角平分線的輔助線構造,截長補短,中點輔助線的構造,1,手拉手,對角互補,半角,2,中點輔助線,三角形中線,等腰三角形底邊中點,三角形中位線,直角三角形斜邊的中線,3,1：ABC中，AB=20，AC=12，求中線AD的取值范圍,4,旋轉180°，構建中心對稱，將三條相關線放到一個三角形中，找它們的關系,5,已知在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF=EF,6,7,如圖，在RtABC中，BAC=90°，點D為BC的中點，點E、F分別為AB、AC上的點，且EDFD，試判斷線段BE、EF、FC的數(shù)量關系.,8,9,在ABC中，D是BC的中點，DMDN，如果BM2+CN2=DM2+DN2，求證：AD2= （AB2+AC2）.,10,11,已知ABC 中，AB AC ，CE 是AB 邊上的中線，延長AB 到D ，使BDAB ，求證：CD 2CE,12,13,14,已知在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長線上，DE交BC于F，且DF=EF，求證：BD=CE,15,16,在正方形ABCD中,點E、F分別為BC和AB的中點求證：AM=AD,17,18,問題1：如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連接EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點M、N，求證：BME=CNE,19,20,問題二：如圖，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點O，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連接EF，分別交DC、AB于點M、N，判斷OMN的形狀，請直接寫出結論；,21,22,問題三：如圖3，在ABC中，ACAB，D點在AC上，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連接EF并延長，與BA的延長線交于點G，若EFC=60°，連接GD，判斷AGD的形狀并證明,23,24,在ABC中，ACB=90°，AC= BC，以BC為底作等腰直角BCD，E是CD的中點，求證： AEEB且AE=BE,25,26,如圖甲，操作：把正方形CGEF的對線CE放在正方形ABCD的邊BC的延長線上（CGBC），取線段AE的中點M （1）探究線段MD、MF的位置及數(shù)量關系，直接寫出答案即可；,27,28,（2）將正方形CGEF繞點C逆時針旋轉45°（如圖乙），令CG=2BC其他條件不變，結論是否發(fā)生變化，并加以證明；,29,（3）將正方形CGEF繞點C旋轉任意角度后（如圖丙），其他條件不變探究：線段MD，MF的位置及數(shù)量關系，并加以證明,30,31,四邊形ABC D是正方形，BEF是等腰直角三角形，BEF=90°，BE=EF，連接DF，G為DF的中點，連接EG，CG，EC。 （1）如圖，若點E在CB 邊的延長線上，直接寫出EG與GC的位置關系及EC/GC的值；,32,33,（2）將圖24-1中的BEF繞點B順時針旋轉至圖24-2所示位置，請問（1）中所得的結論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,角平分線的輔助線構造,44,45,如圖，RtABC中，ACB=90°，CDAB，垂足為D. AF平分CAB，交CD于點E，交CB于點F 求證：CE= CF.,46,將上圖中的ADE沿AB向右平移到A'D'E'，的位置，使點E，落在BC邊上，其它條件不變，如圖所示試猜想：BE'與CF有怎樣的數(shù)量關系？請證明你的結論,47,48,如圖，已知等腰直角三角形ABC中，A=90°，AB=AC，BD平分ABC，CEBD，垂足為點E，求證：BD=2CE.,49,50,如圖，BD、CE分別是ABC的外角平分線，過點A作ADBD、AECE，垂足分別為D、E，連接DE.求證：DEBC，DE= (AB+BC+AC),51,52,BD、CE分別是ABC的內(nèi)角平分線，其它條件不變；DE與BC還平行嗎？它與ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關系？,53,54,如圖，BD為ABC的內(nèi)角平分線，CE為ABC的外角平分線，其它條件不變，DE與BC還平行嗎？它與ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關系？,55,56,截長補短,若遇到證明線段的和差關系時，通?？紤]截長補短法，構造全等三角形截長：在較長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條補短：將一條較短線段延長，延長部分等于另一條較短線段，然后證明新線段等于較長線段；或延長一條較短線段等于較長線段，然后證明延長部分等于另一條較短線段,57,已知：如圖，ABC中，AD平分BAC，若C=2B,證明：AB=AC+CD.,58,59,在四邊形ABCD中，E為BC中點，F(xiàn)為CD上一點，AE是BAF的平分線.求證：AF=CF+AB.,60,61,如圖，在ABC中，AD是BAC的外角平分線，P是AD上異于點A的任意一點，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由,62,63,如圖在ABC中，ABAC，12，P為AD上任意一點， 求證：ABACPBPC,64,65,正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延長線上，CM=AN，點E在BD上，NE平分DNM。過E作EFMN，垂足為F，請問MN、AD、EF有什么數(shù)量關系？,66,67,已知：如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=60°，BCD=120°，求證：BC+DC=AC.,68,69,70,ADBC，點E在線段AB上，CE，DE分別為BCD和ADC的角平分線.求證：CD=AD+BC.,71,72,如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=BC，A=C=90°，B=135°，K、N分別是AB、BC 上的點，若BKN的周長為AB的2倍，求KDN的度數(shù),73,74,在ABCD中，E是AD上一點，AE=AB，過點E作直線EF，在EF上取一點G，使得EGB=EAB，連接AG. （1）如圖1，當EF與AB相交時，若EAB=60°，求證：EG =AG+BG；,75,76,如圖2，當EF與AB相交時，若EAB= （0º90º），請你直接寫出線段EG、AG、BG之間的數(shù)量關系（用含的式子表示）；,77,78,如圖3，當EF與CD相交時，且EAB=90°，請你寫出線段EG、AG、BG之間的數(shù)量關系，并證明你的結論.,79,80,手拉手全等,等邊三角形,等腰直角三角形,等腰三角形,81,（1）ABEDBC； （2）AE=DC； （3）AE與DC的夾角為60°；（4）AGBDFB； （5）EGBCFB； （6）BH平分AHC；GFAC,在直線ABC的同一側作兩個等邊三角形ABD和BCE，連接AE與CD，,82,83,（1）ABEDBC； （2）AE=DC； （3）AE與DC的夾角為60°； （4）AE與DC的交點設為H,BH平分AHC,84,85,（1）ADGCDE是否成立？ （2）AG是否與CE相等？ （3）AG與CE之間的夾角為多少度？ （4）HD是否平分AHE？,86,87,手拉手全等條件,88,手拉手全等條件： （1）OA=OB；OCOD （2）AOBCOD 結論： （1）OACOBD（SAS） （2）AC與BD夾角等于AOB（八字導角）,89,如圖1，已知DAC=90°，ABC是等邊三角形，點P為射線AD任意一點（P與A不重合），連結CP，將線段CP繞點C順時針旋轉60°得到線段CQ，連結QB并延長交直線AD于點E. （1）如圖1，猜想QEP=_°；,90,91,（2）如圖2，3，若當DAC是銳角或鈍角時，其它條件不變，猜想QEP的度數(shù)，選取一種情況加以證明； （3）如圖3，若DAC=135°，ACP=15°，且AC=4，求BQ的長,92,93,94,在ABC中，AB=BC=2，ABC=90°，BD為斜邊AC上的中線，將ABD繞點D順時針旋轉(0°180°)得到EFD，其中點A的對應點為點E，點B的對應點為點F，BE與FC相交于點H. （1）如圖1，直接寫出BE與FC的數(shù)量關系,95,96,（2）如圖2，M、N分別為EF、BC的中點.求證：MN= FC;,97,98,（3）連接BF，CE，如圖3，直接寫出在此旋轉過程中，線段BF、CE與AC之間的數(shù)量關系： .,99,100,101,102,103,遇60°，造60°，構造等邊三角形 遇90°，轉90°，構造等腰直角三角形 遇等腰，轉頂角 遇中點，轉180°，構造中心對稱,104,105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,對角互補,90°+90°,任意角兩個角互補,120°+60°,115,已知：ABCADC90°，BD平分ABC，BD=a；,（1）CD與AD的數(shù)量關系 （2）AB、BC、BD之間的數(shù)量關系 （3）四邊形ABCD的面積,116,117,已知：ABCADC90°，BD平分ABC，,（1）CD與AD的數(shù)量關系 （2）AB、BC、BD之間的數(shù)量關系 （3）四邊形ABCD的面積,118,119,（1）CD與AD的數(shù)量關系 （2）AB、BC、BD之間的數(shù)量關系 （3）四邊形ABCD的面積,120,121,對角互補條件： （1）ABC+ADC=180° （2）BD平分ABC 結論： （1）AD=CD （2）AB+BC=2BD·cos（1/2ABC） 條件（2）與結論（1）可互換,122,已知，點P是MON的平分線上的一動點，射線PA交射線OM于點A，將射線PA繞點P逆時針旋轉交射線ON于點B，且使APB+MON=180° （1）利用圖1，求證：PA=PB；,123,（2）如圖2，若點C是AB與OP的交點，當SPOB=3SPCB時，求PC與PB的比值；,124,（3）若MON=60°，OB=2，射線AP交ON于點D，且滿足且PBD=ABO，請借助圖3補全圖形，并求OP的長,125,126,127,128,129,130,131,132,133,134,135,136,137,138,半角模型,90°45°,一般角與一半,120°60°,139,140,141,142,143,144,正方形ABCD中，點E在CD延長線上，點F在BC延長線上，EAF=45°。 請問現(xiàn)在EF、DE、BF又有什么數(shù)量關系？,145,146,147,148,149,150,151,152,如圖2，E為BA延長線上一點，F(xiàn)為BC延長線上一點，且EDF=60°，試探索線段BE、CF與線段EF之間的數(shù)量關系.,153,154,155,156,正方形ABCD中，邊長為4，點E在射線BC上，且CE=2,射線AM交射線BD于N點，且EAN=45°，求BN的長.,157,158,159,160,