第十三篇坐標系與參數(shù)方程(選修44)第1節(jié) 坐標系課時訓練 理【選題明細表】知識點、方法題號平面直角坐標系中的伸縮變換3極坐標與直角坐標的互化1、7、10直線和圓的極坐標方程及應用4、9、11簡單曲線的極坐標方程及應用2、5、6、8、12、13一、選擇題1.(2014天津模擬)已知曲線的極坐標方程為=4cos 22-2,則其直角坐標方程為(C)(A)x2+(y+1)2=1(B)(x+1)2+y2=1(C)(x-1)2+y2=1(D)x2+(y-1)2=1解析:由=4cos 22-2得=2(cos +1)-2=2cos ,即x2+y2=2x,得(x-1)2+y2=1.2.(2014海淀模擬)在極坐標系中,曲線=4cos 圍成的圖形面積為(C)(A)(B)4(C)4(D)16解析:由曲線的極坐標方程=4cos ,得2=4cos ,所以圓的直角坐標方程為x2+y2-4x=0,化為標準方程,得(x-2)2+y2=4,所以圓的半徑為2,面積為4.3.在平面直角坐標系中,經(jīng)伸縮變換后曲線x2+y2=16變換為橢圓x2+y216=1,此伸縮變換公式是(B)(A)x=14xy=y(B)x=4xy=y(C)x=2xy=y(D)x=4xy=8y解析:設此伸縮變換為x=x(>0),y=y(>0),代入x2+y216=1,得(x)2+(y)216=1,即162x2+2y2=16.與x2+y2=16比較得162=1(>0),2=1(>0),故=14,=1,即所求變換為x=14x,y=y.4.(2013高考安徽卷)在極坐標系中,圓=2cos 的垂直于極軸的兩條切線方程分別為(B)(A)=0(R)和cos =2(B)=2(R)和cos =2(C)=2(R)和cos =1(D)=0(R)和cos =1解析:把圓=2cos 的方程化為(x-1)2+y2=1知,圓的垂直于極軸的兩條切線方程分別為x=0和x=2,從而得這兩條切線的極坐標方程為=2(R) 和cos =2.故選B.二、填空題5.(2014韶關模擬)在極坐標系中,過點A（1,-2）引圓=8sin 的一條切線,則切線長為.解析:點A（1,-2）的極坐標化為直角坐標為A(0,-1),圓=8sin 的直角坐標方程為x2+y2-8y=0,圓的標準方程為x2+(y-4)2=16,點A與圓心C(0,4)的距離為|AC|=5,所以切線長為|AC|2-r2=3.答案:36.(2014廣州模擬)已知曲線C1的極坐標方程為=6cos ,曲線C2的極坐標方程為=4(R),曲線C1、曲線C2的交點為A,B,則弦AB的長為.解析:由2=x2+y2,tan =yx,將曲線C1與曲線C2的極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為C1:x2+y2=6x,即(x-3)2+y2=9,故C1是圓心為(3,0),半徑為3的圓,C2:=4,即y=x,表示過原點傾斜角為4的直線.因為y=x,x2+y2=6x的解為x1=0,y1=0,x2=3,y2=3,所以|AB|=32.答案:327.(2014南昌調(diào)研)在極坐標系中,圓=2cos 與直線=4(>0)所表示的圖形的交點的極坐標是.解析:圓=2cos 可轉(zhuǎn)化為x2-2x+y2=0,直線=4(>0)可轉(zhuǎn)化為y=x(x>0),兩個方程聯(lián)立得交點坐標是(1,1),可得其極坐標是（2,4）.答案:（2,4）8.(2014高考天津卷)在以O為極點的極坐標系中,圓=4sin 和直線sin =a相交于A,B兩點.若AOB是等邊三角形,則a的值為.解析:由于圓和直線的直角坐標方程分別為x2+y2=4y和y=a,它們相交于A,B兩點,AOB為等邊三角形,所以不妨取直線OB的方程為y=3x,聯(lián)立x2+y2=4y,y=3x,消去y,得x2=3x,解得x=3或x=0,所以a=3.答案:39.(2014保定模擬)點M,N分別是曲線sin =2和=2cos 上的動點,則|MN|的最小值是.解析:sin =2化為普通方程為y=2,=2cos 化為普通方程為x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,圓(x-1)2+y2=1上的點到直線上點的距離的最小值為圓心(1,0)到直線y=2的距離減去半徑,即為2-1=1.答案:1三、解答題10.在極坐標系下,已知圓O:=cos +sin 和直線l:sin-4=22.(1)求圓O和直線l的直角坐標方程;(2)當(0,)時,求直線l與圓O公共點的極坐標.解:(1)圓O:=cos +sin ,即2=cos +sin ,圓O的直角坐標方程為x2+y2=x+y,即x2+y2-x-y=0.直線l:sin-4=22,即sin -cos =1,則直線l的直角坐標方程為y-x=1,即x-y+1=0.(2)由x2+y2-x-y=0,x-y+1=0得x=0,y=1,故直線l與圓O公共點的極坐標為1,2.11.(2014淮安模擬)在極坐標系中,曲線L:sin 2=2cos ,過點A(5,)（為銳角且tan =34）作平行于=4(R)的直線l,且l與曲線L分別交于B,C兩點.(1)以極點為原點,極軸為x軸的正半軸,取與極坐標相同單位長度,建立平面直角坐標系,寫出曲線L和直線l的普通方程.(2)求|BC|的長.解:(1)由題意得,點A的直角坐標為(4,3),由曲線L的極坐標方程sin 2=2cos ,得2sin 2=2cos ,所以L的直角坐標方程為y2=2x.由于直線l的斜率為1,且過點A(4,3),故直線l的普通方程為y-3=x-4,即y=x-1.(2)設B(x1,y1),C(x2,y2),由y=x-1,y2=2x消去y,得x2-4x+1=0,由一元二次方程的根與系數(shù)的關系,得x1+x2=4,x1x2=1,由弦長公式得|BC|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=26.12.(2014蘇州模擬)在極坐標系中,圓C是以點C（2,-6）為圓心,2為半徑的圓.(1)求圓C的極坐標方程.(2)求圓C被直線l:=-512所截得的弦長.解:法一(1)設所求圓上任意一點M(,),如圖,在RtOAM中,OMA=90,AOM=2-6,|OA|=4.因為cos AOM=|OM|OA|,所以|OM|=|OA|cos AOM,即=4cos（2-6）=4cos（+6）,驗證可知,極點O與A（4,-6）的極坐標也滿足方程,故=4cos （+6）為所求.(2)設l:=-512交圓C于點P,在RtOAP中,OPA=90,易得AOP=4,所以|OP|=|OA|cos AOP=22.法二(1)圓C是將圓=4cos 繞極點按順時針方向旋轉(zhuǎn)6而得到的圓,所以圓C的極坐標方程是=4cos（+6）.(2)將=-512代入圓C的極坐標方程=4cos（+6）,得=22,所以圓C被直線l:=-512所截得的弦長為22.13.(2014鄭州模擬)已知曲線C1的極坐標方程為cos（-3）=-1,曲線C2的極坐標方程為=22cos（-4）.以極點為坐標原點,極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系.(1)求曲線C2的直角坐標方程.(2)求曲線C2上的動點M到曲線C1的距離的最大值.解:(1)依題意,得=22cos（-4）=2(cos +sin ),即2=2(cos +sin ),可得x2+y2-2x-2y=0,故C2的直角坐標方程為(x-1)2+(y-1)2=2.(2)曲線C1的極坐標方程為cos（-3）=-1,即（12cos +32sin ）=-1,化為直角坐標方程為x+3y+2=0,由(1)知曲線C2是以(1,1)為圓心,2為半徑的圓,且圓心到直線C1的距離d=|1+3+2|12+(3)2=3+32>r=2,于是直線與圓相離,所以動點M到曲線C1的距離的最大值為3+3+222.