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1、高等數學B2期末復習高等數學B2期末復習第六章定積分應用第六章定積分應用-平面圖形面積和旋轉體體積例例1 設平面圖形由拋物線xy22及直線, 0 x1y所圍成，求（1）該平面圖形的面積；（2）該平面圖形繞x軸旋轉一周而成的旋轉體體的體積) 1 ,21(10 xyxy22 解解dyyA1022) 1 (1036y612121022211)2(xdxV21022x4y高等數學B2期末復習練習：設拋物線22,xyxy)103;31(圍成平面圖形，求（1）平面圖形的面積；（2）該平面圖形繞y軸旋轉一周而成的旋轉體的體積第七章微分方程第七章微分方程例例2 微分方程221xyyxdxdy的通解是（ ）)1

2、)(1 (2yxdxdydxxydy)1 (12cxxy2arctan2)2tan(2cxxy為通解（可分離變量類型）（可分離變量類型）高等數學B2期末復習例例3 設二階常系數齊次線性微分方程的通解是 ,321xxececy3, 1rr0) 3)(1(rr則這個微分方程是（ ）特征方程的根：特征方程：0322 rr032 yyy即微分方程是高等數學B2期末復習例例4 設函數321,yyy)()()(xfyxQyxPy 32211)(yycycA是微分方程的3個線性無關的解，則該方程的通解為（ ）3212211)()(yccycycB3212211)1 ()(yccycycC3212211)1

3、()(yccycycD3231,yyyy是對應的齊次微分方程0)()( yxQyxPy的2個線性無關的特解，原方程的通解為3322311)()(yyycyycyD高等數學B2期末復習例例5 微分方程xyy xyA)(2)(xyB有一個特解是（ ）xeyC)(xyDsin)(A例例6 求微分方程xydxdyxsin2的特解解解滿足初始條件224xyxxyxdxdysin2xxxQxxPsin)(,2)(sin22cdxexxeydxxdxx通解為sin2cdxxxxsinln2ln2cdxexxexx（一階非齊次線性類型）（一階非齊次線性類型）高等數學B2期末復習sin2cdxxxxcos2cx

4、xdxcoscos2cxdxxxxsincos2cxxxxcxxxx2sincos224xy由,0c微分方程的特解為2sincosxxxxy高等數學B2期末復習例例7 求微分方程xeyyy22 02 yyy,022rr的通解解解 對應的齊次線性微分方程為特征方程為0) 1)(2(rr特征方程的根為2,1rr齊次線性微分方程的通解為xxececxY221)(1因不是特征方程的根，,)(*xaexy代入，得,1a,)(*xexy所求的通解為xxxeececxyxYy221*)()(),(21Rcc所以令原方程特解高等數學B2期末復習練習：練習： 微分方程xxeyyy 42042 yyy,0422

5、rr的一個特解具有解解 對應的齊次線性微分方程為特征方程為特征方程的根為512, 1r1因不是特征方程的根，,)()(*xeBAxxy所以原方程特解形式為：形式為)()(*xy;)()(xeBAxA;)(xAxeB;)(2xeAxCxeBAxx)()(DA高等數學B2期末復習第八章空間解析與向量代數第八章空間解析與向量代數一數量積與向量積計算與應用一數量積與向量積計算與應用例例8 設,kjia2,kjib 2)(abrjP則a與b的夾角為（ ），投影babacos,21663;32bbaabrjP2636練習：向量a與)2 , 1, 2( b平行，且滿足,18-ba則a=( )4,2,4(高等

6、數學B2期末復習例例9 已知, )211 (,-a,2),1(0,-b)(ba則以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積為 （ ）baS210211kjiba,kji205練習：設點, )5, 4, 2(, )3, 2, 1 (BA則與向量AB同方向的單位向量是（ ） )32,32,31(高等數學B2期末復習二直線與平面方程及應用：直線與平面方程及應用：例例10 已知已知, ) 1 , 1, 2(, ) 1 , 2 , 1 (ba) 1, 1, 1 (0M112121kjiban則過點且平行于a和b的平面方程為（ ）取平面方程：0) 1(5) 1() 1(3zyxkji53)0153(zyx練習：求與

7、平面132zyx垂直，與直線413221zyx平行、且過點) 1, 1, 1 (的平面方程042zyx高等數學B2期末復習例例11 求與兩平面的交線平行，且過點的直線方程34 zx152zyx)5, 2, 3(和解解 直線的方向向量51240121kjinns直線方程：153243zyxkji34練習：經過兩點)4, 0, 1(, )2, 1, 1 (BA的直線方程為（ ）221121zyx高等數學B2期末復習例例12 兩平行平面與間的距離為（ ）0362145zyx092145zyx2, 0yx令, 4z得點)4, 2, 0(距離4196259828d31545在第一個平面上任取一點，求點到

8、面的距離高等數學B2期末復習例例13設直線與則兩直線的夾角為（ ）182511:1zyxl326:2zyyxl6)(A4)(B3)(C2)(D) 1, 2, 1 (1s)2, 1, 1(120011212kjinns21663cos2121ssss3兩直線的方向向量：高等數學B2期末復習例例14直線37423zyx3224zyx, )3, 7, 2(s與平面的位置關系是（ ）（A）平行，但直線不在平面上（B）直線在平面上（C）垂直相交（D）相交，但不垂直)2, 2, 4(n0ns)0, 4, 3(且直線上的點A直線的方向向量和平面的法向量分別為：302)4(2)3(4高等數學B2期末復習練習1

9、：在空間直角坐標系中，下列方程是柱面方程的是（ ）1)(222zyxA02)(2xxzB222)(yxzC22)(yxzD柱面方程的特點：只含有兩個變量的方程B練習2：xoy坐標面上的雙曲線369422 yx繞x軸旋轉一周，所生成的旋轉曲面的方程為（ ）36994222zyx高等數學B2期末復習第九章第九章 多元函數微分學及應用多元函數微分學及應用1.簡單二元函數的極限（二重極限）例例15 函數,0,00,)1 (sin),(2yyxyxyyxf)0,0()1 (sinlim),(lim2)0, 0(),()0, 0(),(xyxyyxfyxyx則函數在點（ ）（A) 連續(xù)（B）極限不存在（C

10、)極限存在，但不連續(xù) （D）無定義2)0, 0(),(1sinlimxxxyxyyx001,0)0,0(fA高等數學B2期末復習練習：)(11lim00 xyxyyx21,0,00,),(2222223yxyxyxxyxf例例16 設則)()0 , 0(xf偏導數定義xfxffxx)0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(01lim0 xxx高等數學B2期末復習例例17 設,sin xyez )(xzyxyexzxycossin則xyyexycossin例例18 設,sin2yxz 則)(dz全微分公式：dyyzdxxzdzydxxsin2ydyx cos2偏導數：練習：函數xyz 在點)

11、2,3(全微分)(dzdydxdz32高等數學B2期末復習例例19 設, ),(xyyfz xyzyz2,其中f具有二階連續(xù)偏導數，求解解zyxxffyz121 211fxf)1(212fxfxxyz)(11)(22222212xyfxfxxyf 222231221fxfxyfxy 高等數學B2期末復習練習練習：設, ),(22xyeyxfzyxzxz2,212fyef xxzxy求22221222112)1 ()(24fexyfxyefeyxfxyyxzxyxyxy 例例20 設),(yxzz 是由xyezz所確定的二元函數，求yxz2（隱函數的導數）（隱函數的導數）解解令函數xyezzyx

12、Fz),(zxFFxz,11zzeyeyzyFFyz,1zex)1(2zeyyyxz2)1 ()1 (zzzeyzyee32)1 ()1 (zzzexyee高等數學B2期末復習練習練習：設),(yxzz 0),(zyyxfdz是由二元函數，求所確定的dyfffdxffdz22121二元函數的性質之間的關系：),(, ),(yxfyxfyx在),(00yx處連續(xù)),(yxf在),(00yx處可微),(yxf在),(00yx處連續(xù)),(, ),(yxfyxfyx在處都存在),(00yx高等數學B2期末復習例例21 設 ,0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf討論（1）),(

13、yxf處偏導數是否存在？在)0,0()0,0(在),()2(yxf處是否可微？解解xfxffxx)0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0() 1 (0yy00lim00yfyffyy)0 , 0()0 , 0(lim)0 , 0(0 xx00lim00（2）證明0)0 , 0()0 , 0(lim0yfxfzyx?高等數學B2期末復習)0 , 0()0 , 0(lim0yfxfzyx2200)()()0 , 0(),(limyxfyxfyx2222200)()()()(limyxyxyx因為0)(0lim)()()()(lim4002222200 xyxyxyxyx41)(4)(lim)(

14、)()()(lim4400222220 xxyxyxyxxy所以2222200)()()()(limyxyxyx不存在，)0,0(在),(yxf處不可微高等數學B2期末復習多元函數微分法的應用：求極值或最值幾何上應用空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線無條件極值條件極值拉格朗日乘數法高等數學B2期末復習例例22 設曲線32,tztytx) 1,1 ,1 () 1,1 ,1 (在點切線與法平面方程處的解解點對應的參數1t曲線在任一點處的切向量為),(dtdzdtdydtdxT)3,2, 1 (2tt在點) 1,1 ,1 (處的切向量為)3, 2, 1 (T切線方程為312111zyx法平面方

15、程為0) 1(3) 1(21zyx即0632zyx高等數學B2期末復習例例23 求曲面32xyezz)0,2,1 (32),(zxyezyxFz在點處的切平面方程解解 令函數曲面在任一點處的法向量為, ) 1,2,2(zexyn)0 , 2, 4()0, 2, 1(n切平面方程為0)2(2) 1(4yx即042 yx練習練習：在曲面xyz 上求一點，使這一點處的法線垂直于平面,093zyx并求這一法線方程133113zyx高等數學B2期末復習例例24 若若函數yxyaxxyxf22),(22) 1,1 ()(a在點取得極值，則,0),(),(0000yxfyxfyx練習練習：設則點由取得極值的

16、必要條件：0) 1, 1 (xf0) 1, 1 (yf即014a5a),(00yx一定是函數),(yxf的（ ）（A）駐點（B）極大值點（C）極小值點（D）連續(xù)點A高等數學B2期末復習例例25 求函數1),(22yxyxyxyxf012),(yxyxfx012),(yxyxfy的極值解解（無條件極值）無條件極值）必要條件得唯一駐點：) 1,1(充分條件：,2) 1 , 1(xxfA, 1),(yxfxy,2),(yxfyy,2),(yxfxx, 1) 1 , 1(xyfB,2) 1,1(yyfC由,032 BAC且,02 A函數),(yxf在) 1,1(處取得極小值為2) 1,1(f高等數學B

17、2期末復習例例26 求內接于半徑為的球，且有最大體積的長方體（條件極值）拉格朗日乘數法（條件極值）拉格朗日乘數法解解 設長方體的長、寬、高各為,zyx,VxyzV 體積為則滿足22224azyx建立拉格朗日函數：)4(),(2222azyxxyzzyxL由02xyzLx02yxzLy02zxyLz22224azyx)0,0,0(zyx332azyx長方體為棱長等于332a的正方體時，體積最大（目標函數）（目標函數）（條件函數）（條件函數）（可能的極值點唯一）（可能的極值點唯一）高等數學B2期末復習第十章第十章 重積分（二重、三重）重積分（二重、三重）例例27 改變積分次序) (),(22221

18、xxxdyyxfdxxy 2xyo2222xxy) 1,1 (11y10dy2112),(yydxyxfxyo例例28 化二重積分二重積分Ddyxf),(為極坐標系下的二次積分，其中D是由圓422 yx與x軸，y軸圍成的第一象限422 yx22Ddyxf),(2020)sin,cos(dfd高等數學B2期末復習練習練習2：設, 1: yxD則) (Ddxyo111面積為2112141 yx1yx1yx1 yx練習練習1：化二次積分為極坐標形式21110),(xxdyyxfdx) (xyoxy121xy11cossin120)sin,cos(dfd高等數學B2期末復習例例29 設,),(ayxa

19、xayxD,0),(1ayxaxyxD) ()sincos(Ddyxxy則xyoxyay ax a1D2D22)sincos()sincos(DDdyxxydyxxy原式2D0)sincos(2Ddyxxy12sincos20)sincos(DDydxdyxxy1sincos2)(DydxdyxA12)(DxydxdyB1)sincos(4)(DdxdyyxxyC0)(DA高等數學B2期末復習練習練習：設, 1: yxD) ()(22Ddxdyyxxy,22dyxyD則(A) 1(B) 2(C) 3(D) 0D例例30 計算D是由直線1,xxy及0y圍成xyoxy 1解解原式=xdyyxydx

20、02210 xxyxdyxdx022212210)()(211002322)(3221dxyxx10331dxx121121104x高等數學B2期末復習練習練習：計算,sindxdyxxD,),(2xyxyxD1sin1例例31 求,dxyD其中D是由拋物線xy 2及直線2 xy所圍成的區(qū)域xyoxy 22 xy21解解 求交點22xyxy, ) 1,1 ()2,4(y原式2212yyxdxydy212222dyxyyy2142)44(21dyyyyy216234)62344(21yyyy845高等數學B2期末復習例例32 計算,422Dyxdxdy0,21:22yyxDx解解yo122 yx

21、222 yx原式Ddd2421204dd21224)4(21d2124)23(高等數學B2期末復習例例33 計算,dVxy122 yx由柱面及平面0,0,0,1yxzz圍成的第一卦限的閉區(qū)域解解xyzo122 yx0z1z0 x0y111用直角坐標計算：用直角坐標計算：原式xyDdzxydxdy1010102xydyxdxdxyxx1010222dxxx102)1 (2181)42(211042xx高等數學B2期末復習例例34 計算,dVzzyx22是由曲面及平面2z所圍成的閉區(qū)域xyzozyx222z2:22 yxDxy原式解一解一利用柱面坐標計算dzddz20d20d22zdz222022

22、2zd 204)4(d2062)62(38高等數學B2期末復習例例34 計算,dVzzyx22是由曲面及平面2z所圍成的閉區(qū)域xyzozyx222z原式=解二解二 用直角坐標計算zDdxdy20zdzzzdz2038先二后一法2zzD2033z練習練習：計算,)(22dVyx是由曲面zyx222及平面2z所圍成的閉區(qū)域316高等數學B2期末復習例例35 計算曲面226yxz22yxzx與立體的體積圍成的yzo解解22226yxzyxz22yxz226yxz求交線：2422zyx2422 yx體積dVVdzdd26dz20d20d202)6(2d20342)343(2332高等數學B2期末復習例

23、例36 計算,222dVzyxozzyx222其中是由球面所圍成的閉區(qū)域xyz解解zzyx222利用球面坐標計算原式ddrdrrsin21cosrcos03drr20sind20d204sin4cos2d204cos1010高等數學B2期末復習第十二章第十二章 無窮級數無窮級數無窮級數無窮級數常數項無窮級數常數項無窮級數冪級數冪級數例例37 若級數若級數 1)2(nnu)(limnnu收斂，則級數收斂的必要條件：級數收斂的必要條件：0)2(limnnu2高等數學B2期末復習,5112nna)3(,364212收斂）aaaann,2) 1(1nnna例例38 已知級數已知級數則級數)(1nna)

24、 1 (2) 1(43211收斂）aaaaannn因為）（收斂） 2(,5531112aaaann: ) 1 ()2(: ) 3()2(121121nnnnnnaaaC3)(A7)(B8)(C9)(D高等數學B2期末復習例例39 判斷級數)12(212nnnn,212nnnnnnuu1lim的收斂性對于正項級數用比值審斂法：21222) 1(limnnnnn121122nnn級數收斂，121 -nnP 級數又收斂所以級數)12(212nnnn收斂高等數學B2期末復習練習練習1：級數1!2nnnnn111nn的斂散性為（ ）收斂收斂練習練習2：級數的斂散性為（ ）發(fā)散發(fā)散練習練習3：級數)(1)

25、 1(1nnn（A）發(fā)散（B）絕對收斂（C）條件收斂（D）以上都不是C高等數學B2期末復習例例40 討論級數11) 1(npnn11npn的絕對收斂與條件收斂性解解級數收斂， 所以級數11) 1(npnn絕對收斂；11) 1(npnn時，當10 p1p當時，級數11npn發(fā)散，又數列pn1單調減少，且,01limpnn所以級數收斂；條件0p當時，,01limpnn因為所以級數11) 1(npnn發(fā)散高等數學B2期末復習例例41 冪級數nnnxa0nnnxa0則其收斂半徑R=（ ）由已知，在處為條件收斂，ex ex 在處收斂，所以當ex 時，nnnxa0絕對收斂，假設當ex 時，nnnxa0收斂

26、， 則級數在ex 處絕對收斂，與已知矛盾， 所以當ex 時，級數發(fā)散，其收斂半徑為e高等數學B2期末復習練習練習1 冪級數nnnxa12xnnnxa1在處收斂， 則在1x處（ ）（A）發(fā)散（B）無法確定（C）條件收斂（D）絕對收斂D練習練習2 冪級數11) 1(nnnnx的收斂域（ ） 1,1(高等數學B2期末復習例例42 求冪級數1)5(nnnx,5 xt1nnnt的收斂域解解令級數變?yōu)閚nnaa1lim,11limnnn11R又當1t時，級數11nn發(fā)散，當1t時，級數1) 1(nnn收斂，級數1nnnt的收斂域為) 1,1所以級數1)5(nnnx的收斂域為)6,4高等數學B2期末復習練習

27、練習 已知冪級數0)2(nnnxa5,1 (0 x在處收斂，則0)3(nnnxa域為（ ）在處發(fā)散，4x的收斂高等數學B2期末復習例例43 求級數11nnxnnnnaa1lim,11limnnn的和函數，且指出收斂域解解11R收斂區(qū)間為) 1,1(,1x級數均發(fā)散，所以收斂域為) 1,1(設和函數,)(11nnxnxsdxnxdxxsnxnx1010)(1nnxxx1則)1()(xxxs,)1 (12x) 1,1(x高等數學B2期末復習練習練習 求級數1nnnx, )1ln()(xxs) 1,1x的和函數，且指出收斂域例例44 將函數2)2(1)(xxf展成x的冪級數2112121xx)2()2(21 212nxxx,201nnnx,12x22x)21()2(12xx01)2(nnnx1112nnnnx高等數學B2期末復習例例45 將函數) 1)(2(12)(xxxxf) 1( x1121)(xxxf展成的冪級數) 1(21) 1(11xx211121) 1(11xx00)21(21) 1() 1(nnnnnxxnnnnx) 1(21) 1(10 x滿足1211111xx02x高等數學B2期末復習練習練習 將函數xxf11)()2( x103)2() 1(nnnnx展成的冪級數)5,1(xTHANK YOU感謝聆聽，批評指導2020