A 級(jí)級(jí)基礎(chǔ)通關(guān)基礎(chǔ)通關(guān)一、選擇題一、選擇題1 (2017全國(guó)卷全國(guó)卷改編改編)橢圓橢圓 C：x23y2m1 的焦點(diǎn)在的焦點(diǎn)在 x 軸上軸上， 點(diǎn)點(diǎn) A，B 是長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)，若曲線若曲線 C 上存在點(diǎn)上存在點(diǎn) M 滿足滿足AMB120，則實(shí)則實(shí)數(shù)數(shù)m 的取值范圍是的取值范圍是()A(3，)B1，3)C(0， 3)D(0，1解析：解析：依題意，當(dāng)依題意，當(dāng) 0m3 時(shí)，焦點(diǎn)在時(shí)，焦點(diǎn)在 x 軸上，軸上，要在曲線要在曲線 C 上存在點(diǎn)上存在點(diǎn) M 滿足滿足AMB120，則則abtan 60，即，即3m 3，解得，解得 0m1.答案：答案：D2(2019全國(guó)卷全國(guó)卷)雙曲線雙曲線 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一條漸近的一條漸近線的傾斜角為線的傾斜角為 130，則，則 C 的離心率為的離心率為()A2sin 40B2cos 40C.1sin 50D.1cos 50解析：解析：由題意可得由題意可得batan 130，所以所以 e1b2a2 1tan21301sin2130cos21301|cos 130|1cos 50.答案：答案：D3若點(diǎn)若點(diǎn) P 為拋物線為拋物線 y2x2上的動(dòng)點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn) 為拋物線的焦點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，則則|PF|的最小值為的最小值為()A2B.12C.14D.18解析：解析：根據(jù)題意，拋物線根據(jù)題意，拋物線 y2x2上，設(shè)上，設(shè) P 到準(zhǔn)線的距離為到準(zhǔn)線的距離為 d，則，則有有|PF|d， 拋物線的方程為拋物線的方程為 y2x2， 即即 x212y， 其準(zhǔn)線方程為其準(zhǔn)線方程為 y18，所以當(dāng)點(diǎn)所以當(dāng)點(diǎn) P 在拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，d 有最小值有最小值18，即，即|PF|min18.答案：答案：D4(2019天津卷天津卷)已知拋物線已知拋物線 y24x 的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為 F，準(zhǔn)線為，準(zhǔn)線為 l.若若 l 與與雙曲線雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)的兩條漸近線分別交于點(diǎn) A 和點(diǎn)和點(diǎn) B，且，且|AB|4|OF|(O 為原點(diǎn)為原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為，則雙曲線的離心率為()A. 2B. 3C2D. 5解析：解析：由已知易得，拋物線由已知易得，拋物線 y24x 的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為 F(1，0)，準(zhǔn)線，準(zhǔn)線 l：x1，所以，所以|OF|1.又雙曲線的兩條漸近線的方程為又雙曲線的兩條漸近線的方程為 ybax，不妨設(shè)點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn) A1，ba ，B1，ba ，所以，所以|AB|2ba4|OF|4，所以，所以ba2，即，即 b2a，所，所以以b24a2.又因?yàn)橛忠驗(yàn)?c2a2b2，所以，所以 c25a2，所以，所以 eca 5.答案：答案：D5(2019安徽六安一中模擬安徽六安一中模擬)點(diǎn)點(diǎn) P 在橢圓在橢圓 C1：x24y231 上上，C1的的右焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)為 F2，點(diǎn)點(diǎn) Q 在圓在圓 C2：x2y26x8y210 上上，則則|PQ|PF2|的最小值為的最小值為()A4 24B44 2C62 5D2 56解析：解析：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為 F1(1，0)則則|PQ|PF2|PQ|(2a|PF1|)|PQ|PF1|4，故要求故要求|PQ|PF2|的最小值即求的最小值即求|PQ|PF1|的最小值的最小值又圓又圓 C2的半徑的半徑 r2，圓心，圓心 C2(3，4)，所以所以(|PQ|PF1|)min|C2F1|r 22（4）222 52.故故|PQ|PF2|的最小值為的最小值為 2 56.答案：答案：D二、填空題二、填空題6已知點(diǎn)已知點(diǎn)(1，2)是雙曲線是雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)上一點(diǎn)，則雙曲上一點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是線離心率的取值范圍是_解析：解析：由已知得由已知得1a24b21，所以，所以b2a2b24，則則 e2ca21b2a25b2，故，故 e 5.答案：答案：( 5，)7 已知拋物線已知拋物線 y24x， 過(guò)焦點(diǎn)過(guò)焦點(diǎn) F 的直線與拋物線交于的直線與拋物線交于 A， B 兩點(diǎn)兩點(diǎn)，過(guò)過(guò) A，B 分別作分別作 x 軸軸，y 軸垂線軸垂線，垂足分別為垂足分別為 C，D，則則|AC|BD|的最的最小值為小值為_(kāi)解析：解析：不妨設(shè)不妨設(shè) A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)(y20)則則|AC|BD|x2y1y224y1.又又 y1y2p24，所以所以|AC|BD|y2244y2(y20)設(shè)設(shè) g(x)x244x，g(x)x382x2，令令 g(x)0，得，得 x2，令令 g(x)0，得，得2x0.所以所以 g(x)在在(，2)上遞減，在上遞減，在(2，0)上遞增上遞增所以當(dāng)所以當(dāng) x2，即，即 y22 時(shí)，時(shí)，|AC|BD|取最小值為取最小值為 3.答案：答案：38(2019浙江卷浙江卷)已知橢圓已知橢圓x29y251 的左焦點(diǎn)為的左焦點(diǎn)為 F，點(diǎn)，點(diǎn) P 在橢圓在橢圓上且在上且在 x 軸的上方若線段軸的上方若線段 PF 的中點(diǎn)在以原點(diǎn)的中點(diǎn)在以原點(diǎn) O 為圓心，為圓心，|OF|為半為半徑的圓上，則直線徑的圓上，則直線 PF 的斜率是的斜率是_解析：解析：如圖，左焦點(diǎn)如圖，左焦點(diǎn) F(2，0)，右焦點(diǎn)，右焦點(diǎn) F(2，0)線段線段 PF 的中點(diǎn)的中點(diǎn) M 在以在以 O(0，0)為圓心，為圓心，2 為半徑的圓上，因?yàn)榘霃降膱A上，因此此OM2.在在FFP 中，中，OM12PF，所以所以 PF4.根據(jù)橢圓的定義，得根據(jù)橢圓的定義，得 PFPF6，所以所以 PF2.又因?yàn)橛忠驗(yàn)?FF4，所以在所以在 RtMFF中，中，tan PFFMFMFFF2MF2MF 15，故直線故直線 PF 的斜率是的斜率是 15.答案：答案： 15三、解答題三、解答題9已知曲線已知曲線 C：y24x，曲線，曲線 M：(x1)2y24(x1)，直線，直線 l與曲線與曲線 C 交于交于 A，B 兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)若若OAOB4，求證：直線，求證：直線 l 恒過(guò)定點(diǎn)；恒過(guò)定點(diǎn)；(2)若直線若直線 l 與曲線與曲線 M 相切相切， 求求PAPB(點(diǎn)點(diǎn) P 坐標(biāo)為坐標(biāo)為(1， 0)的最大值的最大值(1)證明：證明：設(shè)設(shè) l：xmyn，A(x1，y1)，B(x2，y2)由由xmyn，y24x，得得 y24my4n0.所以所以 y1y24m，y1y24n.所以所以 x1x24m22n，x1x2n2.由由OAOB4，得得 x1x2y1y2n24n4，解得，解得 n2.所以直線所以直線 l 方程為方程為 xmy2，所以直線所以直線 l 恒過(guò)定點(diǎn)恒過(guò)定點(diǎn)(2，0)(2)解：解：因?yàn)橹本€因?yàn)橹本€ l 與曲線與曲線 M：(x1)2y24(x1)相切，相切，所以所以|1n|1m22，且，且 n3，整理得整理得 4m2n22n3(n3)又點(diǎn)又點(diǎn) P 坐標(biāo)為坐標(biāo)為(1，0)，所以由已知及，所以由已知及，得，得PAPB(x11，y1)(x21，y2)(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y2n24m22n14nn24m26n144n.又又 y44n(n3)是減函數(shù)，是減函數(shù)，所以當(dāng)所以當(dāng) n3 時(shí)，時(shí)，y44n 取得最大值取得最大值8.故故PAPB的最大值為的最大值為8.10 (2019惠州調(diào)研惠州調(diào)研)已知橢圓已知橢圓 C：y2a2x2b21(ab0)的離心率為的離心率為12，短軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)為 2 3.(1)求橢圓求橢圓 C 的方程；的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)設(shè)過(guò)點(diǎn) A(0，4)的直線的直線 l 與橢圓與橢圓 C 交于交于 M、N 兩點(diǎn)兩點(diǎn)，F(xiàn) 是橢圓是橢圓 C的上焦點(diǎn)問(wèn)：是否存在直線的上焦點(diǎn)問(wèn)：是否存在直線 l，使得，使得 SMAFSMNF？若存在，求出？若存在，求出直線直線 l 的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：解：(1)由題意知由題意知ca12，b 3，且，且 a2b2c2，解之得解之得 a24，b23.所以橢圓所以橢圓 C 的方程為的方程為y24x231.(2)存在理由如下：存在理由如下：由題意可知由題意可知 l 的斜率一定存在，的斜率一定存在，設(shè)設(shè) l 為為 ykx4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立聯(lián)立ykx4，y24x231，(3k24)x224kx360，所以所以（24k）2144（3k24）0， x1x224k3k24，x1x2363k24，由由 SMAFSMNF，知，知 M 為線段為線段 AN 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，所以所以 x22x1，將將代入代入得得 x18k3k24；代入代入得得 x21183k24.從而可得從而可得 k2365，且滿足，且滿足式，式，所以所以 k6 55.因此存在直線因此存在直線 l 為為 6x 5y4 50 或或 6x 5y4 50 滿足題滿足題意意B 級(jí)級(jí)能力提升能力提升11在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中中，已知橢圓已知橢圓 C：x2a2y2b21(ab1)過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) P(2，1)，且離心率，且離心率 e32.(1)求橢圓求橢圓 C 的方程；的方程；(2)直線直線 l 的斜率為的斜率為12，直線，直線 l 與橢圓與橢圓 C 交于交于 A，B 兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)，求PAB面積的最大值面積的最大值解：解：(1)因?yàn)橐驗(yàn)?e2c2a2a2b2a234，所以，所以 a24b2.又又4a21b21，所以，所以 a28，b22.故所求橢圓故所求橢圓 C 的方程為的方程為x28y221.(2)設(shè)設(shè) l 的方程為的方程為 y12xm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立聯(lián)立y12xm，x28y221，消去消去 y 得得 x22mx2m240，判別式判別式164m20，即，即 m24.又又 x1x22m，x1x22m24，則則|AB|114（x1x2）24x1x25（4m2），點(diǎn)點(diǎn) P 到直線到直線 l 的距離的距離 d|m|1142|m|5.因此因此 SPAB12d|AB|122|m|5 5（4m2） m2（4m2）m2（4m2）22.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) m22 即即 m 2時(shí)上式等號(hào)成立，時(shí)上式等號(hào)成立，故故PAB 面積的最大值為面積的最大值為 2.12設(shè)橢圓設(shè)橢圓 M：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為的左、右焦點(diǎn)分別為 A(1，0)，B(1，0)，C 為橢圓為橢圓 M 上的點(diǎn)，且上的點(diǎn)，且ACB3，SABC33.(1)求橢圓求橢圓 M 的標(biāo)準(zhǔn)方程；的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)橢圓設(shè)過(guò)橢圓 M 右焦點(diǎn)且斜率為右焦點(diǎn)且斜率為 k 的動(dòng)直線與橢圓的動(dòng)直線與橢圓 M 相交于相交于 E， F兩點(diǎn)，探究在兩點(diǎn)，探究在 x 軸上是否存在定點(diǎn)軸上是否存在定點(diǎn) D，使得，使得DEDF為定值？若存在，為定值？若存在，試求出定值和點(diǎn)試求出定值和點(diǎn) D 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解解： (1)在在ABC 中中， 由余弦定理得由余弦定理得 AB2CA2CB22CACBcosC(CACB)23CACB4.又又 SABC12CACBsin C34CACB33，所以所以 CACB43，代入上式得，代入上式得 CACB2 2，所以橢圓長(zhǎng)軸所以橢圓長(zhǎng)軸 2a2 2，焦距，焦距 2cAB2，所以，所以 b1.所以橢圓所以橢圓 M 的標(biāo)準(zhǔn)方程為的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22y21.(2)設(shè)直線方程設(shè)直線方程 yk(x1)，E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，聯(lián)立聯(lián)立x22y21，yk（x1） ，消去消去 y 得得(12k2)x24k2x2k220，8k280，所以所以 x1x24k212k2，x1x22k2212k2.假設(shè)假設(shè) x 軸上存在定點(diǎn)軸上存在定點(diǎn) D(x0，0)使得使得DEDF為定值為定值所以所以DEDF(x1x0，y1)(x2x0，y2)x1x2x0(x1x2)x20y1y2x1x2x0(x1x2)x20k2(x11)(x21)(1k2)x1x2(x0k2)(x1x2)x20k2（2x204x01）k2（x202）12k2要使要使DEDF為定值，則為定值，則DEDF的值與的值與 k 無(wú)關(guān)，無(wú)關(guān)，所以所以 2x204x012(x202)，解得，解得 x054，此時(shí)此時(shí)DEDF716為定值，定點(diǎn)為為定值，定點(diǎn)為54，0.