精編北師大版數學資料 (時間：100 分鐘，滿分：120 分) 一、選擇題(本大題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1已知橢圓x225y2161 上的一點 P 到橢圓一個焦點的距離為 3，則 P 到另一焦點的距離為( ) A2 B3 C5 D7 解析：選 D.設另一個焦點為 F，由橢圓定義知 3|PF|10，|PF|7. 2拋物線 yx2的焦點坐標為( ) A(0，18) B(14，0) C(0，14) D(0，12) 解析：選 C.方程化為標準形式為 x2y，故其焦點坐標為(0，14) 3雙曲線 x2y21 的頂點到其漸近線的距離等于( ) A.12 B22 C1 D 2 解析：選 B.雙曲線 x2y21 的頂點坐標為(1，0)，漸近線為 y x，xy0，頂點到漸近線的距離為 d|10|222. 4已知拋物線 y2px2(p0)的準線與圓 x2y24y50 相切，則 p 的值為( ) A10 B6 C.18 D124 解析：選 C.拋物線方程可化為 x212py(p0)，由于圓 x2(y2)29 與拋物線的準線 y18p相切，3218p，p18. 5 已知中心在原點， 焦點在 y 軸上的雙曲線的離心率為 5， 則它的漸近線方程為( ) Ay 2x By52x Cy12x Dy 6x 解析：選 C.由題意知雙曲線的漸近線方程為 yabx， e2c2a21(ba)25，ba2，故漸近線方程為 y12x. 6若直線 l 過點(3，0)與雙曲線 4x29y236 只有一個公共點，則這樣的直線有( ) A1 條 B2 條 C3 條 D4 條 解析：選 C.雙曲線方程可化為x29y241，知(3，0)為雙曲線的右頂點，故符合要求的直線 l 有 3 條，其中一條是切線，另兩條是交線(分別與兩漸近線平行) 7已知定直線 l 與平面成 60角，點 P 是平面 內的一動點，且點 P 到直線 l 的距離為 3，則動點 P 的軌跡是( ) A圓 B橢圓的一部分 C拋物線的一部分 D橢圓 解析：選 D.以 l 為軸底面半徑為 3 的圓柱被與 l 成 60的平面 所截，截線為橢圓 8 設 P 為雙曲線 x2y231 上一點， F1， F2是雙曲線的兩個焦點， 若|PF1|PF2|53，則PF1F2的面積是( ) A4 2 B6 C7 D8 解析：選 B.a1，c2，|PF1|PF2|2，|PF1|PF2|53， 由得|PF1|5，|PF2|3，又|F1F2|4， PF2F190， 故 SPF1F212|PF2|F1F2|12346. 9已知點 P 是拋物線 y22x 上的一個動點，則點 P 到點(0，2)的距離與點 P 到該拋物線準線的距離之和的最小值為( ) A.172 B3 C. 5 D92 解析：選 A.如圖所示，由拋物線的定義知，點 P 到準線 x12的距離 d 等于點 P 到焦點的距離|PF|.因此點 P 到點 M(0， 2)的距離與點 P 到準線的距離之和可轉化為點 P 到點 M(0，2)的距離與點 P 到點 F 的距離之和，其最小值為點 M(0，2)到點 F12，0 的距離，則距離之和的最小值為 414172. 10橢圓x2a2y2b21(ab0)的內接矩形的最大面積的取值范圍是3b2，4b2，則該橢圓的離心率 e 的取值范圍是( ) A33，22 B53，32 C22，53 D33，32 解析：選 B.由對稱性知矩形中心在原點，且兩組對邊平行 x 軸，y 軸，設矩形在第一象限的頂點坐標為(x，y)(x0，y0)， S矩形4xy2ab(2xayb)2ab(x2a2y2b2)2ab3b2，4b2， 3b22ab4b2，即12ba23，e2c2a21(ba)259，34，故 e53，32 二、填空題(本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分把答案填在題中橫線上) 11橢圓x2m2y23m1 的一個焦點為(0，1)，則 m_ 解析：由題意 a23m，b2m2，又 c1，12a2b23mm2，即 m2m20， m2 或 m1，均滿足 3mm2. 答案：2 或 1 12如圖，共頂點的橢圓，與雙曲線，的離心率分別為e1，e2，e3，e4，其大小關系為_ 解析：對橢圓，離心率越小，橢圓越圓，0e1e21； 對雙曲線，離心率越大，張口越大，1e4e3，故 e1e2e4e3. 答案：e1e2e40)最近的點恰好是拋物線的頂點，則 m 的取值范圍是_ 解析：設 P(x，y)為拋物線上任一點，則|PM|2(xm)2y2x22(m1)xm2 x(m1)22m1. m0，m11. 由于 x0，且由題意知當 x0 時，|PM|最小 則對稱軸 xm1 應滿足1m10，0b0)，由題意知：2a18，2a6c，所以解得 a9，c3，故 b2a2c272，所以橢圓 C 的方程是x281y2721，離心率 eca3913. 17(本小題滿分 10 分) k 代表實數，討論方程 kx22y280 所表示的曲線 解：當 k0 時，曲線y24x28k1 為焦點在 y 軸上的雙曲線； 當 k0 時，曲線 2y280 為兩條平行于 x 軸的直線 y2 或 y2； 當 0k2 時，曲線y24x28k1 為焦點在 y 軸上的橢圓 18(本小題滿分 10 分)已知拋物線 y2x 與直線 yk(x1)相交于 A，B 兩點 (1)求證：OAOB； (2)當OAB 的面積等于 10時，求 k 的值 解：(1)證明：如圖所示，由方程組y2x，yk（x1）消去 x 后，整理，得ky2yk0. 設 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數的關系，得 y1y21. A，B 在拋物線 y2x 上， y21x1，y22x2.y21y22x1x2. kOAkOBy1x1y2x2y1y2x1x21y1y21， OAOB. (2)設直線 AB 與 x 軸交于點 N，顯然 k0. 令 y0，則 x1，即 N(1，0) SOABSOANSOBN 12|ON|y1|12|ON|y2| 12|ON|y1y2|， SOAB121 （y1y2）24y1y2 12 1k24. SOAB 10， 1012 1k24， 解得 k16. 19(本小題滿分 12 分)已知：雙曲線 x22y22 的左、右焦點分別為 F1、F2，動點 P滿足|PF1|PF2|4. (1)求：動點 P 的軌跡 E 的方程； (2)若 M 是曲線 E 上的一個動點，求|MF2|的最小值并說明理由 解：(1)F1( 3，0)，F2( 3，0)， 且|PF1|PF2|42 3， P 點的軌跡是以 F1，F2為焦點的橢圓， 且 a2，c 3，從而 b1.動點 P 的軌跡方程為x24y21. (2)設 M(x，y)，則|MF2|（x 3）2y2， x24y21，y21x24，|MF2|34x22 3x4（32x2）232x2 . ME，x2，2， |MF2|232x，x2，2 顯然|MF2|在2，2上為減函數， |MF2|有最小值 2 3. 20 (本小題滿分 13 分)如圖， F1、 F2分別是橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點，A 是橢圓 C 的頂點，B 是直線 AF2與橢圓 C 的另一個交點，F1AF260. (1)求橢圓 C 的離心率； (2)已知AF1B 的面積為 40 3，求 a，b 的值 解：(1)由題意可知，AF1F2為等邊三角形，a2c，所以 e12. (2)法一：a24c2，b23c2， 直線 AB 的方程為 y 3(xc)， 將其代入橢圓方程 3x24y212c2，得 B85c，3 35c ， 所以|AB| 1385c0 165c. 由 SAF1B12|AF1|AB|sinF1AB12a165c322 35a240 3， 解得 a10，b5 3. 法二：設|AB|t.因為|AF2|a，所以|BF2|ta.由橢圓定義|BF1|BF2|2a 可知，|BF1|3at， 再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60可得，t85a. 由 SAF1B12a85a322 35a240 3知，a10，b5 3.