精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，通常也稱為韋達定理，這是因為該定理是由16世紀(jì)法國最杰出的數(shù)學(xué)家韋達發(fā)現(xiàn)的 韋達定理簡單的形式中包含了豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用廣泛，主要體現(xiàn)在： 運用韋達定理，求方程中參數(shù)的值； 運用韋達定理，求代數(shù)式的值； 利用韋達定理并結(jié)合根的判別式，討論根的符號特征； 利用韋達定理逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題等 韋達定理具有對稱性，設(shè)而不求、整體代入是利用韋達定理解題的基本思路韋達定理，充滿活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識可有機結(jié)合，生成豐富多彩的數(shù)學(xué)問題，而解這類問題常用到對稱分析、構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想方法【例題求解】【例1】 已知、是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為 思路點撥 所求代數(shù)式為、的非對稱式，通過根的定義、一元二次方程的變形轉(zhuǎn)化為(例【例2】如果、都是質(zhì)數(shù)，且，那么的值為( ) A B或2 C D或2 思路點撥 可將兩個等式相減，得到、的關(guān)系，由于兩個等式結(jié)構(gòu)相同，可視、為方程的兩實根，這樣就為根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用創(chuàng)造了條件注：應(yīng)用韋達定理的代數(shù)式的值，一般是關(guān)于、的對稱式，這類問題可通過變形用+、表示求解，而非對稱式的求值常用到以下技巧：(1)恰當(dāng)組合；(2)根據(jù)根的定義降次；(3)構(gòu)造對稱式【例3】 已知關(guān)于的方程： (1)求證：無論m取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個相異實根 (2)若這個方程的兩個實根、滿足，求m的值及相應(yīng)的、 思路點撥 對于(2)，先判定、的符號特征，并從分類討論入手【例4】 設(shè)、是方程的兩個實數(shù)根，當(dāng)m為何值時，有最小值?并求出這個最小值 思路點撥 利用根與系數(shù)關(guān)系把待求式用m的代數(shù)式表示，再從配方法入手，應(yīng)注意本例是在一定約束條件下(0)進行的注：應(yīng)用韋達定理的前提條件是一元二次方程有兩個實數(shù)根，即應(yīng)用韋達定理解題時，須滿足判別式0這一條件，轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，但要注意轉(zhuǎn)化前后問題的等價性【例5】 已知：四邊形ABCD中，ABCD，且AB、CD的長是關(guān)于的方程的兩個根(1)當(dāng)m2和m>2時，四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說明理由(2)若M、N分別是AD、BC的中點，線段MN分別交AC、BD于點P，Q，PQ1，且AB<CD，求AB、CD的長 (2003年哈爾濱市中考題)思路點撥 對于(2)，易建立含AC、BD及m的關(guān)系式，要求出m值，還需運用與中點相關(guān)知識找尋CD、AB的另一隱含關(guān)系式 注：在處理以線段的長為根的一元二次方程問題時，往往通過韋達定理、幾何性質(zhì)將幾何問題從“形”向“數(shù)”(方程)轉(zhuǎn)化，既要注意通過根的判別式的檢驗，又要考慮幾何量的非負(fù)性 學(xué)歷訓(xùn)練 1(1)已知和為一元二次方程的兩個實根，并和滿足不等式，則實數(shù)取值范圍是 (2)已知關(guān)于的一元二次方程有兩個負(fù)數(shù)根，那么實數(shù)的取值范圍是 2已知、是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為 3CD是RtABC斜邊上的高線，AD、BD是方程的兩根，則ABC的面積是 4設(shè)、是關(guān)于的方程的兩根，+1、+1是關(guān)于的方程的兩根，則、的值分別等于( ) A1，-3 B1，3 C-1，-3 D-1，3 5在RtABC中，C90，a、b、c分別是A、B、C的對邊，a、b是關(guān)于的方程的兩根，那么AB邊上的中線長是( ) A B C5 D26方程恰有兩個正整數(shù)根、，則的值是( ) A1 B-l C D 7若關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根滿足關(guān)系式：，判斷是否正確? 8已知關(guān)于的方程(1) 當(dāng)是為何值時，此方程有實數(shù)根； (2)若此方程的兩個實數(shù)根、滿足：，求的值9已知方程的兩根均為正整數(shù)，且，那么這個方程兩根為 10已知、是方程的兩個根，則的值為 11ABC的一邊長為5，另兩邊長恰為方程的兩根，則m的取值范圍是 12兩個質(zhì)數(shù)、恰好是整系數(shù)方程的兩個根，則的值是( )A9413 B C D13設(shè)方程有一個正根，一個負(fù)根，則以、為根的一元二次方程為( ) A B C D14如果方程的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數(shù)m的取值范圍是( ) A0m1 Bm C Dm115如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的長為10，且AB、BC(AB>BC)的長是關(guān)于的方程的兩個根(1)求rn的值；（2）若E是AB上的一點，CFDE于F，求BE為何值時，CEF的面積是CED的面積的，請說明理由 16設(shè)m是不小于的實數(shù)，使得關(guān)于的方程工有兩個不相等的實數(shù)根、(1) 若，求m的值(2) 求的最大值 17如圖，已知在ABC中，ACB=90，過C作CDAB于D，且ADm，BD=n，AC2：BC22：1；又關(guān)于x的方程兩實數(shù)根的差的平方小于192，求整數(shù)m、n的值18設(shè)、為三個不同的實數(shù)，使得方程和和有一個相同的實數(shù)根，并且使方程和也有一個相同的實數(shù)根，試求的值 參考答案 最新精品資料