精品資料 3.3　兩角和與差的正弦、余弦、正切 1． 兩角和與差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(Cα－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β　(Cα＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β　(Sα－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β　(Sα＋β) tan(α－β)＝　(Tα－β) tan(α＋β)＝　(Tα＋β) 2． 二倍角公式 sin 2α＝2sin_αcos_α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝. 3． 在準(zhǔn)確熟練地記住公式的基礎(chǔ)上，要靈活運(yùn)用公式解決問(wèn)題：如公式的正用、逆用和變形用等．如Tαβ可變形為 tan αtan β＝tan(αβ)(1?tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－＝－1. 4． 函數(shù)f(x)＝asin α＋bcos α(a，b為常數(shù))，可以化為f(α)＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝)或f(α)＝cos(α－φ)(其中tan φ＝)． 1． 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的． (　√　) (2)存在實(shí)數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (　√　) (3)在銳角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不確定． (　　) (4)公式tan(α＋β)＝可以變形為tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且對(duì)任意角α，β都成立． (　　) (5)存在實(shí)數(shù)α，使tan 2α＝2tan α. (　√　) (6)當(dāng)α＋β＝時(shí)，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2. (　√　) 2． (2013浙江)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，則tan 2α等于 (　　) A． B． C．－ D．－ 答案　C 解析　∵sin α＋2cos α＝， ∴sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α＝. 化簡(jiǎn)得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝＝－.故選C. 3． (2012江西)若＝，則tan 2α等于 (　　) A．－ B． C．－ D． 答案　B 解析　由＝，等式左邊分子、分母同除cos α得，＝，解得tan α＝－3，則tan 2α＝＝. 4． (2012江蘇)設(shè)α為銳角，若cos＝，則sin的值為________． 答案　 解析　∵α為銳角且cos＝， ∴sin＝. ∴sin＝sin ＝sin 2cos －cos 2sin ＝sincos－ ＝－ ＝－＝. 5． (2013課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)設(shè)θ為第二象限角，若tan＝，則sin θ＋cos θ＝________. 答案?。? 解析　∵tan＝，∴tan θ＝－， 即解得sin θ＝，cos θ＝－. ∴sin θ＋cos θ＝－. 題型一　三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與給角求值 例1　(1)化簡(jiǎn)：(0<θ<π)． (2)求值：－sin 10(－tan 5)． 思維啟迪　(1)分母為根式，可以利用二倍角公式去根號(hào)，然后尋求分子分母的共同點(diǎn)進(jìn)行約分； (2)切化弦、通分． 解　(1)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos >0. 因此＝ ＝2cos . 又(1＋sin θ＋cos θ)(sin －cos ) ＝(2sin cos ＋2cos2)(sin －cos ) ＝2cos (sin2－cos2) ＝－2cos cos θ. 故原式＝＝－cos θ. (2)原式＝－sin 10(－) ＝－sin 10 ＝－sin 10 ＝－2cos 10＝ ＝ ＝ ＝＝. 思維升華　(1)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則，一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征． (2)對(duì)于給角求值問(wèn)題，往往所給角都是非特殊角，解決這類問(wèn)題的基本思路有： ①化為特殊角的三角函數(shù)值； ②化為正、負(fù)相消的項(xiàng)，消去求值； ③化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進(jìn)行約分求值． 　(1)在△ABC中，已知三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則tan ＋tan ＋tan tan 的值為________． (2)的值是 (　　) A． B． C． D． 答案　(1)　(2)C 解析　(1)因?yàn)槿齻€(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝，＝，tan ＝， 所以tan ＋tan ＋tan tan ＝tan＋tan tan ＝＋tan tan ＝. (2)原式＝ ＝ ＝＝. 題型二　三角函數(shù)的給值求值、給值求角 例2　(1)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值． 思維啟迪　(1)拆分角：＝－，利用平方關(guān)系分別求各角的正弦、余弦． (2)2α－β＝α＋(α－β)；α＝(α－β)＋β. 解　(1)∵0<β<<α<π， ∴－<－β<，<α－<π， ∴cos＝ ＝， sin＝ ＝， ∴cos ＝cos ＝coscos＋sinsin ＝＋＝， ∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2－1＝－. (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ ＝＝>0，∴0<α<， 又∵tan 2α＝＝＝>0， ∴0<2α<， ∴tan(2α－β)＝＝＝1. ∵tan β＝－<0， ∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－. 思維升華　(1)解題中注意變角，如本題中＝(α－)－(－β)； (2)通過(guò)求角的某種三角函數(shù)值來(lái)求角，在選取函數(shù)時(shí)，遵照以下原則：①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；②已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好． 　(1)若0<α<，－<β<0，cos(＋α)＝，cos(－)＝，則cos(α＋)等于(　　) A. B．－ C. D．－ (2)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均為銳角，則角β等于 (　　) A. B. C. D. 答案　(1)C　(2)C 解析　(1)cos(α＋)＝cos[(＋α)－(－)] ＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)， ∵0<α<，則<＋α<，∴sin(＋α)＝. 又－<β<0，則<－<， 則sin(－)＝. 故cos(α＋)＝cos[＋α－(－)] ＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－) ＝＋＝，故選C. (2)∵α、β均為銳角，∴－<α－β<. 又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝. 又sin α＝，∴cos α＝， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝－(－)＝. ∴β＝. 題型三　三角變換的簡(jiǎn)單應(yīng)用 例3　已知函數(shù)f(x)＝sin＋cos，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期和最小值； (2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0<α<β≤，求證：[f(β)]2－2＝0. 思維啟迪　(1)可將f(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式； (2)據(jù)已知條件確定β，再代入f(x)求值． (1)解　∵f(x)＝sin＋cos ＝sin＋sin＝2sin， ∴T＝2π，f(x)的最小值為－2. (2)證明　由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝， cos βcos α－sin βsin α＝－， 兩式相加得2cos βcos α＝0， ∵0<α<β≤，∴β＝，∴[f(β)]2－2＝4sin2－2＝0. 思維升華　三角變換和三角函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，解題時(shí)要注意觀察角、式子間的聯(lián)系，利用整體思想解題． 　(1)函數(shù)f(x)＝sin x＋cos(＋x)的最大值為 (　　) A．2 B． C．1 D． (2)函數(shù)f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是________． 答案　(1)C　(2)π 解析　(1)f(x)＝sin x＋cos cos x－sin sin x ＝cos x＋sin x＝sin(x＋)． ∴f(x)max＝1. (2)f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x) ＝sin 2x＋cos 2x－＝sin(2x＋)－， ∴T＝＝π. 高考中的三角變換問(wèn)題 典例：(9分)(1)若tan 2θ＝－2，π<2θ<2π，則＝________. (2)已知銳角α，β滿足sin α＝，cos β＝，則α＋β等于 (　　) A． B．或 C． D．2kπ＋(k∈Z) 思維啟迪　(1)注意和差公式的逆用及變形； (2)可求α＋β的某一三角函數(shù)值，結(jié)合α＋β的范圍求角． 解析　(1)原式＝＝， 又tan 2θ＝＝－2， 即tan2θ－tan θ－＝0， 解得tan θ＝－或tan θ＝. ∵π<2θ<2π，∴<θ<π. ∴tan θ＝－，故所求＝＝3＋2. (2)由sin α＝，cos β＝且α，β為銳角，可知cos α＝，sin β＝， 故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝， 又0<α＋β<π，故α＋β＝. 答案　(1)3＋2　(2)C 溫馨提醒　三角變換中的求值問(wèn)題要注意利用式子的特征，靈活應(yīng)用公式；對(duì)于求角問(wèn)題，一定要結(jié)合角的范圍求解. 方法與技巧 1． 巧用公式變形： 和差角公式變形：tan xtan y＝tan(xy)(1?tan xtan y)；倍角公式變形：降冪公式cos2α＝，sin2α＝， 配方變形：1sin α＝2,1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2. 2． 利用輔助角公式求最值、單調(diào)區(qū)間、周期．由y＝asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝)有≥|y|. 3． 重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角：對(duì)角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等．在解決求值、化簡(jiǎn)、證明問(wèn)題時(shí)，一般是觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明)問(wèn)題的整體形式中的差異，再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃危? 失誤與防范 1． 運(yùn)用公式時(shí)要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對(duì)性，要注意升次、降次的靈活運(yùn)用，要注意“1”的各種變通． 2． 在(0，π)范圍內(nèi)，sin(α＋β)＝所對(duì)應(yīng)的角α＋β不是唯一的． 3． 在三角求值時(shí)，往往要估計(jì)角的范圍后再求值． A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：40分鐘) 一、選擇題 1． 若θ∈[，]，sin 2θ＝，則sin θ等于 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由sin 2θ＝和sin2θ＋cos2θ＝1得 (sin θ＋cos θ)2＝＋1＝()2， 又θ∈[，]，∴sin θ＋cos θ＝. 同理，sin θ－cos θ＝，∴sin θ＝. 2． 已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于 (　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因?yàn)棣粒拢溅粒拢? 所以α＋＝(α＋β)－，所以 tan＝tan ＝＝. 3． (2013重慶)4cos 50－tan 40等于 (　　) A. B. C. D．2－1 答案　C 解析　4cos 50－tan 40＝ ＝＝ ＝＝＝. 4． 若tan α＋＝，α∈(，)，則sin(2α＋)的值為 (　　) A．－ B. C. D. 答案　A 解析　由tan α＋＝得＋＝， ∴＝，∴sin 2α＝. ∵α∈(，)，∴2α∈(，π)， ∴cos 2α＝－. ∴sin(2α＋)＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＝(－)＝－. 5． 在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan Atan B，則C等于 (　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由已知可得tan A＋tan B＝(tan Atan B－1)， ∴tan(A＋B)＝＝－， 又0<A＋B<π，∴A＋B＝π，∴C＝. 二、填空題 6． 若sin(＋θ)＝，則cos 2θ＝________. 答案?。? 解析　∵sin(＋θ)＝cos θ＝， ∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝2()2－1＝－. 7． 若α＝20，β＝25，則(1＋tan α)(1＋tan β)的值為________． 答案　2 解析　由tan(α＋β)＝＝tan 45＝1可得 tan α＋tan β＋tan αtan β＝1， 所以(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2. 8． ＝________. 答案?。? 解析　原式＝ ＝ ＝＝ ＝＝－4. 三、解答題 9． 已知tan α＝－，cos β＝，α∈(，π)，β∈(0，)，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值． 解　由cos β＝，β∈(0，)， 得sin β＝，tan β＝2. ∴tan(α＋β)＝ ＝＝1. ∵α∈(，π)，β∈(0，)，∴<α＋β<， ∴α＋β＝. 10．已知α∈，且sin ＋cos ＝. (1)求cos α的值； (2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值． 解　(1)因?yàn)閟in ＋cos ＝， 兩邊同時(shí)平方，得sin α＝. 又<α<π，所以cos α＝－. (2)因?yàn)?lt;α<π，<β<π， 所以－π<－β<－，故－<α－β<. 又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝. cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－＋＝－. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：30分鐘) 1． 已知tan(α＋)＝，且－<α<0，則等于 (　　) A．－ B．－ C．－ D. 答案　A 解析　由tan(α＋)＝＝，得tan α＝－. 又－<α<0，所以sin α＝－. 故＝＝2sin α＝－. 2． 定義運(yùn)算＝ad－bc，若cos α＝，＝，0<β<α<，則β等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　依題意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝， 又0<β<α<，∴0<α－β<， 故cos(α－β)＝＝， 而cos α＝，∴sin α＝， 于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝－＝， 故β＝，選D. 3． 設(shè)x∈，則函數(shù)y＝的最小值為________． 答案　 解析　方法一　因?yàn)閥＝＝， 所以令k＝.又x∈， 所以k就是單位圓x2＋y2＝1的左半圓上的動(dòng)點(diǎn)P(－sin 2x，cos 2x)與定點(diǎn)Q(0,2)所成直線的斜率．又kmin＝tan 60＝，所以函數(shù)y＝的最小值為. 方法二　y＝＝ ＝＝tan x＋. ∵x∈(0，)，∴tan x>0. ∴tan x＋≥2＝. (當(dāng)tan x＝，即x＝時(shí)取等號(hào)) 即函數(shù)的最小值為. 4． 已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝. (1)求tan(α＋β)的值； (2)求tan β的值． 解　(1)∵tan(π＋α)＝－，∴tan α＝－. ∵tan(α＋β)＝ ＝＝ ＝ ＝＝ ＝＝. (2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝ ＝＝. 5． 已知函數(shù)f(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期為10π. (1)求ω的值； (2)設(shè)α，β∈，f＝－，f ＝，求cos(α＋β)的值． 解　(1)由T＝＝10π得ω＝. (2)由 得 整理得　∵α，β∈， ∴cos α＝＝，sin β＝＝. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β －sin αsin β ＝－＝－.