專題02 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件【考點剖析】1.命題方向預(yù)測：（1）四種命題的概念及其相互關(guān)系、四種命題真假的判斷、充分要條件的判定及其應(yīng)用是高考的熱點.(2)題型主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)（3）本節(jié)知識常與集合、函數(shù)、不等式、數(shù)列、立體幾何中的直線、平面間的位置關(guān)系、復(fù)數(shù)、平面解析幾何等知識結(jié)合，復(fù)習(xí)中在理解命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件等基礎(chǔ)知識的同時，重在掌握其它相關(guān)數(shù)學(xué)知識.2.課本結(jié)論總結(jié)：（1）命題的概念在數(shù)學(xué)中用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判定真假的陳述句叫做命題.其中，判定為真的命題叫真命題，判定為假的命題叫假命題.（2）四種命題及其關(guān)系四種命題及其關(guān)系四種命題的真假關(guān)系逆命題與否命題互為逆否命題；互為逆否命題的兩個命題同真假，互逆或互否的兩個命題，它們的真假沒有關(guān)系.(3)充分條件與必要條件若，則是充分條件，是的必要條件.若，且，則是充要條件3.名師二級結(jié)論：(1) 常見結(jié)論的否定形式結(jié)論是都是大于小于至少一個至多一個至少個至多有個對所有，成立或且對任何，不成立否定不是不都是不大于不小于一個也沒有至少兩個至多有（）個至少有（）個存在某，不成立且或存在某，成立(2)充要條件判定方法 定義法：若，則是充分條件；若，則是必要條件；若，且，則是充要條件.集合法：若滿足條件的集合為A，滿足條件的集合為B，若AB，則是的充分不必要條件；若BA，則是必要不充分條件；若A=B則，是 充要條件。對充要條件判定問題，一定要分清誰是條件，誰是結(jié)論，若條件、結(jié)論滿足的條件易求，常用集合法.利用原命題與逆命題的真假判斷若原命題為“若則”，則有如下結(jié)論：（1）若原命題為真逆命題為假，則是的充分不必要條件；（2）若原命題為假逆命題為真，則是的必要不充分條件；（3）若原命題與逆命題都為真，則是的充要條件；（4）若原命題與逆命題都為假，則是的既不充分也不必要條件4.考點交匯展示： (1)與集合交匯例1設(shè)，是兩個集合，則“”是“”的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C.【解析】由題意得，反之，故為充要條件，選C.(2)與不等式交匯例2【2018年理數(shù)天津卷】設(shè)，則“”是“”的A. 充分而不必要條件 B. 必要而不重復(fù)條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】絕對值不等式 ，由 .據(jù)此可知是的充分而不必要條件.本題選擇A選項.（3）與函數(shù)交匯例3【2017天津，理4】設(shè)，則“”是“”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】 （4）與平面向量結(jié)合 例4【2018年理北京卷】設(shè)a，b均為單位向量，則“”是“ab”的A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】，因為a，b均為單位向量，所以 ab，即“”是“ab”的充分必要條件.選C.（5）與復(fù)數(shù)交匯例5已知是虛數(shù)單位，則“”是“”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A.【解析】(a+bi)2a2b22abi2i，于是a2b20，2ab2解得ab1或ab1 ,故選A.（6）與立體幾何交匯例6【2018年浙江卷】已知平面，直線m，n滿足m，n，則“mn”是“m”的A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】 (7)與數(shù)列交匯例7【2016高考天津卷】設(shè)an是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q<0”是“對任意的正整數(shù)n，a2n1+a2n<0”的（ ）（A）充要條件 （B）充分而不必要條件（C）必要而不充分條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由題意得，故是必要不充分條件，故選C.(8)與平面解析幾何交匯例8【2018屆北京市人大附中5月三?！吭O(shè),則“”是直線“與直線垂直”的A 充要條件 B 充分而不必要條件C 必要而不充分條件 D 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，則兩條直線分別為、，兩直線斜率的乘積為，故兩條直線相互垂直；若兩條直線相互垂直，則，故或，故“”是兩條直線相互垂直的充分不必要條件，選B.【考點分類】考向一 命題及其關(guān)系1.【河北省衡水中學(xué)2018屆第十六次模擬理】下列有關(guān)命題的說法正確的是（ ）A. 命題“若，則”的否命題為“若，則”B. 命題“若，則，互為相反數(shù)”的逆命題是真命題C. 命題“，使得”的否定是“，都有”D. 命題“若，則”的逆否命題為真命題【答案】B2.【2017北京卷】能夠說明“設(shè)a，b，c是任意實數(shù)若abc，則a+bc”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為_【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）【方法規(guī)律】1.判斷一個命題的真假有兩種方法，法一：直接法，用直接法判定命題為真命題，需要嚴(yán)格的推理、考慮各種情況由命題條件推出結(jié)論正確，要判定一個命題為假命題，只要舉出一個反例就行；法二：等價值法，若不易直接判斷它的真假，利用原命題與其逆否命題同真假轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假。2.正確的命題要有充分的依據(jù)，不一定正確的命題要舉出反例，這是最基本的數(shù)學(xué)思維方式，也是兩種不同的解題方向，有時舉出反例可能比進(jìn)行推理論證更困難，二者同樣重要3. 在書寫命題的四種形式時，首先要將命題轉(zhuǎn)化成“若p，則q”的形式，然后嚴(yán)格按定義書寫，注意正確應(yīng)用常見詞語的否定.4.在判斷四種形式的命題真假時，先判斷原命題的真假，再判斷逆命題的真假，然后根據(jù)等價關(guān)系確定否命題和逆否命題的真假【解題技巧】1.當(dāng)一個命題有大前提而要寫出其他三個命題時，必須保留大前提且不作改換2.在判斷命題的真假時，如果不易直接判斷它的真假，可以轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假3.在書寫否命題題與您否命題時，要特別注意條件的否定和結(jié)論的否定即為條件的反面和結(jié)論的反面.【易錯點睛】1.區(qū)分否命題與命題：否命題是將原命題的條件否定作為條件，將原命題的結(jié)論否定作為結(jié)論構(gòu)造的一個新的命題；命題的否定只是否定命題的結(jié)論，常用于反證法2.特別要注意含有邏輯連結(jié)詞的否定形式.例 寫出命題“若，則，全為0”的否命題.【錯解】若，則，全不為0.【預(yù)防措施】要正確區(qū)分命題的否定與否命題：寫一個命題的否命題，既要否定條件又要否定結(jié)論，只否定結(jié)論，得到的命題是命題的否定；對條件和結(jié)論的否定要正確，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，條件和結(jié)論的否定就是分別找條件和結(jié)論的對立面，抓住這一點就可以避免類似的錯誤.【正解】若，則，不全為0. 熱點二 充分條件與必要條件1.“”是“”的（ ）A、充要條件 B、充分不必要條件C、必要不充分條件 D、既不充分也不必要條件【答案】B【解析】，因此選B.2.【2018屆浙江省諸暨市5月適應(yīng)性考試】已知圓與直線，則“”是“直線與圓相切”的（ ）A 充分而不必要條件 B 必要而不充分條件C 充要條件 D 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由圓心到直線的距離 若直線與圓相切，則 ，即 ，則 ，則“”是“直線與圓相切“的充分而不必要條件，故選：A3.【四川省成都市2018屆模擬】設(shè)，則是的（ ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A的充分不必要條件，故選A.4.設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則是為遞增數(shù)列的（ ）充分且不必要條件 必要且不充分條件 充分必要條件 既不充分也不必要條件【答案】D.【方法規(guī)律】1.在進(jìn)行充分條件、必要條件的判斷時，首先要明確哪個論斷是條件，哪個論斷是結(jié)論，再從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q，二是由條件q能否推得條件p，結(jié)合定義即可做出判斷.2.充分條件、必要條件的三種判斷方法，要注意靈活應(yīng)用.利用集合法進(jìn)行判斷時，借助數(shù)軸能直觀顯示兩個集合的關(guān)系，從而命題易于求解對于條件或結(jié)論是否定形式的充分條件、必要條件的判斷，要善于利用等價命題進(jìn)行判斷【解題技巧】1.在進(jìn)行充要條件判斷時，在明確條件、結(jié)論的基礎(chǔ)上，將條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕喖昂侠淼谋硎緱l件間的推出關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵2.在利用集合法進(jìn)行充要條件判斷時，常借助數(shù)軸直觀顯示兩個集合的關(guān)系，從而使問題易于求解.3.在利用命題法判定充要條件時，對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復(fù)雜問題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題【易錯點睛】在判斷充要條件時，因條件與結(jié)論分不清或因考慮不全面導(dǎo)致致錯誤.例 已知：“向量與向量的夾角為鈍角”是：“0”的 條件.【錯解】若向量與向量的夾角為鈍角，則0，即0，故是的充要條件.【錯因分析】判斷條件與結(jié)論之間的關(guān)系時要從兩個方向判斷，而上面之判定了一個方向就下結(jié)論，忽視了對“0”成立時能否導(dǎo)出“向量與向量的夾角為鈍角”的判斷.【防范措施】判斷充要條件時要注意兩點：首項要分清哪個是條件，哪個是條件；其次要從兩個方向進(jìn)行判斷，即條件能否導(dǎo)出結(jié)論與結(jié)論能否導(dǎo)出條件.【正解】若向量與向量的夾角為鈍角，則0，即0，即；當(dāng)0，即0，因為，所以，故向量與向量的夾角為鈍角或平角，即，故是的充分不必要條件.【熱點預(yù)測】1【2018屆江西省南昌市二輪測試卷（八）】在實數(shù)范圍內(nèi)，使得不等式成立的一個充分而不必要的條件是A B C D 【答案】D 2.【2018屆浙江省溫州市9月】已知，則“”是“”的（ ）A. 充要條件 B. 充分不必要條件 C. 必要不充分條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】D【解析】因為當(dāng)時，不成立；當(dāng)時，不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故選D.3.【2018屆山東省肥城市適應(yīng)性訓(xùn)練】已知向量，則“”是“”的（ ）A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為，所以因此“”是“”的充分不必要條件，選A. 4【2018屆廣東省汕頭市潮南區(qū)5月沖刺】已知直線與圓相交于兩點（為坐標(biāo)原點），則“”是“”的( )A 充分不必要條件 B 必要不充分條件C 充要條件 D 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】 5【2018屆廣西柳州高級中學(xué)5月模擬】已知向量，則是的（ ）A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為，所以因為 ，所以是的充分必要條件.故答案為：A.6【2018屆浙江省余姚中學(xué)模擬（二）】 “”是“直線與互相平行”的（ ）A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】7.【2018屆浙江省杭州市第二中學(xué)6月熱身】已知數(shù)列是等比數(shù)列，其公比為，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列“的”（ ）A 充分不必要條件 B 必要不充分條件C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件【答案】D【解析】取，則，但為減數(shù)列；取，則，為增數(shù)列，但，故“”是“等比數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的既不充分又不必要條件，故選D8.【2018屆安徽省六安市第一中學(xué)適應(yīng)性考試】已知函數(shù)，則在上不單調(diào)的一個充分不必要條件是（ ）A B C D 【答案】C【解析】，若在上不單調(diào)，令，則函數(shù)與x軸在有交點，設(shè)其解為，則，因此方程的兩解不可能都大于1，其在中只有一解，其充要條件是，解得或，因此選項C是滿足要求的一個充分必要條件.故選：C.9.“實數(shù)”是“復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的模為”的（ ）A充分非必要條件 B必要非充分條件C充要條件 D既非充分條件又不必要條件【答案】 10【2018屆湖北省武漢市四月調(diào)研】在中，角、的對應(yīng)邊分別為，條件：，條件：，那么條件是條件成立的（ ）A 充分而不必要條件 B 必要而不充分條件C 充要條件 D 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由條件p：a，則cosA=，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=a時取等號又A（0，），由條件q：A，B，C（0，），A取，C=，B=滿足上述條件，但是a條件p是條件q成立的充分不必要條件故選：A11.“”是“直線和直線互相垂直”的 （ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C12.【2018屆浙江省臺州市高三上期末】已知，則“”是“”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為,但; 所以“”是“”的必要不充分條件,選B.13.【2018屆浙江省嘉興市4月模擬】已知：不等式的解集為，：，則是的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】:不等式的解集為，由一元二次不等式的性質(zhì)可得，又為的真子集，所以是的充分不必要條件，故選A.14已知條件，條件，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375