第五節(jié)橢圓考綱傳真1.了解橢圓的實(shí)際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)3.了解橢圓的簡單應(yīng)用(文)3.理解數(shù)形結(jié)合思想4.理解數(shù)形結(jié)合思想(文)4.了解橢圓的簡單應(yīng)用1橢圓的定義(1)我們把平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的集合叫作橢圓這兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2間的距離叫作橢圓的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡為橢圓；當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡為線段F1F2；當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡不存在2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍axa bybbxb aya對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)離心率e，且e(0,1)a，b，c的關(guān)系c2a2b21(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓()(2)橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成PF1F2的周長為2a2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距)()(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓()(4)橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是()A.1B.1C.1D1D橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，c1.又離心率為，故a2，b2a2c2413，故橢圓的方程為1.3(2015廣東高考)已知橢圓1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(4,0)，則m()A2B3C4D9B由左焦點(diǎn)為F1(4,0)知c4.又a5，25m216，解得m3或3.又m>0，故m3.4(2016全國卷)直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為()A.BC.DB如圖，|OB|為橢圓中心到l的距離，則|OA|OF|AF|OB|，即bca，所以e.5橢圓1的左焦點(diǎn)為F，直線xm與橢圓相交于點(diǎn)A，B，當(dāng)FAB的周長最大時(shí)，F(xiàn)AB的面積是_3直線xm過右焦點(diǎn)(1,0)時(shí)，F(xiàn)AB的周長最大，由橢圓定義知，其周長為4a8，即a2，此時(shí)，|AB|23，SFAB233.橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程(1)如圖851所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是()圖851A橢圓B雙曲線C拋物線D圓(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0<b<1)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)若|AF1|3|F1B|，AF2x軸，則橢圓E的方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號：57962393】(1)A(2)x2y21(1)由條件知|PM|PF|.|PO|PF|PO|PM|OM|R>|OF|.P點(diǎn)的軌跡是以O(shè)，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓(2)不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，設(shè)半焦距為c，則F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)AF2x軸，則A(c，b2)(其中c21b2,0<b<1)又|AF1|3|F1B|，得3，設(shè)B(x0，y0)，則(2c，b2)3(x0c，y0)，x0且y0，代入橢圓x21，得25c2b29，又c21b2，聯(lián)立，得b2.故橢圓E的方程為x2y21.規(guī)律方法1.(1)利用橢圓的定義定形狀時(shí)，一定要注意常數(shù)2a>|F1F2|這一條件(2)當(dāng)涉及到焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明時(shí)，常利用勾股定理、正(余)弦定理、橢圓定義，但一定要注意|PF1|PF2|與|PF1|PF2|的整體代換2求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定位，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在的位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組，若焦點(diǎn)位置不確定，可把橢圓方程設(shè)為Ax2By21(A>0，B>0，AB)的形式變式訓(xùn)練1(1)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且.若PF1F2的面積為9，則b_.(2)已知F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|3，則C的方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號：57962394】(1)3(2)1(1)由定義，|PF1|PF2|2a，且，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，2|PF1|PF2|4a24c24b2，|PF1|PF2|2b2.SPF1F2|PF1|PF2|2b29，因此b3.(2)依題意，設(shè)橢圓C：1(a>b>0)過點(diǎn)F2(1,0)且垂直于x軸的直線被曲線C截得弦長|AB|3，點(diǎn)A必在橢圓上，1.又由c1，得1b2a2.由聯(lián)立，得b23，a24.故所求橢圓C的方程為1.橢圓的幾何性質(zhì)(2016全國卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：1(ab0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，且PFx軸過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為()A. B. C. D.A法一：設(shè)點(diǎn)M(c，y0)，OE的中點(diǎn)為N，則直線AM的斜率k，從而直線AM的方程為y(xa)，令x0，得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yE.同理，OE的中點(diǎn)N的縱坐標(biāo)yN.2yNyE，即2a2cac，e.法二：如圖，設(shè)OE的中點(diǎn)為N，由題意知|AF|ac，|BF|ac，|OF|c，|OA|OB|a.PFy軸，.又，即，a3c，故e.規(guī)律方法1.與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析2求橢圓離心率的主要方法有：(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解變式訓(xùn)練2(2015福建高考)已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x4y0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)若|AF|BF|4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是()A.BC.DA根據(jù)橢圓的對稱性及橢圓的定義可得A，B兩點(diǎn)到橢圓左、右焦點(diǎn)的距離為4a2(|AF|BF|)8，所以a2.又d，所以1b<2，所以e.因?yàn)?b<2，所以0<e，故選A.直線與橢圓的位置關(guān)系角度1由位置關(guān)系研究橢圓的方程與性質(zhì)已知橢圓E：1(a>b>0)的半焦距為c，原點(diǎn)O到經(jīng)過兩點(diǎn)(c,0)，(0，b)的直線的距離為.圖852(1)求橢圓E的離心率；(2)如圖852，AB是圓M：(x2)2(y1)2的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，求橢圓E的方程解(1)過點(diǎn)(c,0)，(0，b)的直線方程為bxcybc0，則原點(diǎn)O到該直線的距離d，3分由dc，得a2b2 ，解得離心率.5分(2)由(1)知，橢圓E的方程為x24y24b2.依題意，圓心M(2,1)是線段AB的中點(diǎn)，且|AB|.易知，AB與x軸不垂直，設(shè)其方程為yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.8分設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.由x1x24，得4，解得k.從而x1x282b2.10分于是|AB|x1x2|.由|AB|，得，解得b23.故橢圓E的方程為1.12分角度2由位置關(guān)系研究直線的性質(zhì)(2015全國卷)已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，點(diǎn)(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值解(1)由題意有，1，解得a28，b24.3分所以C的方程為1.5分(2)證明：設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).7分將ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280.9分故xM，yMkxMb.于是直線OM的斜率kOM，即kOMk.所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.12分規(guī)律方法1.解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程解決相關(guān)問題涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會更簡單2設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|(k為直線斜率)思想與方法1橢圓的定義揭示了橢圓的本質(zhì)屬性，正確理解、掌握定義是關(guān)鍵，應(yīng)注意定義中的常數(shù)大于|F1F2|，避免了動點(diǎn)軌跡是線段或不存在的情況2求橢圓方程的方法，除了直接根據(jù)定義外，常用待定系數(shù)法當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確而無法確定其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，設(shè)方程為1(m>0，n>0，且mn)可以避免討論和煩瑣的計(jì)算，也可以設(shè)為Ax2By21(A>0，B>0，且AB)，這種形式在解題中更簡便3討論橢圓的幾何性質(zhì)時(shí)，離心率問題是重點(diǎn)，常用方法：(1)求得a，c的值，直接代入公式e求得；(2)列出關(guān)于a，b，c的齊次方程(或不等式)，然后根據(jù)b2a2c2，消去b，轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解易錯(cuò)與防范1判斷兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是比較標(biāo)準(zhǔn)形式中x2與y2的分母大小2注意橢圓的范圍，在設(shè)橢圓1(a>b>0)上點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x，y)時(shí)，則|x|a，這往往在求與點(diǎn)P有關(guān)的最值問題中用到，也是容易被忽視而導(dǎo)致求最值錯(cuò)誤的原因3橢圓上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的最大距離為ac，最小距離為ac.