《精校版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第2講 4 弦切角的性質(zhì) Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《精校版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第2講 4 弦切角的性質(zhì) Word版含解析（18頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料 四　弦切角的性質(zhì) 1．掌握弦切角定理，并能利用它解決有關(guān)問題．(重點) 2．體會分類思想，運動變化思想和化歸思想．(難點) [基礎(chǔ)初探] 教材整理　弦切角定理 閱讀教材P33～P34，完成下列問題． 1．弦切角 頂點在圓上，一邊和圓相交、另一邊和圓相切的角叫做弦切角． 2．弦切角定理 (1)文字語言敘述： 弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角． (2)圖形語言敘述： 如圖241，AB與⊙O切于A點，則∠BAC＝∠D. 圖241 1．P在⊙O外，PM切⊙O于C，PAB交⊙O于A，B，則(　　) A．∠M

2、CB＝∠B　　 B．∠PAC＝∠P C．∠PCA＝∠B D．∠PAC＝∠BCA 【解析】　由弦切角定理知∠PCA＝∠B. 【答案】　C 2．如圖242所示，MN與⊙O相切于點M，Q和P是⊙O上兩點，∠PQM＝70，則∠NMP等于(　　) 圖242 A．20　　　　　　 B．70 C．110 D．160 【解析】　根據(jù)弦切角定理：∠NMP＝∠PQM＝70. 【答案】　B [質(zhì)疑手記] 預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　 解惑：　 疑問3：　 解惑：　 [小組合作型] 利用弦切角定理解決與角

3、 有關(guān)的問題 　如圖243，AB是半圓O的直徑，C是圓周上一點(異于A，B)，過C作圓O的切線l，過A作直線l的垂線AD，垂足為D，AD交半圓于點E，求證：CB＝CE. 圖243 【精彩點撥】　解答本題的關(guān)鍵是運用弦切角定理與圓周角定理的有關(guān)知識，進行角度的等量替換． 【自主解答】　連接AC，BE，在DC延長線上取一點F，因為AB是半圓O的直徑，C為圓周上一點， 所以∠ACB＝90，即∠BCF＋∠ACD＝90. 又因為AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90， 所以∠BCF＝∠DAC. 又因為直線l是圓O的切線，所以∠CEB＝∠BCF， 又∠DAC＝∠CBE，所以∠C

4、BE＝∠CEB，∴CB＝CE. 則∠CEB＝∠DAC，由圓周角定理知∠DAC＝∠CBE，∴∠CBE＝∠CEB，∴CB＝CE. 1．把證明線段相等轉(zhuǎn)化為證明角的相等是弦切角定理應(yīng)用的常見題目． 2．利用弦切角定理進行計算、證明，要特別注意弦切角所夾弧所對的圓周角，有時與圓的直徑所對的圓周角結(jié)合運用，同時要注意根據(jù)題目的需要可添加輔助線構(gòu)成所需要的弦切角． [再練一題] 1．如圖244，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，過A作AD⊥CD，D為垂足． 圖244 (1)求證：∠DAC＝∠BAC； (2)若AC＝8，cos∠BAC＝，求⊙O的直徑． 【解】

5、　(1)證明：連接BC，OC， 因為AB是⊙O的直徑，所以∠ACB＝90， 所以∠B＋∠BAC＝90. 因為直線CD與⊙O相切于點C， 所以∠ACD＝∠B，∠OCD＝90. 因為AD⊥CD， 所以∠DAC＋∠ACD＝90. 所以∠DAC＝∠BAC. (2)因為cos∠BAC＝，所以＝， 因為AC＝8，所以AB＝10， 故⊙O的直徑為10. 　利用弦切角定理證明比例式 或乘積式 　如圖245，PA，PB是⊙O的切線，點C在上，CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足分別為D，E，F(xiàn)，求證：CD2＝CECF. 圖245 【精彩點撥】　 → →→ 【自主解

6、答】　連接CA，CB. ∵PA，PB是⊙O的切線． ∴∠CAP＝∠CBA，∠CBP＝∠CA B. 又CD⊥AB，CE⊥PA， CF⊥PB， ∴Rt△CAE∽Rt△CBD， Rt△CBF∽Rt△CAD， ∴＝，＝， ∴＝，即CD2＝CECF. 1．解答本題的難點在于乘積式中的線段不在兩個相似三角形中，需用中間量過渡． 2．弦切角定理經(jīng)常作為工具，進行三角形相似的證明，然后利用三角形相似進一步確定相應(yīng)邊之間的關(guān)系，在圓中證明比例式或等積式，常常需要借助于三角形相似處理． 3．弦切角定理有時還需與圓周角定理等知識綜合運用，它們不但在證明方法上相似，在解題功能上也有相

7、似之處，通常都作為輔助工具出現(xiàn)． [再練一題] 2.如圖246，已知AB是⊙O的直徑，AB＝AC，BC交⊙O于點D，DE⊥AC，E為垂足． 圖246 (1)求證：∠ADE＝∠B； (2)過點O作OF∥AD，與ED的延長線相交于點F，求證：FDDA＝FODE. 【證明】　(1)連接OD， 因為OA＝OD， 所以∠OAD＝∠ODA. 因為AB是⊙O的直徑， 所以∠ADB＝90，即AD⊥BC. 又因為AB＝AC， 所以AD平分∠BAC， 即∠OAD＝∠CAD， 所以∠ODA＝∠DAE＝∠OAD. 因為∠ADE＋∠DAE＝90， 所以∠ADE＋∠ODA＝90，即

8、∠ODE＝90，OD⊥EF. 因為OD是⊙O的半徑，所以EF是⊙O的切線． 所以∠ADE＝∠B. (2)因為OF∥AD，所以∠F＝∠ADE. 又因為∠DEA＝∠FDO(已證)，所以△FDO∽△DEA. 所以FD∶DE＝FO∶DA，即FDDA＝FODE. [構(gòu)建體系] 1．如圖247，AB是半圓O的直徑，C，D是半圓上的兩點，半圓O的切線PC交AB的延長線于點P，∠PCB＝25，則∠ADC為(　　) 圖247 A．105　　　　 B．115 C．120 D．125 【解析】　連接AC，構(gòu)造出夾圓周角∠ADC所對弧的弦切角，即∠PCA，而∠PCA顯然等于∠PCB加

9、上一個直角，由此即得結(jié)果． 【答案】　B 2.如圖248，四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，MN是切圓于C點的切線，若∠BCM＝38，則∠B＝(　　) 圖248 A．32　　　　 B．42 C．52 D．48 【解析】　如圖，連接AC. ∵∠BCM＝38，MN是⊙O的切線， ∴∠BAC＝38. ∵AB為⊙O的直徑，∴∠B＝90－38＝52. 【答案】　C 3．如圖249，A，B是⊙O上的兩點，AC是⊙O的切線，∠B＝65，則∠BAC＝________. 圖249 【解析】　∵OA＝OB， ∠B＝65， ∴∠OAB＝65， ∴∠O＝50，

10、 ∴∠BAC＝∠O＝25. 【答案】　25 4．如圖2410，已知AB為圓的直徑，弦AC與AB成30角，DC切圓于點C，AB＝5 cm，則BD等于________cm. 圖2410 【解析】　如圖，連接BC， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90. ∵∠A＝30，AB＝5 cm， ∴BC＝ cm，∠CBA＝60. ∵CD切⊙O于C， ∴∠DCB＝∠A＝30， ∴∠D＝30， ∴BD＝BC＝ cm. 【答案】　 5.如圖2411，直線AB為圓的切線，切點為B，點C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點E，DB垂直BE交圓于點D. 圖2411 (1)

11、證明：DB＝DC； (2)設(shè)圓的半徑為1，BC＝，延長CE交AB于點F，求△BCF外接圓的半徑． 【解】　(1)證明：如圖，連接DE，交BC于點G. 由弦切角定理，得∠ABE＝∠BCE， 而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，所以BE＝CE. 又因為DB⊥BE，所以DE為圓的直徑，∠DCE＝90. 又因為DE＝DE，所以△DBE≌△DCE， 所以DB＝DC. (2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC， 故DG是BC邊的中垂線，所以BG＝. 設(shè)DE的中點為O，連接BO，則∠BOG＝60，從而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外

12、接圓的半徑等于. 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學(xué)業(yè)分層測評(九) (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達標] 一、選擇題 1．如圖2412所示，AB是⊙O的直徑，MN與⊙O切于點C，AC＝BC，則sin∠MCA＝(　　) 圖2412 A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 【解析】　由弦切角定理，得∠MCA＝∠ABC. ∵sin∠ABC＝＝＝＝，故選D. 【答案】　D 2．如圖2413，在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C點，那么圖中與∠DCF相等的角的個數(shù)是(　　)

13、 圖2413 A．4　　 B．5 C．6 D．7 【解析】　∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，∠DCF＝∠BCE， ∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC. 【答案】　B 3.如圖2414所示，AB是⊙O的直徑，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，則AC的長為(　　) 圖2414 A．2 B．3 C．2 D．4 【解析】　連接BC.∵AB是⊙O的直徑， ∴AC⊥BC，由弦切角定理可知， ∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD， ∴＝， ∴AC2＝ABAD＝62＝12， ∴AC＝2，故選C. 【答案】　C 4．如圖2415，PC與

14、⊙O相切于C點，割線PAB過圓心O，∠P＝40，則∠ACP等于(　　) 圖2415 A．20 B．25 C．30 D．40 【解析】　如圖，連接OC，BC， ∵PC切⊙O于C點， ∴OC⊥PC，∵∠P＝40，∴∠POC＝50. ∵OC＝OB， ∴∠B＝∠POC＝25， ∴∠ACP＝∠B＝25. 【答案】　B 5．如圖2416所示，已知AB，AC與⊙O相切于B，C，∠A＝50，點P是⊙O上異于B，C的一動點，則∠BPC的度數(shù)是(　　) 圖2416 A．65 B．115 C．65或115 D．130或50 【解析】　當點P在優(yōu)弧上時， 由∠A＝5

15、0，得∠ABC＝∠ACB＝65. ∵AB是⊙O的切線，∴∠ABC＝∠BPC＝65. 當P點在劣弧上時，∠BPC＝115. 故選C. 【答案】　C 二、填空題 6.如圖2417所示，直線PB與圓O相切于點B，D是弦AC上的點，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，則AB＝________. 　圖2417 【解析】　∵PB切⊙O于點B，∴∠PBA＝∠ACB. 又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB， ∴△ABD∽△ACB. ∴＝，∴AB2＝ADAC＝mn， ∴AB＝. 【答案】　 7．如圖2418，已知△ABC內(nèi)接于圓O，點D在OC的延長線上．AD是⊙O的切

16、線，若∠B＝30，AC＝2，則OD的長為__________． 圖2418 【解析】　連接OA， 則∠COA＝2∠CBA＝60， 且由OC＝OA知△COA為正三角形，所以O(shè)A＝2. 又因為AD是⊙O的切線，即OA⊥AD， 所以O(shè)D＝2OA＝4. 【答案】　4 8.如圖2419，點P在圓O直徑AB的延長線上，且PB＝OB＝2，PC切圓O于C點，CD⊥AB于D點，則CD＝________. 圖2419 【解析】　連接OC，∵PC切⊙O于點C， ∴OC⊥PC， ∵PB＝OB＝2，OC＝2， ∴PC＝2，∵OCPC＝OPCD， ∴CD＝＝. 【答案】　 三、

17、解答題 9．如圖2420所示，△ABT內(nèi)接于⊙O，過點T的切線交AB的延長線于點P，∠APT的平分線交BT，AT于C，D. 圖2420 求證：△CTD為等腰三角形． 【證明】　∵PD是∠APT的平分線，∴∠APD＝∠DPT. 又∵PT是圓的切線，∴∠BTP＝∠A. 又∵∠TDC＝∠A＋∠APD， ∠TCD＝∠BTP＋∠DPT， ∴∠TDC＝∠TCD，∴△CTD為等腰三角形． 10．如圖2421，AB是⊙O的弦，M是上任一點，過點M的切線與分別以A，B為垂足的直線AD，BC交于D，C兩點，過M點作NM⊥CD交AB于點N，求證：MN2＝ADBC. 圖2421 【證明】

18、　連接AM，MB， 因為DA⊥AB，MN⊥CD， 所以∠MDA＋∠MNA＝180. 又因為∠MNA＋∠MNB＝180， 所以∠MDA＝∠MNB， 又因為CD為⊙O的切線，所以∠1＝∠2， 所以△ADM∽△MNB， 所以＝，同理＝， 所以＝，即有MN2＝ADBC. [能力提升] 1．在圓O的直徑CB的延長線上取一點A，AP與圓O切于點P，且∠APB＝30，AP＝，則CP＝(　　) A.　 B．2 C．2－1 D．2＋1 【解析】　如圖，連接OP，則OP⊥PA， 又∠APB＝30， ∴∠POB＝60， 在Rt△OPA中，由AP＝， 易知，PB＝OP＝1，

19、在Rt△PCB中， 由PB＝1，∠PBC＝60，得PC＝. 【答案】　A 2．如圖2422，AB是⊙O直徑，P在AB的延長線上，PD切⊙O于C點，連接AC，若AC＝PC，PB＝1，則⊙O的半徑為(　　) 圖2422 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　連接BC. ∵AC＝PC，∴∠A＝∠P. ∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P， ∴BC＝BP＝1. 由△BCP∽△CAP，得 PC2＝PBPA， 即AC2＝PBPA. 而AC2＝AB2－BC2， 設(shè)⊙O半徑為r， 則4r2－12＝1(1＋2r)，解得r＝1. 【答案】　A 3．如圖2423，過圓O

20、外一點P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB＝7，C是圓上一點使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，則AB＝__________. 圖2423 【解析】　由PA為⊙O的切線，BA為弦， 得∠PAB＝∠BCA. 又∠BAC＝∠APB， 于是△APB∽△CAB， 所以＝. 而PB＝7，BC＝5， 故AB2＝PBBC＝75＝35，即AB＝. 【答案】　 4．如圖2424，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE. 圖2424 證明： (1)∠FEB＝∠CEB； (2)EF2＝ADBC. 【證明】　(1)由直線CD與⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB. 由AB為⊙O的直徑，得AE⊥EB，從而∠EAB＋∠EBF＝. 又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝. 從而∠FEB＝∠EAB，故∠FEB＝∠CEB. (2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共邊，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. 類似可證Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF. 又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AFBF， 所以EF2＝ADBC. 最新精品資料