一、題之源：課本基礎(chǔ)知識(shí)1.求二次函數(shù)的解析式利用已知條件求二次函數(shù)的解析式常用的方法是待定系數(shù)法，但須根據(jù)不同條件選取適當(dāng)形式的f(x)，一般規(guī)律是：已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式；已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最大(小)值時(shí)，常用頂點(diǎn)式；若已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)已知時(shí)，選用零點(diǎn)式更方便2含有參數(shù)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值或值域二次函數(shù)在區(qū)間m，n上的最值或值域問題，通常有兩種類型：其一是定函數(shù)(解析式確定)，動(dòng)區(qū)間(區(qū)間的端點(diǎn)含有參數(shù))；其二是動(dòng)函數(shù)(解析式中含有參數(shù))，定區(qū)間(區(qū)間是確定的)無論哪種情況，解題的關(guān)鍵都是抓住“三點(diǎn)一軸”，“三點(diǎn)”即區(qū)間兩端點(diǎn)與區(qū)間中點(diǎn)，“一軸”即為拋物線的對(duì)稱軸對(duì)于動(dòng)函數(shù)、動(dòng)區(qū)間的類型同樣是抓住“三點(diǎn)一軸”，只不過討論要復(fù)雜一些而已3.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 （，且）（1）.如；(2) . 如；（3）；（4）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，； 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.4.有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（）（1）； （2）； （3）5.指數(shù)函數(shù)（且），其中是自變量，叫做底數(shù)，定義域是Rxy01y圖象10x性質(zhì)（1）定義域：R（2）值域：（0，+）（3）過定點(diǎn)（0，1），即x=0時(shí)，y=1（4）在 R上是增函數(shù)（4）在R上是減函數(shù)6.若，則 叫做以 為底的對(duì)數(shù)。記作：（，）其中，叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做對(duì)數(shù)的真數(shù)。注：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化公式：7.對(duì)數(shù)的性質(zhì)（1）零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，即中；（2）1的對(duì)數(shù)等于0，即 ；底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1，即8.常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，記為：自然對(duì)數(shù)：以e(e=2.71828)為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，記為：9.對(duì)數(shù)恒等式：10.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（a0，a1，M0，N0）(1); (2) ;(3) （注意公式的逆用）11.對(duì)數(shù)的換底公式 (,且,且, ).推論或； .12.對(duì)數(shù)函數(shù)（，且）：其中，是自變量，叫做底數(shù)，定義域是圖像x1y01x0性質(zhì)定義域：(0, )值域：R過定點(diǎn)（1，0）增函數(shù)減函數(shù)取值范圍0<x<1時(shí)，y<0 x>1時(shí)，y>00<x<1時(shí)，y>0 x>1時(shí)，y<013.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)；它們圖象關(guān)于直線對(duì)稱.14.冪函數(shù)（），其中是自變量。要求掌握這五種情況(如下圖)15.冪函數(shù)的性質(zhì)及圖象變化規(guī)律：（）所有冪函數(shù)在（0，+）都有定義，并且圖象都過點(diǎn)（1，1）；（）當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象都通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)（）當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)二、題之本：思想方法技巧1.底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.2.對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)應(yīng)滿足的條件是求解對(duì)數(shù)問題時(shí)必須予以特別重視的.3. 比較冪形式的兩個(gè)數(shù)的大小，一般的思路是：（1）若能化為同指數(shù)，則用冪函數(shù)的單調(diào)性；（2）若能化為同底數(shù)，則用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；（3）若既不能化為同指數(shù)，也不能化為同底數(shù)，則需尋找一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)作為橋梁來比較大小4.比較幾個(gè)數(shù)的大小是對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用的常見題型.在具體比較時(shí)，可以首先將它們與零比較，分出正負(fù)；正數(shù)通常都再與1比較分出大于1還是小于1，然后在各類中間兩兩相比較.5冪函數(shù)的圖象特征與指數(shù)的大小關(guān)系，大都可通過冪函數(shù)的圖象與直線x2或x的交點(diǎn)縱坐標(biāo)的大小反映一般地，在區(qū)間(0，1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大、圖低”)，在區(qū)間(1，)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，圖象越遠(yuǎn)離x軸(不包括冪函數(shù)yx0)6冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在二、三象限內(nèi)，則要看函數(shù)的定義域和奇偶性函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)，如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)7.判斷一個(gè)函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)或冪函數(shù)，一定要根據(jù)三種函數(shù)定義中的“標(biāo)準(zhǔn)”形式如f(x)2x2不是指數(shù)函數(shù)，而f(x)23x是指數(shù)函數(shù)，因?yàn)閒(x)23x8x，此時(shí)a8，同樣f(x)2x1也不是指數(shù)函數(shù)，因?yàn)閒(x)2x122x，不是f(x)ax(a0，且a1)的形式8.若，則，。三、題之變：課本典例改編1. 原題（必修1第五十九頁習(xí)題2.1第8題）已知下列不等式，比較，的大?。?） (2)改編1 設(shè)，那么 （ ）A.aab B.a ba C.aab D.aba【答案】C.改編2 已知，則 （ ）A B. C. D.【答案】A.【解析】 由已知，因?yàn)樵诙x域內(nèi)是單調(diào)遞增的，所以，故答案為A.改編3 已知函數(shù)的圖象與函數(shù)（且）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，記若在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（） A B C D 【答案】D.【解析】 本題根據(jù)反函數(shù)的定義求出的解析式，再用換元法判斷的單調(diào)性，結(jié)合條件在區(qū)間上是增函數(shù)，求出實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為D.2. 原題（必修1第七十五頁習(xí)題2.2 B組第2題）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.改編1 若，則的取值范圍是 （ ）ABCD【答案】C.【解析】 當(dāng)時(shí)，若，則，當(dāng)時(shí)，若，則，此時(shí)無解！故選C.改編2 設(shè)，函數(shù)，則使的的取值范圍是（ ）A B C D【答案】C.3. 原題（必修1第七十五頁習(xí)題2.2 B組第4題）已知函數(shù)，且（1）求函數(shù)定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由.改編1 已知是偶函數(shù)，定義域?yàn)?則 ， .【答案】，.【解析】 函數(shù)是偶函數(shù)，所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.，.改編2 函數(shù)的圖象關(guān)于 （ ） A軸對(duì)稱 B軸對(duì)稱 C原點(diǎn)對(duì)稱 D直線對(duì)稱【答案】B.【解析】 函數(shù)定義域?yàn)?，所以，所以函?shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對(duì)稱.故選B.改編3 若函數(shù)是奇函數(shù)，則 【答案】4.原題（必修1第八十二頁復(fù)習(xí)參考題A組第七題）已知，求證：（1），（2）.改編 給出下列三個(gè)等式：.下列選項(xiàng)中，不滿足其中任何一個(gè)等式的是（ ） ABCD【答案】B.【解析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)的性質(zhì)可知，滿足，滿足，滿足，而不滿足其中任何一個(gè)等式.故選B.5.原題（必修1第八十二頁復(fù)習(xí)參考題A組第八題）已知,求證:（2）.改編 定義在上的函數(shù)滿足對(duì),都有成立,且當(dāng)時(shí)，給出下列命題:；函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；,其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】C.6.原題（必修1第八十三頁復(fù)習(xí)參考題B組第一題）已知集合，則=（ ） A. B. C. D. 改編 在平面直角坐標(biāo)系中，集合，且，設(shè)集合中的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為，則有（ ）A. B. C. D.【答案】B.【解析】由圖知與圖象交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)為，不妨設(shè)，則，在R上遞減，當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，故選B.7.原題（必修1第八十三頁復(fù)習(xí)參考題B組第三題）對(duì)于函數(shù)（a R）（1）探索函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）是否存在實(shí)數(shù)a使f（x）為奇函數(shù)？改編1 對(duì)于函數(shù)f(x)=a+ (xR)，（1）用定義證明：f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)；（2）若f（x）是奇函數(shù)，求a值；（3）在（2）的條件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）0【解析】（1）：設(shè)，則f（）-f（）=-=-0，0，0即f（）-f（）0f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)（2）f（x）是奇函數(shù)，f（0）=0a=-1（3）由（1）（2）可得f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)且是奇函數(shù)，f（2t+1）+f（t-5）0轉(zhuǎn)化為f（2t+1）-f（t-5）=f（-t+5），2t+1-t+5t，故所求不等式f（2t+1）+f（t-5）0的解集為：t|t改編2 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1)求a，b的值；(2)若對(duì)任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)<0恒成立，求k的取值范圍8.原題（必修1第八十三頁復(fù)習(xí)參考題B組第四題）設(shè)，求證：（1）；（2）；（3）；改編1 設(shè)，給出如下結(jié)論：對(duì)任意，有；存在實(shí)數(shù)，使得；不存在實(shí)數(shù)，使得；對(duì)任意，有；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是【答案】.改編2 已知函數(shù)滿足，且，分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，若使得不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】.【解析】，得，即，解得，即得，參數(shù)分離得，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，的解滿足），所以.改編3 已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足：，則 .【答案】