+2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料+第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用 考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的概念及運(yùn)算 例1(1)(2013湖北高考)已知點(diǎn)A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，則向量在方向上的投影為()A. B. C D (2)如圖，在矩形ABCD中，AB，BC2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若，則的值是_自主解答(1)A(1,1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3,4)，(2,1)，(5,5)，因此cos，向量在方向上的投影為|cos，.(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在的直線分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，則B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)設(shè)F(x，2)(0x)，由xx1，所以F(1,2)，(，1)(1，2).答案(1)A(2)【互動(dòng)探究】在本例(2)中，若四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，求的值及的最大值解：以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB邊所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則正方形各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,0)、B(1,0)、C(1,1)、D(0,1)，設(shè)E(a，0)，0a1.(a，1)(0，1)a0(1)(1)1.(a，1)(1,0)a(1)0a1，故的最大值為1. 【方法規(guī)律】平面向量數(shù)量積的類型及求法(1)平面向量數(shù)量積有兩種計(jì)算公式：一是夾角公式ab|a|b|cos ；二是坐標(biāo)公式abx1x2y1y2.(2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)1若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，滿足條件(8ab)c30，則x_.解析：a(1,1)，b(2,5)，8ab(8,8)(2,5)(6,3)又c(3，x)，(8ab)c183x30，x4.答案：42已知e1，e2是夾角為的兩個(gè)單位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，則實(shí)數(shù)k的值為_解析：e1，e2的模為1，且其夾角.ab(e12e2)(ke1e2)kee1e22ke1e22ek(12k)cos22k.又ab0，2k0，即k.答案：高頻考點(diǎn)考點(diǎn)二 平面向量的夾角與模的問題1平面向量的夾角與模的問題是高考中的?？純?nèi)容，題型多為選擇題、填空題，難度適中，屬中檔題2高考對(duì)平面向量的夾角與模的考查常有以下幾個(gè)命題角度：(1)求兩向量的夾角；(2)兩向量垂直的應(yīng)用；(3)已知數(shù)量積求模；(4)知模求模例2(1)(2013湖南高考)已知a，b是單位向量，ab0.若向量c滿足|cab|1，則|c|的最大值為()A.1 B. C.1 D.2(2)(2013安徽高考)若非零向量a，b滿足|a|3|b|a2b|，則a與b夾角的余弦值為_(3)(2013山東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知(1，t)，(2,2)若ABO90，則實(shí)數(shù)t的值為_(4)(2013天津高考)在平行四邊形ABCD中， AD1，BAD60，E為CD的中點(diǎn)若1, 則AB的長(zhǎng)為_來源:數(shù)理化網(wǎng)自主解答(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，由題意知ab，且a與b是單位向量，可設(shè)a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)cab(x1，y1)，|cab|1，(x1)2(y1)21，即點(diǎn)C(x，y)的軌跡是以M(1,1)為圓心，1為半徑的圓而|c|，|c|的最大值為|OM|1，即|c|max1.(2)由|a|a2b|，兩邊平方，得|a|2|a2b|2|a|24|b|24ab，所以ab|b|2.又|a|3|b|，所以cosa，b.(3) (1，t)(2,2)(3,2t)來源:ABO90，0，即232(2t)0，t5.(4)法一：由題意可知，.因?yàn)?，所以()1，即221.因?yàn)閨1，BAD60，所以|，即AB的長(zhǎng)為.法二：以A為原點(diǎn)，AB為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，過D作DMAB于點(diǎn)M.由AD1，BAD60，可知AM，DM.設(shè)|AB|m(m>0)，則B(m,0)，C，D.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以E.所以，.由1，可得1，即2m2m0，所以m0(舍去)或.故AB的長(zhǎng)為.答案(1)C(2)(3)5(4)平面向量的夾角與模問題的常見類型及解題策略(1)求兩向量的夾角cos ，要注意0，(2)兩向量垂直的應(yīng)用兩非零向量垂直的充要條件是：abab0|ab|ab|.(3)求向量的模利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問題的處理方法有：a2aa|a|2或|a|.|ab|.若a(x，y)，則|a|.1若a(1,2)，b(1，1)，則2ab與ab的夾角等于()A B. C. D.解析：選C2ab2(1,2)(1，1)(3,3)，ab(1,2)(1，1)(0,3)，(2ab)(ab)9，|2ab|3，|ab|3.設(shè)所求兩向量夾角為，則cos ，又0，故.2已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，k為實(shí)數(shù)，若向量ab與向量kab垂直，則k_.解析：a與b是不共線的單位向量，|a|b|1.又kab與ab垂直，(ab)(kab)0，即ka2kababb20.k1kabab0，即k1kcos cos 0(為a與b的夾角)(k1)(1cos )0，又a與b不共線，cos 1，k1.答案：13已知平面向量，|1，(2,0)，(2)，則|2|的值為_解析：(2,0)，|2，又(2)，(2)22120.(2)2422444210.|2|.答案：考點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的應(yīng)用 例3(2013江蘇高考)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0<<<.(1)若|ab|，求證：ab；(2)設(shè)c(0,1)，若abc，求，的值自主解答(1)證明：由題意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因?yàn)閍2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.(2)因?yàn)閍b(cos cos ，sin sin )(0,1)，所以由此得，cos cos()，由0<<，得0<<，又0<<，故.代入sin sin 1，得sin sin ，而>，所以，.來源:【方法規(guī)律】平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的命題形式與解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解 (2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等.設(shè)向量a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin )(1)若a與b2c垂直，求tan()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)若tan tan 16，求證：ab.解：(1)由a與b2c垂直，得a(b2c)ab2ac0，即4sin()8cos()0，tan()2.(2)bc(sin cos ，4cos 4sin )，|bc|2sin22sin cos cos216cos232cos sin 16sin21730sin cos 1715sin 2，故最大值為32，所以|bc|的最大值為4.來源:(3)證明：由tan tan 16，得sin sin 16cos cos ，即4cos 4cos sin sin 0，所以ab.課堂歸納通法領(lǐng)悟1個(gè)條件兩個(gè)非零向量垂直的充要條件兩個(gè)非零向量垂直的充要條件為：abab0.來源:數(shù)理化網(wǎng)2個(gè)結(jié)論與向量夾角有關(guān)的兩個(gè)結(jié)論(1)若ab>0，則a與b的夾角為銳角或0；(2)若ab<0，則a與b的夾角為鈍角或180.4個(gè)注意點(diǎn)向量運(yùn)算中應(yīng)注意的四個(gè)問題(1)在求ABC的三邊所對(duì)應(yīng)向量的夾角時(shí)，要注意是三角形的內(nèi)角還是外角如在等邊ABC中，與的夾角應(yīng)為120而不是60.(2)在平面向量數(shù)量積的運(yùn)算中，不能從ab0推出a0或b0成立實(shí)際上由ab0可推出以下四種結(jié)論：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，但ab.(3)實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足消去律：若bcca，c0，則有ba.在向量數(shù)量積的運(yùn)算中，若abac(a0)，則不一定得到bc.(4)實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足乘法結(jié)合律，但平面向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，這是由于(ab)c表示一個(gè)與c共線的向量，而a(bc)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品