【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 理一輪復(fù)習(xí)配套文檔:第5章 第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和
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【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 理一輪復(fù)習(xí)配套文檔:第5章 第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和
第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項和【考綱下載】1理解等比數(shù)列的概念2掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式3能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題4了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系1等比數(shù)列的相關(guān)概念(1)定義:一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列(2)公比:指定義中的“同一常數(shù)”,通常用字母q(q0)表示(3)定義的符號表示:q(q是常數(shù)且q0,nN*),或q(n2,nN*,q為常數(shù)且q0)2等比數(shù)列的通項公式及其推廣(1)等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列an的首項為a1,公比為q,q0,則它的通項公式ana1qn1.(2)通項公式的推廣anamqnm.3等比中項如果三個數(shù)a,G,b成等比數(shù)列,則G叫做a和b的等比中項,那么,即G2ab.4等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列an的首項為a1,公比為q(q0),其前n項和為Sn,當(dāng)q1時,Snna1;當(dāng)q1時,Sn.5等比數(shù)列的性質(zhì)(1)對任意的正整數(shù)m,n,p,q,若mnpq,則amanapaq.特別地,若mn2p,則amana.(2)若等比數(shù)列前n項和為Sn,則Sm,S2mSm,S3mS2m仍成等比數(shù)列,即(S2mSm)2Sm(S3mS2m)(mN*,公比q1)(3)數(shù)列an是等比數(shù)列,則數(shù)列pan(p0,p是常數(shù))也是等比數(shù)列(4)在等比數(shù)列an中,等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列,即an,ank,an2k,an3k,為等比數(shù)列,公比為qk.1b2ac是a,b,c成等比數(shù)列的充要條件嗎?提示:不是b2ac是a,b,c成等比數(shù)列的必要不充分條件,因為當(dāng)b0,a,c至少有一個為零時,b2ac成立,但a,b,c不成等比數(shù)列;若a,b,c成等比數(shù)列,則必有b2ac.2若a0,則數(shù)列a,a2,a3,an,的前n項和為Sn嗎?提示:不一定當(dāng)a1時,Snna1n;當(dāng)a1時,Sn.1(20xx江西高考)等比數(shù)列x,3x3,6x6,的第四項等于()A24 B0 C12 D24解析:選A由x,3x3,6x6成等比數(shù)列,知(3x3)2x(6x6),解得x3或x1(舍去)所以此等比數(shù)列的前三項為3,6,12.故第四項為24.2已知an是等比數(shù)列,a22,a5,則公比q等于()A B2 C2 D.解析:選Da22,a5,q3,q.3在等比數(shù)列an中,已知a7a125,則a8a9a10a11()A10 B25 C50 D75解析:選Ba7a125,a8a9a10a11(a8a11)(a9a10)(a7a12)225.4已知等比數(shù)列的前n項和Sn4na,則a_.解析:當(dāng)n1時,a1S14a,當(dāng)n2時,anSnSn1(4na)(4n1a)4n4n134n1.又該數(shù)列為等比數(shù)列, 4a340,即a1.答案:15設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項和,8a2a50,則_.解析:8a2a50,8a2a5,即8.q38,q2.11.答案:11 數(shù)學(xué)思想(八)分類討論思想在等比數(shù)列中的應(yīng)用分類討論思想在等比數(shù)列中應(yīng)用較多,常見的分類討論有:(1)已知Sn與an的關(guān)系,要分n1,n2兩種情況(2)等比數(shù)列中遇到求和問題要分公比q1,q1討論(3)項數(shù)的奇、偶數(shù)討論(4)等比數(shù)列的單調(diào)性的判斷注意與a1,q的取值的討論典例(20xx天津高考)已知首項為的等比數(shù)列an不是遞減數(shù)列,其前n項和為Sn(nN*),且S3a3,S5a5,S4a4成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設(shè)TnSn(nN*),求數(shù)列Tn的最大項的值與最小項的值解題指導(dǎo)(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知條件求出公比q,進而可求得通項公式;(2)結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列的最大項與最小項的值解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,因為S3a3,S5a5,S4a4成等差數(shù)列,所以S5a5S3a3S4a4S5a5,即4a5a3,于是q2.又an不是遞減數(shù)列且a1,所以q.故等比數(shù)列an的通項公式為ann1(1)n1.(2)由(1)得Sn1n當(dāng)n為奇數(shù)時,Sn隨n的增大而減小,所以1<SnS1,故0<SnS1.當(dāng)n為偶數(shù)時,Sn隨n的增大而增大,所以S2Sn<1,故0>SnS2.綜上,對于nN*,總有Sn.所以數(shù)列Tn最大項的值為,最小項的值為.題后悟道1.數(shù)列與函數(shù)有密切聯(lián)系,證明與數(shù)列有關(guān)的不等式,其本質(zhì)是求數(shù)列中的最大項,可以利用圖象或者數(shù)列的單調(diào)性求解,同時注意數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)單調(diào)性的區(qū)別2本題易忽視條件“an不是遞減數(shù)列”而認為q,從而導(dǎo)致解題錯誤已知數(shù)列an的前n項和Snan1(a0),則an()A一定是等差數(shù)列B一定是等比數(shù)列C或者是等差數(shù)列,或者是等比數(shù)列D既不可能是等差數(shù)列,也不可能是等比數(shù)列解析:選CSnan1(a0),an即an當(dāng)a1時,an0,數(shù)列an是一個常數(shù)列,也是等差數(shù)列;當(dāng)a1時,數(shù)列an是一個等比數(shù)列