹堑慕K邊上有一點(diǎn)，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義可知：，故原式. （2）由，可得，又.【點(diǎn)睛】本題考查任意角三角函數(shù)的概念及誘導(dǎo)公式，考查兩角和與差的正余弦公式，難度一般.46已知，（1）化簡(jiǎn)；（2）若，且，求的值；（3）證明：，并求滿足的的取值集合.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析；.【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系可求得結(jié)果；（3）利用向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)運(yùn)算，可證得兩角差的余弦公式，代換角可得兩角和的正弦公式，令可證得結(jié)論；結(jié)合可將不等式化為，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】（1）；（2），當(dāng)時(shí)，；（3）證明：設(shè)為單位圓上兩點(diǎn)，則，將換為，則，令，則；由得：，即，解得：，即滿足的的取值集合為【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)部分知識(shí)的綜合應(yīng)用問題，涉及到利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)、利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系求值、二倍角正弦公式的證明、利用正弦型函數(shù)的值域求解定義域的問題；本題綜合性較強(qiáng)，對(duì)于學(xué)生的運(yùn)算求解能力有較高要求.47已知角為第一象限角，且（1）求的值；（2）求的值【答案】(1);(2)7【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系，即可得答案；（2）利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)得到關(guān)于，的式子，再轉(zhuǎn)化成關(guān)于的式子，即可得答案；【詳解】（1）角為第一象限角，且，.（2）原式.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力.48已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn).（1）求，；（2）求的值.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）先求出，再由三角函數(shù)定義可得，；（2）由（1）可知，再結(jié)合誘導(dǎo)公式求得.【詳解】解：（1）由題意可得：，由角的終邊上的點(diǎn)的性質(zhì)可得，；（2）由（1）可知，再結(jié)合誘導(dǎo)公式得：，所以【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)角的終邊上的點(diǎn)求三角函數(shù)值、根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，是基礎(chǔ)題.