精編北師大版數(shù)學(xué)資料第一課時(shí)離散型隨機(jī)變量的均值 求離散型隨機(jī)變量的均值例1(重慶高考)某商場(chǎng)舉行的“三色球”購(gòu)物摸獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)定：在一次摸獎(jiǎng)中，摸獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有3個(gè)紅球與4個(gè)白球的袋中任意摸出3個(gè)球，再?gòu)难b有1個(gè)藍(lán)球與2個(gè)白球的袋中任意摸出1個(gè)球，根據(jù)摸出4個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù)，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)如下：獎(jiǎng)級(jí)摸出紅、藍(lán)球個(gè)數(shù)獲獎(jiǎng)金額一等獎(jiǎng)3紅1藍(lán)200元二等獎(jiǎng)3紅0藍(lán)50元三等獎(jiǎng)2紅1藍(lán)10元其余情況無(wú)獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí)(1)求一次摸獎(jiǎng)恰好摸到1個(gè)紅球的概率；(2)求摸獎(jiǎng)?wù)咴谝淮蚊?jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.思路點(diǎn)撥(1)利用古典概型結(jié)合計(jì)數(shù)原理直接求解(2)先確定離散型隨機(jī)變量的取值，求出相應(yīng)的概率分布，進(jìn)一步求出隨機(jī)變量的期望值精解詳析設(shè)Ai表示摸到i個(gè)紅球，Bj表示摸到j(luò)個(gè)藍(lán)球，則Ai(i0,1,2,3)與Bj(j0,1)獨(dú)立(1)恰好摸到1個(gè)紅球的概率為P(A1).(2)X的所有可能值為0,10,50,200，且P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1)，P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0)，P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1)，P(X0)1.綜上知，X的分布列為X01050200P從而有EX010502004(元)一點(diǎn)通求離散型隨機(jī)變量X的均值的步驟(1)理解X的意義，寫(xiě)出X可能取的全部值；(2)求X取每個(gè)值的概率；(3)寫(xiě)出X的分布列(有時(shí)可以省略)；(4)利用定義公式EXx1p1x2p2xnpn，求出均值1(廣東高考)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123P則X的數(shù)學(xué)期望EX()A.B2C. D3解析：EX123.答案：A2某高等學(xué)院自愿獻(xiàn)血的20位同學(xué)的血型分布情形如下表：血型ABABO人數(shù)8732(1)現(xiàn)從這20人中隨機(jī)選出兩人，求兩人血型相同的概率；(2)現(xiàn)有A血型的病人需要輸血，從血型為A、O的同學(xué)中隨機(jī)選出2人準(zhǔn)備獻(xiàn)血，記選出A血型的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX.解：(1)從20人中選出兩人的方法數(shù)為C190，選出兩人同血型的方法數(shù)為CCCC53，故兩人血型相同的概率是.(2)X的取值為0,1,2，P(X0)，P(X1)，P(X2).X的分布列為X012PEX012.二項(xiàng)分布及超幾何分布的均值例2甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率為，記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，乙擊中目標(biāo)的次數(shù)為Y，求(1)X的概率分布；(2)X和Y的數(shù)學(xué)期望思路點(diǎn)撥甲、乙擊中目標(biāo)的次數(shù)均服從二項(xiàng)分布精解詳析(1)P(X0)C3，P(X1)C3，P(X2)C3，P(X3)C3.所以X的概率分布如下表：X0123P(2)由題意XB，YB，EX31.5，EY32.一點(diǎn)通如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布即XB(n，p)，則EXnp；如果隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布時(shí)，則EXn，以上兩特例可以作為常用結(jié)論，直接代入求解，從而避免了繁雜的計(jì)算過(guò)程3若隨機(jī)變量XB，EX2，則P(X1)等于_解析：由XBEXn2，n4，P(X1)C13.答案：4袋中有7個(gè)球，其中有4個(gè)紅球，3個(gè)黑球，從袋中任取3個(gè)球，以X表示取出的紅球數(shù)，則EX為_(kāi)解析：由題意知隨機(jī)變量X服從N7，M4，n3的超幾何分布，則EX3.答案：5(浙江高考)已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，且規(guī)定：取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分現(xiàn)從該箱中任取(無(wú)放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)3個(gè)球，記隨機(jī)變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和(1)求X的分布列；(2)求X的數(shù)學(xué)期望EX.解：(1)由題意得X取3,4,5,6，且P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).所以X的分布列為X3456P(2)由(1)知EX3P(X3)4P(X4)5P(X5)6P(X6).數(shù)學(xué)期望的實(shí)際應(yīng)用例3某商場(chǎng)準(zhǔn)備在“五一”期間舉行促銷(xiāo)活動(dòng)根據(jù)市場(chǎng)行情，該商場(chǎng)決定從3種服裝商品、2種家電商品、4種日用商品中，選出3種商品進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)(1)試求選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率；(2)商場(chǎng)對(duì)選出的家電商品采用的促銷(xiāo)方案是有獎(jiǎng)銷(xiāo)售，即在該商品成本價(jià)的基礎(chǔ)上提高180元作為售價(jià)銷(xiāo)售給顧客，同時(shí)允許顧客有3次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，若中獎(jiǎng)一次，就可以獲得一次獎(jiǎng)金假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)時(shí)獲獎(jiǎng)的概率都是，且每次獲獎(jiǎng)時(shí)的獎(jiǎng)金數(shù)額相同，請(qǐng)問(wèn)：該商場(chǎng)應(yīng)將每次中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金數(shù)額至多定為多少元，此促銷(xiāo)方案才能使商場(chǎng)自己不虧本？思路點(diǎn)撥(1)利用間接法求概率；(2)先求中獎(jiǎng)的期望，再列不等式求解精解詳析(1)設(shè)選出的3種商品中至少有一種是日用商品為事件A，則P(A)1.即選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率為.(4分)(2)設(shè)顧客抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)次數(shù)為X，則X0,1,2,3，于是P(X0)，P(X1)C2，P(X2)C2，P(X3)，顧客中獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)期望EX01231.5.(10分)設(shè)商場(chǎng)將每次中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金數(shù)額定為x元，則1.5x180，解得x120，即該商場(chǎng)應(yīng)將每次中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金數(shù)額至多定為120元，才能使自己不虧本(12分)一點(diǎn)通處理與實(shí)際問(wèn)題有關(guān)的均值問(wèn)題，應(yīng)首先把實(shí)際問(wèn)題概率模型化，然后利用有關(guān)概率的知識(shí)去分析相應(yīng)各事件可能性的大小，并寫(xiě)出分布列，最后利用有關(guān)的公式求出相應(yīng)的概率及均值6(湖南高考)某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和，現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B，設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬(wàn)元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)100萬(wàn)元，求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列和數(shù)學(xué)期望解：記E甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功，F(xiàn)乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功由題設(shè)知P(E)，P()，P(F)，P().且事件E與F，E與，與F，與都相互獨(dú)立(1)記H至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功，則 ，于是P()P()P()，故所求的概率為P(H)1P()1.(2)設(shè)企業(yè)可獲利潤(rùn)為X(萬(wàn)元)，則X的可能取值為0,100,120,220.因P(X0)P( )，P(X100)P(F)，P(X120)P(E)，P(X220)P(EF).故所求的X分布列為X0100120220P數(shù)學(xué)期望為E(X)0100120220140.7某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為0.3，一旦發(fā)生，將造成400萬(wàn)元的損失現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可供采用單獨(dú)采用甲、乙預(yù)防措施所需的費(fèi)用分別為45萬(wàn)元和30萬(wàn)元，采用相應(yīng)的預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率為0.9和0.85.若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨(dú)采取、聯(lián)合采取或不采取，請(qǐng)確定預(yù)防方案使總費(fèi)用最少(總費(fèi)用采取預(yù)防措施的費(fèi)用發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值)解：不采取預(yù)防措施時(shí)，總費(fèi)用即損失期望值為E14000.3120(萬(wàn)元)；若單獨(dú)采取預(yù)防措施甲，則預(yù)防措施費(fèi)用為45萬(wàn)元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為10.90.1，損失期望值為E24000.140(萬(wàn)元)，所以總費(fèi)用為454085(萬(wàn)元)；若單獨(dú)采取預(yù)防措施乙，則預(yù)防措施費(fèi)用為30萬(wàn)元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為10.850.15，損失期望值為E34000.1560(萬(wàn)元)，所以總費(fèi)用為306090(萬(wàn)元)；若聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，則預(yù)防措施費(fèi)用為453075(萬(wàn)元)，發(fā)生突發(fā)事件的概率為(10.9)(10.85)0.015，損失期望值為E44000.0156(萬(wàn)元)，所以總費(fèi)用為75681(萬(wàn)元)綜合，比較其總費(fèi)用可知，選擇聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，可使總費(fèi)用最少1求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的方法步驟：(1)寫(xiě)出隨機(jī)變量所有可能的取值(2)計(jì)算隨機(jī)變量取每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率(3)寫(xiě)出分布列，求出數(shù)學(xué)期望2離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)Ecc(c為常數(shù))；E(aXb)aEXb(a，b為常數(shù))；E(aX1bX2)aEX1bEX2(a，b為常數(shù)) 1一名射手每次射擊中靶的概率均為0.8，則他獨(dú)立射擊3次中靶次數(shù)X的均值為()A0.8B0.83C3 D2.4解析：射手獨(dú)立射擊3次中靶次數(shù)X服從二項(xiàng)分布，即XB(3,0.8)，EX30.82.4.答案：D2已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布如下：X012P0.33k4k隨機(jī)變量Y2X1，則Y的數(shù)學(xué)期望為()A1.1 B3.2C11k D33k1解析：由題意知，0.33k4k1，k0.1.EX00.310.320.41.1，EYE(2X1)2EX12.213.2.答案：B3口袋中有5個(gè)球，編號(hào)為1,2,3,4,5，從中任取3個(gè)球，以X表示取出的球的最大號(hào)碼，則EX()A4 B5C4.5 D4.75解析：X的取值為5,4,3.P(X5)，P(X4)，P(X3).EX5434.5.答案：C4(湖北高考)如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體經(jīng)過(guò)攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值EX()A. B.C. D.解析：由題意知X可能為0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，EX0P(X0)1P(X1)2P(X2)3P(X3)0123，故選B.答案：B5設(shè)10件產(chǎn)品有3件次品，從中抽取2件進(jìn)行檢查，則查得次品數(shù)的均值為_(kāi)解析：設(shè)查得次品數(shù)為X，由題意知X服從超幾何分布且N10，M3，n2.EXn2.答案：6某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下X78910Px0.10.3y已知EX8.9，則y的值為_(kāi)解析：由解得y0.4.答案：0.47某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)過(guò)第一道和第二道工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，每道工序的加工結(jié)果均有A，B兩個(gè)等級(jí)對(duì)每種產(chǎn)品，兩道工序的加工結(jié)果都為A級(jí)時(shí)，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品表一 工序概率產(chǎn)品第一道工序第二道工序甲0.80.85乙0.750.8表二 等級(jí)利潤(rùn)產(chǎn)品一等二等甲5(萬(wàn)元)2.5(萬(wàn)元)乙2.5(萬(wàn)元)1.5(萬(wàn)元)(1)已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為A級(jí)的概率如表一所示，分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P甲、P乙；(2)已知一件產(chǎn)品的利潤(rùn)如表二所示，用X，Y分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤(rùn)，在(1)的條件下，分別求甲、乙兩種產(chǎn)品利潤(rùn)的分布列及均值解：(1)P甲0.80.850.68，P乙0.750.80.6.(2)隨機(jī)變量X，Y的分布列是X52.5P0.680.32Y2.51.5P0.60.4EX50.682.50.324.2，EY2.50.61.50.42.1.所以甲、乙兩種產(chǎn)品利潤(rùn)的均值分別為4.2萬(wàn)元、2.1萬(wàn)元8(山東高考)甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果互相獨(dú)立(1)分別求甲隊(duì)以30,31,32勝利的概率；(2)若比賽結(jié)果為30或31，則勝利方得3分、對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為32，則勝利方得2分、對(duì)方得1分求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望解：(1)記“甲隊(duì)以30勝利”為事件A1，“甲隊(duì)以31勝利”為事件A2，“甲隊(duì)以32勝利”為事件A3，由題意知，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故P(A1)3，P(A2)C2，P(A3)C22.所以，甲隊(duì)以30勝利、以31勝利的概率都為，以32勝利的概率為.(2)設(shè)“乙隊(duì)以32勝利”為事件A4，由題意知，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，所以P(A4)C22.由題意知，隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0,1,2,3，根據(jù)事件的互斥性得P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2)，又P(X1)P(A3)，P(X2)P(A4)，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)，故X的分布列為X0123P所以EX0123.