機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)1 、機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)研究的是機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)，而不考慮產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)的力。運(yùn)動(dòng)學(xué)研究機(jī)械臂的位置，速度和加速度。 機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)的研究涉及到的幾何和基于時(shí)間的內(nèi)容，特別是各個(gè)關(guān)節(jié)彼此之間的關(guān)系以及隨時(shí)間變化規(guī)律。典型的機(jī)械臂由一些串行連接的關(guān)節(jié)和連桿組成。每個(gè)關(guān)節(jié)具有一個(gè)自由度，平移或旋轉(zhuǎn)。對(duì)于具有 n 個(gè)關(guān)節(jié)的機(jī)械臂，關(guān)節(jié)的編號(hào)從1 到 n ，有 n +1 個(gè)連桿，編號(hào)從 0到 n。連桿0 是機(jī)械臂的基礎(chǔ)， 一般是固定的， 連桿 n 上帶有末端執(zhí)行器。 關(guān)節(jié) i 連接連桿 i和連桿 i-1 。一個(gè)連桿可以被視為一個(gè)剛體，確定與它相鄰的兩個(gè)關(guān)節(jié)的坐標(biāo)軸之間的相對(duì)位置。一個(gè)連桿可以用兩個(gè)參數(shù)描述， 連桿長(zhǎng)度和連桿扭轉(zhuǎn)， 這兩個(gè)量定義了與它相關(guān)的兩個(gè)坐標(biāo)軸在空間的相對(duì)位置。而第一連桿和最后一個(gè)連桿的參數(shù)沒(méi)有意義，一般選擇為0 。一個(gè)關(guān)節(jié)用兩個(gè)參數(shù)描述， 一是連桿的偏移， 是指從一個(gè)連桿到下一個(gè)連桿沿的關(guān)節(jié)軸線的距離。二是關(guān)節(jié)角度，指一個(gè)關(guān)節(jié)相對(duì)于下一個(gè)關(guān)節(jié)軸的旋轉(zhuǎn)角度。為了便于描述的每一個(gè)關(guān)節(jié)的位置，我們?cè)诿恳粋€(gè)關(guān)節(jié)設(shè)置一個(gè)坐標(biāo)系，對(duì)于一個(gè)關(guān)節(jié)鏈，Denavit 和 Hartenberg提出了一種用矩陣表示各個(gè)關(guān)節(jié)之間關(guān)系的系統(tǒng)方法。對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié) i，規(guī)定它的轉(zhuǎn)動(dòng)平行于坐標(biāo)軸zi-1 ，坐標(biāo)軸 xi-1 對(duì)準(zhǔn)從 zi-1 到 zi 的法線方向，如果 zi-1 與z相交，則 xi-1取 zi-1z的方向。連桿，關(guān)節(jié)參數(shù)概括如下：ii連桿長(zhǎng)度 a i沿著 xi 軸從 zi-1和 zi 軸之間的距離 ;連桿扭轉(zhuǎn) i從 zi-1 軸到 zi 軸相對(duì) xi-1 軸夾角 ;連桿偏移 d i從坐標(biāo)系 i-1 的原點(diǎn)沿著 zi-1 軸到 xi 軸的距離 ;關(guān)節(jié)角度 ixi-1 軸和 xi 軸之間關(guān)于 zi-1 軸的夾角。1對(duì)于一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)i 是關(guān)節(jié)變量， d i 是常數(shù)。而移動(dòng)關(guān)節(jié)d i 是可變的， i 是恒定的。為了統(tǒng)一，表示為qii轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)di移動(dòng)關(guān)節(jié)運(yùn)用Denavit-Hartenberg（ DH ）方法，可以將相鄰的兩個(gè)坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系表示為一個(gè) 4x4 的齊次變換矩陣cos isin i cosisini siniai cos ii 1 Asin icos i cos icos isin iai sin ii0sin icosdii0001上式表示出了坐標(biāo)系i 相對(duì)于坐標(biāo)系i-1 的關(guān)系。即0Ti0Ti 1 i 1 Ai其中 0Ti 表示坐標(biāo)系 i 相對(duì)于世界坐標(biāo)系 0的位置與姿態(tài)，簡(jiǎn)稱位姿。2 、正向和反向運(yùn)動(dòng)學(xué)對(duì)于一個(gè)n- 軸剛性連接的機(jī)械臂，正向運(yùn)動(dòng)學(xué)的解給出的是最后一個(gè)連桿坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)。重復(fù)利用上式,得到0Tn0 A1 1 A2n 1 AnK (q)機(jī)械臂末端位姿在笛卡爾坐標(biāo)系中有6 個(gè)自由度， 3 個(gè)平移， 3 個(gè)旋轉(zhuǎn)。所以，一般來(lái)說(shuō)具有 6 個(gè)自由度的機(jī)械臂可以使末端實(shí)現(xiàn)任意的位姿。總的機(jī)械臂變換0Tn 一般簡(jiǎn)寫(xiě)為T(mén)n ，對(duì) 6 個(gè)自由度的機(jī)械臂簡(jiǎn)寫(xiě)為T(mén)6 。對(duì)于任意的機(jī)械臂，無(wú)論其它有多少個(gè)關(guān)節(jié)，具有什么結(jié)構(gòu)，正向運(yùn)動(dòng)學(xué)解都是可以得到的。在機(jī)械臂的路徑規(guī)劃中，用到的是反向運(yùn)動(dòng)學(xué)的解qK 1( 0Tn ) ，它給出了特定的末端位姿對(duì)應(yīng)的機(jī)械臂的關(guān)節(jié)角度。一般來(lái)說(shuō)， 反向運(yùn)動(dòng)學(xué)的解不是唯一的，對(duì)具有某種結(jié)構(gòu)的機(jī)械臂，封閉解可能不存在。2對(duì)于6 自由度的機(jī)器人而言，運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解非常復(fù)雜，一般沒(méi)有封閉解。只有在某些特殊情況下才可能得到封閉解。不過(guò)，大多數(shù)工業(yè)機(jī)器人都滿足封閉解的兩個(gè)充分條件之一（ Pieper準(zhǔn)則）（ 1 ）三個(gè)相鄰關(guān)節(jié)軸交于一點(diǎn)（ 2 ）三個(gè)相鄰關(guān)節(jié)軸相互平行如果機(jī)械臂多于6 個(gè)關(guān)節(jié)，稱關(guān)節(jié)為冗余的，這時(shí)解是欠定的。如果對(duì)于機(jī)械臂某個(gè)特別的位姿， 解不存在， 稱這個(gè)位姿為奇異位姿。機(jī)械臂的奇異性可能是由于機(jī)械臂中某些坐標(biāo)軸的重合，或位置不能達(dá)到引起的。機(jī)械臂的奇異位姿分為兩類(lèi)：(1) 邊界奇異位姿，當(dāng)機(jī)械臂的關(guān)節(jié)全部展開(kāi)或折起時(shí)，使得末端處于操作空間的邊界或邊界附近， 雅克比矩陣奇異，機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)受到物理結(jié)構(gòu)的約束，這時(shí)機(jī)械臂的奇異位姿稱為邊界奇異位姿。(2) 內(nèi)部奇異位姿，兩個(gè)或兩個(gè)以上的關(guān)節(jié)軸線重合時(shí)，機(jī)械臂各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)相互抵消，不產(chǎn)生操作運(yùn)動(dòng)，這時(shí)機(jī)械臂的奇異位姿稱為內(nèi)部奇異位姿。機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的方法可以分為兩類(lèi)： 封閉解和數(shù)值解、 在進(jìn)行逆解時(shí)總是力求得到封閉解。因?yàn)榉忾]解的計(jì)算速度快，效率高，便于實(shí)時(shí)控制。而數(shù)值解法不具有這些特點(diǎn)。機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)的封閉逆解可通過(guò)兩種途徑得到：代數(shù)法和幾何法。一般而言，非零連桿參數(shù)越多，到達(dá)某一目標(biāo)的方式也越多，即運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的數(shù)目也越多。在從多重解中選擇解時(shí)， 應(yīng)根據(jù)具體情況， 在避免碰撞的前提下通常按“ 最短行程 ”準(zhǔn)則來(lái)選擇。同時(shí)還應(yīng)當(dāng)兼顧“ 多移動(dòng)小關(guān)節(jié)，少移動(dòng)大關(guān)節(jié) ”的原則。n 個(gè)自由度的機(jī)械臂的末端位姿由n 個(gè)關(guān)節(jié)變量所決定，這n 個(gè)關(guān)節(jié)變量統(tǒng)稱為n 維關(guān)節(jié)3矢量， 記為 q 。所有的關(guān)節(jié)矢量構(gòu)成的空間稱為關(guān)節(jié)空間 。機(jī)械臂末端的位姿用6 個(gè)變量描述， 3 個(gè)平移 (x,y,z) 和 3 個(gè)旋轉(zhuǎn) (x,y,z) ，記 x= (x,y,z,x,y,z)， x 是機(jī)械臂末端在基坐標(biāo)空間中的坐標(biāo)，所有的矢量x 構(gòu)成的空間稱為操作空間或作業(yè)定向空間。工作空間是操作臂的末端能夠到達(dá)的空間范圍，即末端能夠到達(dá)的目標(biāo)點(diǎn)集合。值得指出的是， 工作空間應(yīng)該嚴(yán)格地區(qū)分為兩類(lèi)：(1) 靈活（工作）空間指機(jī)械臂末端能夠以任意方位到達(dá)的目標(biāo)點(diǎn)集合。因此，在靈活空間的每個(gè)點(diǎn)上，手爪的指向可任意規(guī)定。(2) 可達(dá)（工作）空間指機(jī)械臂末端至少在一個(gè)方位上能夠到達(dá)的目標(biāo)點(diǎn)集合。機(jī)械臂各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器的位置組成的矢量稱為驅(qū)動(dòng)矢量s，由這些矢量構(gòu)成的空間稱為驅(qū)動(dòng)空間。正向運(yùn)動(dòng)學(xué)驅(qū)動(dòng)空間關(guān)節(jié)空間工作空間運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解3 、 Jacobian矩陣機(jī)械臂的 Jacobian矩陣表示機(jī)械臂的操作空間與關(guān)節(jié)空間之間速度的線性映射關(guān)系，對(duì)于一個(gè) n 軸的機(jī)械臂，機(jī)械臂末端在基坐標(biāo)系中的速度是xJq 其中 x 是 6 個(gè)元素的向量。對(duì)于 6 個(gè)關(guān)節(jié)機(jī)械臂Jacobian矩陣是方陣，如果它是可逆的，則可以由機(jī)械臂的末端速度求出各個(gè)關(guān)節(jié)的速度。Jacobian矩陣在機(jī)械臂的奇異位姿上是不可逆的。在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)機(jī)械臂的末端位置接近奇異位置時(shí)，Jacobian矩陣是病態(tài)的，可能導(dǎo)致關(guān)節(jié)速度不能正確地得到。上式解決的是正速度問(wèn)題，即已知 q 和 q 求末端執(zhí)行器的速度x 。對(duì)于逆速度解問(wèn)題，由上4式可以得到速度逆解公式為qJ 1x ，注意到此時(shí)需要求雅可比矩陣的逆，由線性方程組理論知上式對(duì)任意的x ， q 都有解的必要條件是雅可比矩陣的秩rank(J)=6，這意味著機(jī)械臂的自由度數(shù)n 6 。這也說(shuō)明了具有冗余自由度的機(jī)械臂，在末端位姿固定的條件下，能使關(guān)節(jié)在一個(gè)較大的關(guān)節(jié)空間的子空間中運(yùn)動(dòng)，有效地避開(kāi)障礙或奇異位姿，并把關(guān)節(jié)位移限制在允許范圍內(nèi)，從而具有更大的運(yùn)動(dòng)靈活性。雅可比矩陣可以看成是從關(guān)節(jié)空間到操作空間運(yùn)動(dòng)速度的傳動(dòng)比，同時(shí)也可用來(lái)表示兩空間之間力的傳遞關(guān)系。對(duì)于冗余自由度機(jī)械臂，其雅可比矩陣是長(zhǎng)方矩陣，因 J 滿秩且方程個(gè)數(shù)少于未知數(shù)個(gè)數(shù)，所以有無(wú)窮多個(gè)解，這時(shí)，一般是求其中的最小范數(shù)解，或采用加權(quán)最小范數(shù)解也就是說(shuō)使qT Dq 最小的解， 其中 D 是對(duì)稱正定加權(quán)矩陣。此時(shí)的解是使機(jī)械臂在能量消耗最小的情況下的解。這時(shí)，逆速度問(wèn)題便轉(zhuǎn)為：求q 滿足 qJ 1x 且使 L1 qT Dq 最小。實(shí)際上等同于求性能2指標(biāo)L 在約束條件qJ 1 x下的極值。應(yīng)用Lagrange乘子法，以上極值為題的解是qD 1J T (JD 1 J T ) 1 x ，當(dāng) D= I 時(shí)，雅可比矩陣是JJ T ( JJ T ) 1 ，稱為雅可比矩陣的偽逆。下面通過(guò)一個(gè)兩自由度的平面機(jī)械臂說(shuō)明雅可比矩陣的特性，根據(jù)右圖中的幾何關(guān)系容易求得xl1 c1l2 c12c1cos( 1), c12cos(yl1 s1l 2 s12s1sin( 1 ), s12sin(1 2 )12 )兩邊微分后寫(xiě)成矩陣形式xxdx12ddyyyd1dxl1 s1 l2 s12l2 s12d即l1 c1 l 2 c12l2 c12d2dy12125簡(jiǎn)寫(xiě)成 dx=Jd ， 式中 J 就稱為機(jī)械臂的雅可比（ Jacobian ）矩陣，它由函數(shù)x，y 的偏微分組成， 反映了關(guān)節(jié)微小位移d 與機(jī)械臂末端微小運(yùn)動(dòng) dx 之間的關(guān)系。 將兩邊同除以dtdt 得到：dx/dt=Jd/dt,因此機(jī)械臂的雅可比矩陣也可以看做是操作空間中的速度與關(guān)節(jié)空間中速度的線性變換。dx/dt 稱為末端在操作空間中的廣義速度，簡(jiǎn)稱操作速度，d /dt為關(guān)節(jié)速度。 可以看出， 雅可比矩陣的每一列表示其它關(guān)節(jié)不動(dòng)而某一關(guān)節(jié)以單位速度運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的末端速度。由 Jl1 s1 l2 s12l2 s12 可以看出， J 陣的值隨末端位置的不同而不同，即1 和2 的l1 c1 l 2 c12l2 c12改變會(huì)導(dǎo)致J 的變化。 對(duì)于關(guān)節(jié)空間的某些位姿，機(jī)械臂的雅可比矩陣的秩減少，這些位姿稱為機(jī)械臂的奇異位姿。 上例機(jī)械臂雅可比矩陣的行列式為：det(J )2 =0 l1l2 sin( 2 ) ，當(dāng) 或 =180 時(shí)，機(jī)械臂的雅可比行列式為0 ，矩陣的秩為1 ，這時(shí)機(jī)械臂處于奇異位姿。機(jī)2械臂在操作空間的自由度將減少。如果機(jī)械臂的雅可比 J是滿秩的方陣，相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度即可求出，即J 1 x ，上例平面2R 機(jī)械臂的逆雅可比矩陣J 11l2 c12l2 s12l1c1 l 2c12，顯然，當(dāng) 2 趨于 0 （或l1l 2 s2l1s1 l 2s12180 ）時(shí)，機(jī)械臂接近奇異位姿，相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度將趨于無(wú)窮大。為了補(bǔ)償機(jī)器人末端執(zhí)行器位姿與目標(biāo)物體之間的誤差， 以及解決兩個(gè)不同坐標(biāo)系之間的微位移關(guān)系問(wèn)題，需要討論機(jī)器人連桿在作微小運(yùn)動(dòng)時(shí)的位姿變化。假設(shè)一變換的元素是某個(gè)變量的函數(shù)， 對(duì)該變換的微分就是該變換矩陣各元素對(duì)該變量的偏導(dǎo)數(shù)所組成的變換矩陣乘以該變量的微分。例如給定變換T 為：t11t12t13t14t21t 22t23t24Tt32t33t34t31t41t 42t43t44若它的元素是變量x 的函數(shù)，則變換T 的微分為 :6t11t12t13t14xxxxt21t22t23t 24dTxxxxdxt31t32t33t34xxxxt41t42t43t 44xxxx下面討論機(jī)械臂的微分運(yùn)動(dòng)，設(shè)機(jī)械臂某一連桿相對(duì)于基坐標(biāo)系的位姿為T(mén) ，經(jīng)過(guò)微運(yùn)動(dòng)后該連桿相對(duì)基坐標(biāo)系的位姿變?yōu)門(mén)+dT ，若這個(gè)微運(yùn)動(dòng)是相對(duì)于基坐標(biāo)系（靜系） 進(jìn)行的 (左乘) ，總可以用微小的平移和旋轉(zhuǎn)來(lái)表示，即TdTTrans(dx , dy , dz ) Rot(k ,d)T所以有dTTrans(d x, d y , dz ) Rot(k , d )I 44T根據(jù)齊次變換的對(duì)稱性， 若微運(yùn)動(dòng)是相對(duì)某個(gè)連桿坐標(biāo)系i（動(dòng)系） 進(jìn)行的 ( 右乘 )，則 T+dT可以表示為T(mén)dTT Trans( dx , d y ,d z) Rot(k , d)所以有dTT Trans( dx ,d y , dz) Rot(k , d)I 44令Trans(dx, d y , d z)Rot( k , d) I 44 為微分算子，則相對(duì)基系有dT= 0T ，相對(duì) i 系有 dT=T i 。 這里 的下標(biāo)不同是由于微運(yùn)動(dòng)相對(duì)不同坐標(biāo)系進(jìn)行的。在機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)中微分變換分為微分平移和微分旋轉(zhuǎn)兩類(lèi)。微分平移變換與一般平移變換一樣，其變換矩陣為:100dx010dyTrans (dx, dy, dz)001dz00017由于微分旋轉(zhuǎn)時(shí) 0，所以 sin d， cos 1將它們代入旋轉(zhuǎn)變換通式中得微分旋轉(zhuǎn)表達(dá)式 :1kzdky d0Rot(k , d )kzd1kxd0kydkxd100001于是得到微分算子Trans(dx ,d y , dz)Rot( k , d ) I 44 ，即0kzdkyddxkzd0kxddykydkx d0dz0000微分旋轉(zhuǎn)與有限旋轉(zhuǎn)相比，有一些特殊的性質(zhì)，下面分別說(shuō)明。（1 ）微分旋轉(zhuǎn)的無(wú)序性，當(dāng) 0 時(shí)，有 sin d， cos 1 若令 x=d x，y=d y ，z=d z，則繞三個(gè)坐標(biāo)軸的微分旋轉(zhuǎn)矩陣分別為100010y01z 0001x 00100z100Rot(x, x)x10Rot( y, y)y 010Rot(z, z)01000000100010001略去 2 次項(xiàng)，得到10y010y0Rot(x,x y1x001x0x)Rot( y, y)x10yx10y000100011x yy010y0Rot ( y,01x001x0y) Rot(x, x)x10yx10y00010001兩者結(jié)果相同， 可見(jiàn)這里左乘與右乘等效。結(jié)論：微分旋轉(zhuǎn)其結(jié)果與轉(zhuǎn)動(dòng)次序無(wú)關(guān)，這是與有限轉(zhuǎn)動(dòng)（一般旋轉(zhuǎn)）的一個(gè)重要區(qū)別。（2 ）微分旋轉(zhuǎn)的可加性，考慮兩個(gè)微分旋轉(zhuǎn)復(fù)合后的效果81zy0z1x0Rot( x, x) Rot( y, y)Rot( z, z)x10y0001若 Rot （ x，y ，z） 和 Rot （x， y ， z）表示兩個(gè)不同的微分旋轉(zhuǎn)，則兩次連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)果為：1( zz)yy 0zz1( xx )0Rot( x, y, z) Rot( x , y , z )y )xx 10( y0001上式表明：任意兩個(gè)微分旋轉(zhuǎn)的結(jié)果為繞每個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的元素的代數(shù)和，即微分旋轉(zhuǎn)是可加的。由等效轉(zhuǎn)軸和等效轉(zhuǎn)角與Rot( x,x) Rot( y,y)Rot( z,z) 等效，有Rot(k , d )Rot( x,x) Rot( y,y)Rot( z, z)1kzdky d01zy0kz d1kxd0z1x 0k ydkxd10yx1000010001所以有 kxd = x， kyd = y ， kzd = z， 將它們代入得0zydxz0xd yyx0d z0000可見(jiàn)，微分變換由兩個(gè)部分組成微分轉(zhuǎn)動(dòng)矢量 ，d 微分平移矢量 ,合稱為微分運(yùn)動(dòng)矢量，可表示為 D (d x, dy , dz , x,y , z )T001101005例：已知一個(gè)坐標(biāo)系A(chǔ)，相對(duì)固定系的微分平移矢量d= 100.5 ，01000001微分旋轉(zhuǎn)矢量=00.10 ，求微分變換dA 。90zydx000.11z0xdy0000yx0dz0.1000.500000000000.110011000.101dAA0000100500000.1000.50100000.10.5000000010000下面討論兩坐標(biāo)系之間的微分關(guān)系，設(shè)第一個(gè)坐標(biāo)系為i系，第二個(gè)坐標(biāo)系為j 系不失一般性，假定 j 系就是固定的 0系。nxoxaxpx0nyoyaypyiTnzozazpz00010zy dx0ziyidxi因?yàn)閦0x dy， izi0xidyi0yx0dzyixi0dzi00000000所以00iT0iT i ，i0iT100iT ，整理得到dixn (p)d )diyo (p)d )diza (p)d )ixiyiznoadxinxnynz( p n)x( p n) y( pn) zdx0dyioxoyoz( p o)x( p o ) y( po) zdy0dziaxayaz( p a)x( p a) y( pa) zdz0xi000nxnynzx0yi000oxoyozy0z000axayazzi0對(duì)于任何三維矢量p = p x, p y, p z,其反對(duì)稱矩陣s(p)定義為：0pzpys( p)pz0pxpypx010記nxoxax0i Rnyoyaynzozaz上式簡(jiǎn)寫(xiě)成di0RT0RT s( 0p)iii 0i00i RT類(lèi)似地，任意兩坐標(biāo)系A(chǔ) 和 B之間廣義速度的坐標(biāo)變換為：BVAB RAB RS( A PBO )AV，AVBARBA RS( B PAO )BVB0ABRAA0BA RB00110100500.5 ，例：已知一個(gè)坐標(biāo)系A(chǔ)10，相對(duì)固定系的微分平移矢量d= 1000001微分旋轉(zhuǎn)矢量 =00.1 0 ，求 A 系中等價(jià)的微分平移矢量d A 和微分旋轉(zhuǎn)矢量A 。解：將 d= 10 0.5 和 =00.1 0 代入dixn (p)d )ixdiyo (p)d )iydiza (p)d )iz得到 dA 0 0 5.1TTA0.1 0 0。noa4 、機(jī)械臂軌跡規(guī)劃?rùn)C(jī)械臂的軌跡規(guī)劃可以在關(guān)節(jié)空間也可以在笛卡爾空間中進(jìn)行，或者說(shuō)機(jī)械臂軌跡規(guī)劃是指在關(guān)節(jié)空間或者笛卡爾空間中研究機(jī)械臂軌跡生成方法。簡(jiǎn)言之， 機(jī)械臂軌跡規(guī)劃是運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的實(shí)際應(yīng)用，它描述了機(jī)械臂在多維空間中的運(yùn)動(dòng)路線。 在知道末端位姿的前提下，通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解得到各個(gè)關(guān)節(jié)在相應(yīng)時(shí)刻的轉(zhuǎn)動(dòng)量或者平移量，合理的規(guī)劃指的是規(guī)劃出的角位移曲線、 角速度曲線以及角加速度曲線，可以有效地減少了機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的沖擊和振動(dòng)，使機(jī)械臂的工作壽命得以延長(zhǎng)。11械臂可以分為點(diǎn)到點(diǎn)作業(yè)(Point-to-Point Motion )和連續(xù)路徑作業(yè)(Continuous-PathMotion )。點(diǎn)到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)指的是機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只要求在某些點(diǎn)上有準(zhǔn)確的位置和姿態(tài)，相鄰的點(diǎn)不做要求。連續(xù)運(yùn)動(dòng)要求機(jī)械臂嚴(yán)格的沿特定的曲線運(yùn)動(dòng)。機(jī)械臂的關(guān)節(jié)角位移變化率比較小，能夠有效地防止了機(jī)械臂工作時(shí)的振動(dòng)和沖擊。機(jī)械臂關(guān)節(jié)角速度和角加速度變化均平順連續(xù)，從而有效避免了機(jī)械部件的磨損，能夠保證整個(gè)機(jī)械臂系統(tǒng)的長(zhǎng)期、穩(wěn)定的運(yùn)行，滿足機(jī)械臂的工作要求。5 、 robotics工具箱中的相關(guān)函數(shù)link建立一個(gè)連桿對(duì)象,例如對(duì)于本次競(jìng)賽的機(jī)械臂，根據(jù)連桿參數(shù)得到L1=link(pi/20012000);L2=link(pi/200000);L3=link(-pi/200140.80pi);L4=link(-pi/271.8000pi/2 );L5=link(+pi/271.8000pi);L6=link(-pi/20000pi/2);L7=link(000129.600);robot建立一個(gè)機(jī)械臂對(duì)象R= robot(L)noname (7 axis, RRRRRRR)grav = 0.00 0.00 9.81standard D&H parametersalphaAthetaDR/P1.57080120R(std)1.5708.00R(std)-1.57080140.8R(std)-1.570871.80R(std)1.570871.80R(std)-1.570800R(std)00129.6R(std)drivebot用滑塊控制的機(jī)械臂圖形drivebot(R,ones(1,7)*pi)plot機(jī)械臂的圖形顯示plot(R,pi/2 pi/2 0 0 0 0 0)12fkine串聯(lián)機(jī)械臂正向運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算tr =fkine (ROBOT, Q)ROBOT 表示機(jī)械臂對(duì)象，Q 機(jī)械臂關(guān)節(jié)坐標(biāo)值。tr =fkine (R, 0 0 0 pi/2 0 0 0)tr =0.0000-0.00001.0000129.6000-0.00001.00000.0000-0.0000-1.0000-0.00000.0000-20.80000001.0000ikine串聯(lián)機(jī)械臂逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算q = ikine(ROBOT, T)q = ikine(ROBOT, T, Q)q = ikine(ROBOT, T, Q, M)輸入變量ROBOT 表示機(jī)械臂對(duì)象，T 機(jī)械臂末端變換矩陣。輸出變量q 機(jī)械臂關(guān)節(jié)的角度(單位是弧度 )，一般來(lái)說(shuō)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的解不是唯一的，取決于初始值 Q ，缺省時(shí)是0 向量。如果機(jī)械臂的自由度(DOF) 小于 6 ，由于解空間的維數(shù)大于機(jī)械臂的自由度，這時(shí)需要第4 個(gè)輸入量M 來(lái)確定笛卡爾坐標(biāo)(手腕對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系)中的哪些量在求解中被忽略。M 中有 6 個(gè)元素，分別表示沿著x,y,z 方向的平移和相對(duì)于x 軸， y 軸，z 軸的旋轉(zhuǎn)，值是0( 忽略 )或 1 。非零元素的個(gè)數(shù)應(yīng)該等于機(jī)械臂的自由度。例如，對(duì)典型的有 5 個(gè)自由度的機(jī)械臂，一般是忽略相對(duì)手腕坐標(biāo)的轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)M = 1 1 1 1 1 0 。另外一種用法是qt = ikine(ROBOT, TG)qt = ikine (ROBOT, TG, Q)qt = ikine (ROBOT, TG, Q, M)13輸入變量ROBOT 表示機(jī)械臂對(duì)象，TG 是 4x4xN機(jī)械臂末端變換矩陣。輸出變量qt 是一組 (N 個(gè) )TG 對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)坐標(biāo)。一行對(duì)應(yīng)一個(gè)輸入變換，每一步的初始值取上一步的值。求解使用機(jī)械臂Jacobian矩陣的偽逆，這是數(shù)值求解方法，對(duì)于特定機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解( 如果可能 )應(yīng)該盡量使用解析解。但是這種方法可以得到奇異點(diǎn)上的解，零空間中的關(guān)節(jié)角度可以任取。q=ikine(R,tr)q =0.00000.00000.00000.7854-0.0000-0.78540.0000注意：對(duì)于機(jī)械臂末端的一個(gè)位置與姿態(tài)，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算不是唯一的，驗(yàn)證tr=fkine(R,q)tr =0.0000-0.00001.0000129.6000-0.00001.00000.0000-0.0000-1.0000-0.00000.0000-20.80000001.0000transl計(jì)算平移變換tr= transl (X, Y, Z)返回機(jī)械臂末端坐標(biāo)X, Y, Z 對(duì)應(yīng)的齊次表?yè)Q矩陣tr=transl(129.6,0,20.8)tr =1.000000129.600001.000000001.000020.80000001.0000X Y Z = transl(T)返回齊次表?yè)Q表示中的平移值，作為一個(gè)3 元素的列向量xyz=transl(tr)14xyz =129.6000020.8000ctraj計(jì)算工作空間中兩點(diǎn)T0,T1之間的軌跡tc= ctraj(T0, T1, N)tc = ctraj(T0, T1, R)返回從 T0 到 T1 笛卡爾坐標(biāo)系的軌跡TCN 表示軌跡中的點(diǎn)數(shù)。在第1 中情況下，軌跡中的點(diǎn)在 T0到 T1 中等距離分配。在第2中情況下，向量R 給出軌跡中每個(gè)點(diǎn)的距離， R中的元素取值為 0 1 。一個(gè)軌跡是 4x4xN矩陣，最后一個(gè)下標(biāo)表示點(diǎn)索引。旋轉(zhuǎn)插值使用四元球形線性插值。tr0=fkine(R,0 0 0 0 0 0 0)tr0 =1.0000-0.0000-0.0000-0.00000.00001.00000.00000.0000-0.0000-0.00001.0000108.80000001.0000tr1=fkine(R,pi/4 pi/6 0 pi/3 0 0 0)tr1 =0.6124-0.70710.353695.60080.61240.70710.353695.6008-0.5000-0.00000.8660110.30050001.0000tc(:,:,1) =1.000000-0.000001.000000.0000001.0000108.80000001.0000tc(:,:,2) =0.8976-0.38220.219847.80040.35710.92260.145847.8004-0.2585-0.05230.9646109.55030001.0000tc(:,:,3) =0.6124-0.70710.353695.60080.61240.70710.353695.600815-0.5000-0.00000.8660110.30050001.0000transl(tc)ans =-0.00000.0000108.800047.800447.8004109.550395.600895.6008110.3005jtraj計(jì)算關(guān)節(jié)中兩點(diǎn)Q0,Q1之間的軌跡Q QD QDD = jtraj(Q0, Q1, N)Q QD QDD = jtraj (Q0, Q1, N, QD0, QD1)Q QD QDD = jtraj (Q0, Q1, T)Q QD QDD = jtraj (Q0, Q1, T, QD0, QD1)軌跡中的點(diǎn)數(shù)是N ，或者是一個(gè)時(shí)間向量T。插值使用7 次多項(xiàng)式， 邊界速度由QD0, QD1指定，缺省時(shí)邊界速度和加速度為0。q0=pi pi pi pi pi pi pi;q1=pi pi/2 0 0 0 pi/2 0;tr0=fkine(R,pi pi pi pi pi pi pi);tr1=fkine(R,pi pi/2 0 0 0 pi/2 0);QT,QD,QDD=jtraj(q0,q1,30);figuresubplot(2,2,1),plot(R,QT)subplot(2,2,2),plot(QT),grid on,legend(q1,q2,q3,q4,q5,q6,q7,Location, NorthWest)subplot(2,2,3),plot(QD),grid onsubplot(2,2,4),plot(QDD),grid on% 注意：其中有一些曲線重合jacob0計(jì)算機(jī)械臂在基坐標(biāo)系中Jacobian矩陣J = jacob0(ROBOT, Q)tr2jac計(jì)算機(jī)械臂在基坐標(biāo)系中Jacobian矩陣J = TR2JAC(T)16diff2tr微分表示轉(zhuǎn)換為齊次變換tr = diff2tr(D)返回表示微分平移與旋轉(zhuǎn)的齊次變換矩陣,矩陣中包含一個(gè)反對(duì)稱的旋轉(zhuǎn)子矩陣。tr2diff轉(zhuǎn)換為齊次變換轉(zhuǎn)換為微分表示D =tr2diff(T)D = tr2diff(T1, T2)第一種形式將齊次表?yè)Q矩陣表示轉(zhuǎn)換為6- 元素向量微分表示。第二種形式返回6- 元素向量，表示從T1 到 T2 的在基坐標(biāo)系中需要的微分移動(dòng)。J = jacob0(R, q1)% Jacobian and differential motion demonstration% A differential motion can be represented by a 6-element vector with elements% dx dy dz drx dry drz% where the first 3 elements are a differential translation, and the last 3% are a differential rotation.When dealing with infinitisimal rotations,% the order becomes unimportant.The differential motion could be written% in terms of compounded transforms% transl(dx,dy,dz) * trotx(drx) * troty(dry) * trotz(drz)% but a more direct approach is to use the function diff2tr() D = .1 .2 0 -.2 .1 .1diff2tr(D)T=fkine(R,q1)% then the differential motion in the second frame would be given by DT = tr2jac(T) * D;DQ= pinv(J) * DT;vel = 1 0 0 0 0 0; % translational motion in the X direction qvel = pinv(J) * vel;ans =-0.00000.0000-0.00000.0039-0.0000-0.00390.0000% 這是計(jì)算工作空間軌跡和求逆解的另外一種方法。但是，如果Jacobian 矩陣奇異時(shí)% 會(huì)失效。如果機(jī)械臂的自由度大于6，即是冗余的，采用 Jacobian 矩陣偽逆計(jì)算，或% 對(duì) Jacobian 矩陣進(jìn)行奇異值分解。17附錄rpy 角與 euler角（ 1 ）rpy 角rpy 角是描述船舶航行時(shí)的姿態(tài)的一種方法，滾動(dòng)（ Roll ）角 ，將繞 Y 軸 (與海面平行面垂直方向，將繞X 軸的旋轉(zhuǎn)稱為偏轉(zhuǎn)（將船的行駛方向作為Z 軸，則繞 Z 軸旋轉(zhuǎn)稱為)方向的旋轉(zhuǎn)稱為俯仰（Pitch ）角 ，取 X 軸與海Yaw ）角 。機(jī)械臂末端的定義類(lèi)似，故習(xí)慣上稱為 rpy 角。描述運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的規(guī)則是：首先使運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的初始方位與固定坐標(biāo)系重合，將運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系繞固定坐標(biāo)系X 軸轉(zhuǎn)動(dòng) ，再將運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系繞固定坐標(biāo)系Y 軸轉(zhuǎn)動(dòng) ，最后將運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系繞固定坐標(biāo)系Z 軸轉(zhuǎn)動(dòng) 。因?yàn)槿无D(zhuǎn)動(dòng)都是相對(duì)固定坐標(biāo)系的，所以相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣rpy ( , , ) rot ( z,) rot ( y,)rot ( x,)cs00c0s01000sc0001000cs00010s0c00sc0000100010001將三個(gè)矩陣相乘得到c cc ssscc s c0s cs ssccs s c0rpy ( , , )c sc c0s0001它表示繞固定坐標(biāo)系的三個(gè)軸依次旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)矩陣，稱為繞固定軸XYZ 旋轉(zhuǎn)的 rpy 方法。下面討論逆問(wèn)題：從給定的旋轉(zhuǎn)矩陣得到繞固定軸XYZ 旋轉(zhuǎn)的 rpy 角。令nxoxax0rpy( , ,nyoyay0)ozaz0nz0001上式中有 3個(gè)未知數(shù)， 9 個(gè)方程，其中6 個(gè)不獨(dú)立，因此可利用其中3 個(gè)解出未知數(shù)。cos( )nx2ny2 ，如果 cos( )不為零，則可以得到18a tan 2( n,n2n2),a tan 2(ox, nx),a tan 2(ay, a )zxyz（ 2 ）繞運(yùn)動(dòng)系 ZYX 轉(zhuǎn)動(dòng)的 euler 角描述運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的規(guī)則是：運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的初始方位與參考坐標(biāo)系重合，首先將運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系繞Z 軸轉(zhuǎn)動(dòng) ，再將運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系繞Y 軸轉(zhuǎn)動(dòng) ，最后將運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系繞X 軸轉(zhuǎn)動(dòng) 。這種描述方法中各次的轉(zhuǎn)動(dòng)都是相對(duì)運(yùn)動(dòng)系的，而不是相對(duì)固定坐標(biāo)系的。相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣為euler( , , ) rot ( x,)rot ( y,)rot (z,)cs00c0s01000sc0001000cs0001 0s0c00sc0000100010001將三個(gè)矩陣相乘得到c cc s ss cc s c0s cs s sc cs s c0euler ( , , )csc c0s0001結(jié)果與繞固定軸XYZ 旋轉(zhuǎn)相同， 這是因?yàn)槔@固定軸旋轉(zhuǎn)的順序與繞運(yùn)動(dòng)軸旋轉(zhuǎn)的順序相反，且旋轉(zhuǎn)角度對(duì)應(yīng)相等。因此，用ZYX euler角與 XYZ rpy角的描述方法是等價(jià)的。另外一種常用的euler角方法是ZYZ 方法，首先使運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系與參考坐標(biāo)系重合，將運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系繞Z 軸轉(zhuǎn)動(dòng) ，再將運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系繞Y 軸轉(zhuǎn)動(dòng) ，最后將運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系繞Z 軸轉(zhuǎn)動(dòng) 。euler( , ) rot (