【備戰(zhàn)2016】（湖北版）高考數(shù)學(xué)分項匯編 專題09 圓錐曲線（含解析）理一選擇題1.【2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷5】雙曲線離心率為2，有一個焦點與拋物線的焦點重合，則mn的值為（ ）A B C D【答案】A【解析】試題分析：拋物線的焦點為(1,0)，得m=,n=,mn=，選A.2.【2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷】設(shè)過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點，點與點關(guān)于軸對稱，為坐標原點，若且，則點的軌跡方程是 ( )A BC D3.【2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷7】雙曲線的左準線為，左焦點和右焦點分別為和；拋物線的準線為，焦點為與的一個交點為，則等于 （ ）A B C D4.【2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷10】如圖所示，“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點P軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道繞月飛行，若用2c1和2c2分別表示橢軌道和的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道和的長軸的長，給出下列式子：a1+c1=a2+c2;a1-c1=a2-c2;c1a2a1c1;.其中正確式子的序號是（ ）A. B.C.D.【答案】B【解析】試題分析：由焦點到頂點的距離可知正確，由橢圓的離心率知正確，故應(yīng)選B5.【2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷7】已知雙曲線的準線過橢圓的焦點，則直線與橢圓至多有一個交點的充要條件是（ ）A. B. C. D. 6.【2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷2】設(shè)集合，則的子集的個數(shù)是（ ）A4 B3 C 2 D1【答案】A【解析】試題分析：畫出橢圓和指數(shù)函數(shù)圖象，可知其有兩個不同交點，記為A1、A2，則的子集應(yīng)為共四種，故選A.7.【2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷4】將兩個頂點在拋物線上，另一個頂點是拋物線焦點的正三角形個數(shù)記為n，則（ ） A. B. C. D. 8.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷5】已知，則雙曲線與的（ ）A.實軸長相等 B.虛軸長相等 C.焦距相等 D. 離心率相等【答案】D【解析】試題分析：雙曲線的離心率是，雙曲線的離心率是，故選D.9.【2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷9】已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是他們的一個公共點，且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（ ）A. B. C.3 D.2所以.所以橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為，故選A.考點：橢圓、雙曲線的定義與性質(zhì)，利用三角換元法求最值，難度中等.10. 【2015高考湖北，理8】將離心率為的雙曲線的實半軸長和虛半軸長同時增加個單位長度，得到離心率為的雙曲線，則（ ） A對任意的， B當時，；當時，C對任意的， D當時，；當時，二填空題1.【2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷14】如圖，雙曲線的兩頂點為，虛軸兩端點為，兩焦點為，. 若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，切點分別為. 則：A1 A2 yB2 B1AO BCDF1 F2 x（）雙曲線的離心率 ；（）菱形的面積與矩形的面積的比值 .三解答題1.【2005年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】設(shè)A、B是橢圓上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點. （）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；（）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明理由. （此題不要求在答題卡上畫圖） 【解析】 （）解法1：依題意，可設(shè)直線AB的方程為，整理得 設(shè)是方程的兩個不同的根， 同理可得 當時，假設(shè)存在>12，使得A、B、C、D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心.點M到直線AB的距離為 于是，由、式和勾股定理可得計算可得，A在以CD為直徑的圓上.又B為A關(guān)于CD的對稱點，A、B、C、D四點共圓.（注：也可用勾股定理證明ACAD）2.【2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷】設(shè)分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準線。（）、求橢圓的方程；（）、設(shè)為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線分別與橢圓相交于異于的點，證明點在以為直徑的圓內(nèi)。（此題不要求在答題卡上畫圖）解法2：由（）得A（2，0），B（2，0）.設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則2<x1<2，2<x2<2，又MN的中點Q的坐標為（，），依題意，計算點B到圓心Q的距離與半徑的差(2）2（）2(x1x2)2(y1y2)2 （x12) (x22)y1y1 又直線AP的方程為y，直線BP的方程為y，而點兩直線AP與BP的交點P在準線x4上，即y2 又點M在橢圓上，則，即 于是將、代入，化簡后可得.從而，點B在以MN為直徑的圓內(nèi).3.【2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷19】在平面直角坐標系xOy中，過定點C(0，p)作直線與拋物線x2=2px(p>0)相交于A、B兩點.（）若點N是點C關(guān)于坐標原點O的對稱點，求ANB面積的最小值；（）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由.（此題不要求在答題卡上畫圖）NOACByxl4.【2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷19】如圖，在以點O為圓心，|AB|=4為直徑的半圓ADB中，ODAB，P是半圓弧上一點，POB=30，曲線C是滿足|MA|-|MB|為定值的動點M的軌跡，且曲線C過點P.（）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担笄€C的方程；（）設(shè)過點D的直線l與曲線C相交于不同的兩點E、F.若OEF的面積不小于2，求直線l斜率的取值范圍.【解析】（）解法1：以O(shè)為原點，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，則A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依題意得MA-MB=PA-PBAB4.曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線.設(shè)實平軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，則c2，2a2，a2=2,b2=c2-a2=2.曲線C的方程為.解法2：同解法1建立平面直角坐標系，則依題意可得MA-MB=PA-PBAB4.曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線.設(shè)雙曲線的方程為0，b0）.則由 解得a2=b2=2,曲線C的方程為()解法1：依題意，可設(shè)直線l的方程為ykx+2，代入雙曲線C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F， k（-,-1）（-1，1）（1，）.設(shè)E（x，y），F(xiàn)(x2,y2)，則由式得x1+x2=,于是EF而原點O到直線l的距離d，SDEF=綜合、知，直線l的斜率的取值范圍為-，-1（-1，1）（1，）.5.【2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷20】過拋物線的對稱軸上一點的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向直線作垂線，垂足分別為、。（）當時，求證：；（）記、 、的面積分別為、，是否存在，使得對任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，說明理由。 6.【2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷19】已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F（1,0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.()求曲線C的方程；（）是否存在正數(shù)m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A,B的任一直線，都有？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由。7.【2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷20】平面內(nèi)與兩定點連線的斜率之積等于非零常數(shù)的m的點的軌跡，加上兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓、或雙曲線。 （）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關(guān)系； （）當m=-1時，對應(yīng)的曲線為；對給定的，對應(yīng)的曲線為。設(shè)是的兩個焦點。試問：在上是否存在點N,使得的面積。若存在，求的值，若不存在，請說明理由。由的，由得，當，即或時，存在點N使得，；8.【2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】設(shè)是單位圓上的任意一點，是過點與軸垂直的直線，是直線與 軸的交點，點在直線上，且滿足. 當點在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線（）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標； （）過原點且斜率為的直線交曲線于，兩點，其中在第一象限，它在軸上的射影為點，直線交曲線于另一點. 是否存在，使得對任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，請說明理由. 【解析】（）如圖1，設(shè)，則由，可得，所以，. 因為點在單位圓上運動，所以. 將式代入式即得所求曲線的方程為. 9.【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】如圖，已知橢圓與的中心在坐標原點，長軸均為且在軸上，短軸長分別為，過原點且不與軸重合的直線與，的四個交點按縱坐標從大到小依次為，。記，和的面積分別為和。（I）當直線與軸重合時，若，求的值；（II）當變化時，是否存在與坐標軸不重合的直線，使得？并說明理由。第21題圖【解析】（I），解得：（舍去小于1的根）10.【2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷21】在平面直角坐標系中，點到點的距離比它到軸的距離多1，記點的軌跡為.（I）求軌跡為的方程；（II）設(shè)斜率為的直線過定點，求直線與軌跡恰好有一個公共點，兩個公共點，三個公共點時的相應(yīng)取值范圍.【答案】（I）；（II）當時直線與軌跡恰有一個公共點； 當時，故此時直線與軌跡恰有兩個公共點； 當時，故此時直線與軌跡恰有三個公共點.【解析】試題分析：（I）設(shè)點，根據(jù)條件列出等式，在用兩點間的距離公式表示，化簡整理即得；（II）在點的軌跡中，記，設(shè)直線的方程為即當時，直線與有一個共點，與有一個公共點.當時 ，直線與有兩個共點，與沒有公共點.故當時，故此時直線與軌跡恰有兩個公共點.11. 【2015高考湖北，理21】一種作圖工具如圖1所示是滑槽的中點，短桿可繞轉(zhuǎn)動，長桿通過處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽AB滑動，且，當栓子在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運動時，帶動繞轉(zhuǎn)動一周（不動時，也不動），處的筆尖畫出的曲線記為以為原點，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標系（）求曲線C的方程；（）設(shè)動直線與兩定直線和分別交于兩點若直線總與曲線有且只有一個公共點，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由 xDOMNy第21題圖2第21題圖1 【答案】（）；（）存在最小值8.【解析】（）設(shè)點，依題意，第21題解答圖，且，所以，且即且 由于當點不動時，點也不動，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲線的方程為 當時，.因，則，所以，當且僅當時取等號.所以當時，的最小值為8.綜合（1）（2）可知，當直線與橢圓在四個頂點處相切時，的面積取得最小值8. 考點：橢圓的標準方程、幾何性質(zhì),直線與圓、橢圓的位置關(guān)系，最值.