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1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料 五與圓有關(guān)的比例線段 課標(biāo)解讀 1.會論證相交弦、割線、切割線、切線長定理． 2.能運用相交弦、割線、切割線、切線長定理進(jìn)行計算與證明. 1．相交弦定理 (1)文字語言 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等． (2)圖形語言 如圖2－5－1，弦AB與CD相交于P點，則PAPB＝PCPD. 圖2－5－1 2．割線定理 (1)文字語言 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等． (2)圖形語言 圖2－5－2 如圖2－5－2，⊙O的割線PAB與PCD，

2、則有：PAPB＝PCPD. 3．切割線定理 (1)文字語言 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項． (2)圖形語言 如圖2－5－3，⊙O的切線PA，切點為A，割線PBC，則有PA2＝PBPC. 圖2－5－3 4．切線長定理 (1)文字?jǐn)⑹? 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角． (2)圖形表示 如圖2－5－4，⊙O的切線PA、PB，則PA＝PB，∠OPA＝∠OPB. 圖2－5－4 1．能否用三角形相似證明相交弦定理？ 【提示】　能．如圖，⊙O的弦AB、CD相交于P點，

3、連接AD、BC，則△APD∽△CPB.故有＝，即PAPB＝PCPD. 2．垂徑定理、切線長定理、射影定理、相交弦定理、切割線定理之間有何關(guān)系？ 【提示】　如圖，PA，PB為⊙O的兩條切線，A，B為切點，PCD為過圓心O的割線，連接AB，交PD于點E，則有下列結(jié)論： (1)PA2＝PB2＝PCPD＝PEPO； (2)AE2＝BE2＝DECE＝OEPE； (3)若AC平分∠BAP，則C為△PAB的內(nèi)心； (4)OA2＝OC2＝OEOP＝OD2； (5)＝，＝，PD⊥AB； (6)∠AOP＝∠BOP，∠APD＝∠BPD. 3．應(yīng)用切割線定理應(yīng)注意什么？ 【提示】　應(yīng)用切割

4、線定理應(yīng)記清關(guān)系式，防止做題時出錯． (1)如圖所示，把PC2＝PAPB錯寫成PC2＝POPB； (2)如圖所示，把關(guān)系式PT2＝PBPA錯寫成PT2＝PBBA，把關(guān)系式PBPA＝PDPC錯寫成PBBA＝PDDC. 相交弦定理 圖2－5－5 　如圖2－5－5，AC為⊙O的直徑，弦BD⊥AC于點P，PC＝2，PA＝8，則tan∠ACD的值為________． 【思路探究】　由垂徑定理知，點P是BD的中點，先用相交弦定理求PD，再用射影定理或勾股定理求AD、CD，最后求tan∠ACD. 【自主解答】　∵BD⊥AC，∴BP＝PD， ∴PD2＝PAPC＝28

5、＝16， ∴PD＝4. 連接AD，則∠ADC＝90， ∴tan∠ACD＝. 又AD＝＝＝4， CD＝＝＝2， ∴tan∠ACD＝＝2. 【答案】　2 1．解答本題的關(guān)鍵是先用相交弦定理求PD，再用勾股定理或射影定理求AD、CD. 2．相交弦定理的運用往往與相似形聯(lián)系密切，也經(jīng)常與垂徑定理、射影定理等相結(jié)合進(jìn)行某些計算與證明． (2013湖南高考)如圖2－5－6，在半徑為的⊙O中，弦AB，CD相交于點P，PA＝PB＝2，PD＝1，則圓心O到弦CD的距離為________． 圖2－5－6 【解析】　由相交弦定理得PAPB＝PCPD. 又PA＝PB＝2，

6、PD＝1，則PC＝4， ∴CD＝PC＋PD＝5. 過O作CD的垂線OE交CD于E，則E為CD中點， ∴OE＝＝＝. 【答案】　 切割線定理 圖2－5－7 　已知如圖2－5－7所示，AD為⊙O的直徑，AB為⊙O的切線，割線BMN交AD的延長線于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2.求： (1)BC的長； (2)⊙O的半徑r. 【思路探究】　 由AB2＝BMBN 求得BC→由CDAC＝CNCM 求得CD→結(jié)果 【自主解答】　(1)不妨設(shè)BM＝MN＝NC＝x. 根據(jù)切割線定理，得AB2＝BMBN， 即22＝x(x＋x)． 解得x＝，∴BC＝3x＝3. (

7、2)在Rt△ABC中， AC＝＝， 由割線定理，得 CDAC＝CNCM，由(1)可知， CN＝，BC＝3， CM＝BC－BM＝3－＝2， AC＝， ∴CD＝＝， ∴r＝(AC－CD) ＝(－)＝. 1．解答本題的關(guān)鍵是先根據(jù)切割線定理求BC. 2．切割線定理常常與弦切角定理、相交弦定理、平行線分線段成比例定理、相似三角形結(jié)合在一起解決數(shù)學(xué)問題，有時切割線定理利用方程進(jìn)行計算、求值等． 圖2－5－8 　(2013天津高考)如圖2－5－8，在圓內(nèi)接梯形ABCD中，AB∥DC.過點A作圓的切線與CB的延長線交于點E.若AB＝AD＝5，BE＝4，則弦BD的長為

8、________． 【解析】　因為AB∥DC，所以四邊形ABCD是等腰梯形，所以BC＝AD＝AB＝5.又AE是切線，所以AE∥BD，AE2＝BEEC＝4(4＋5)＝36，所以AE＝6.因為∠CDB＝∠BAE，∠BCD＝∠ABE，所以△ABE∽△DCB，所以＝，于是BD＝＝. 【答案】　 切線長定理 　如圖2－5－9，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C的切線與過A、B兩點的切線分別交于點E、F，AF與BE交于點P. 圖2－5－9 求證：∠EPC＝∠EBF. 【思路探究】　 由切線→EA＝EC， FC＝FB→＝→CP∥FB→結(jié)論 【自主解答】　∵EA，EF，F(xiàn)

9、B是⊙O的切線， ∴EA＝EC，F(xiàn)C＝FB， ∵EA，F(xiàn)B切⊙O于A，B，AB是直徑， ∴EA⊥AB，F(xiàn)B⊥AB， ∴EA∥FB， ∴＝， ∴＝， ∴CP∥FB， ∴∠EPC＝∠EBF. 1．解答本題的關(guān)鍵是利用對應(yīng)線段成比例得到CP∥FB. 2．運用切線長定理時，注意分析其中的等量關(guān)系，即(1)切線長相等，(2)圓外點與圓心的連線平分兩條切線的夾角，然后結(jié)合三角形等圖形的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行計算與證明． 圖2－5－10 　如圖2－5－10所示，已知⊙O的外切等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB＝DC，梯形中位線為EF. (1)求證：EF＝AB； (2)若EF

10、＝5，AD∶BC＝1∶4，求此梯形ABCD的面積． 【解】　(1)證明：∵⊙O為等腰梯形ABCD的內(nèi)切圓， ∴AD＋BC＝AB＋CD. ∵EF為梯形的中位線，∴AD＋BC＝2EF. 又∵AB＝DC，∴2EF＝2AB，∴EF＝AB. (2)∵EF＝5，∴AB＝5，AD＋BC＝10. ∵AD∶BC＝1∶4，∴AD＝2，BC＝8. 作AH⊥BC于H， 則BH＝(BC－AD)＝(8－2)＝3. 在Rt△ABH中， AH＝＝＝4. ∴S梯ABCD＝EFAH＝54＝20. (教材第40頁習(xí)題2.5第3題)如圖2－5－11，點P為⊙O的弦AB上的任意點，連接PO，PC⊥OP，PC

11、交圓于C，求證：PAPB＝PC2. 圖2－5－11 　　(2012湖南高考) 圖2－5－12 如圖2－5－12所示，過點P的直線與⊙O相交于A，B兩點．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，則⊙O的半徑等于________． 【命題意圖】　本小題考查圓的割線定理的應(yīng)用及計算能力． 【解析】　設(shè)⊙O的半徑為r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2， ∴PB＝PA＋AB＝3. 延長PO交⊙O于點C，則PC＝PO＋r＝3＋r. 設(shè)PO交⊙O于點D，則PD＝3－r. 由圓的割線定理知，PAPB＝PDPC， ∴13＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝. 【答案】　

12、 1．如圖2－5－13，⊙O的兩條弦AB與CD相交于點E，EC＝1，DE＝4，AE＝2，則BE＝(　　) 圖2－5－13 A．1　　　　　　　　　　B．2 C．3 D．4 【解析】　由相交弦定理得AEEB＝DEEC，即2EB＝41，∴BE＝2. 【答案】　B 2．如圖2－5－14，P是⊙O外一點，PA與⊙O相切于點A，過點P的直線l交⊙O于B，C，且PB＝4，PC＝9，則PA等于(　　) 圖2－5－14 A．4 B．6 C．9 D．36 【解析】　由切割線定理知，PA2＝PBPC＝49＝36， ∴PA＝6. 【答案】　B 3．如圖2－5－

13、15，PA、PB分別為⊙O的切線，切點分別為A，B，∠P＝80，則∠C＝________. 圖2－5－15 【解析】　∵PA、PB分別為⊙O的切線， ∴PA＝PB. 又∠P＝80，∴∠PAB＝∠PBA＝50. ∴∠ACB＝∠PAB＝50. 【答案】　50 4．(2013重慶高考)如圖2－5－16，在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60，AB＝20，過C作△ABC的外接圓的切線CD，BD⊥CD，BD與外接圓交于點E，則DE的長為______． 圖2－5－16 【解析】　在Rt△ACB中，∠ACB＝90，∠A＝60， ∴∠ABC＝30. ∵AB＝20，∴AC＝1

14、0，BC＝10. ∵CD為切線，∴∠BCD＝∠A＝60. ∵∠BDC＝90，∴BD＝15，CD＝5. 由切割線定理得 DC2＝DEDB，即(5)2＝15DE，∴DE＝5. 【答案】　5 一、選擇題 1．PT切⊙O于T，割線PAB經(jīng)過點O交⊙O于A、B，若PT＝4，PA＝2，則cos∠BPT＝(　　) A.　　　　　　　B. C. D. 【解析】　如圖所示，連接OT，根據(jù)切割線定理，可得 PT2＝PAPB， 即42＝2PB， ∴PB＝8，∴AB＝PB－PA＝6， ∴OT＝r＝3，PO＝PA＋r＝5， ∴cos∠BPT＝＝. 【答案】　A 圖2－

15、5－17 2．如圖2－5－17，⊙O的直徑CD與弦AB交于P點，若AP＝4，BP＝6，CP＝3，則⊙O半徑為(　　) A．5.5　　　　　　B．5 C．6 D．6.5 【解析】　由相交弦定理知APPB＝CPPD， ∵AP＝4，BP＝6，CP＝3， ∴PD＝＝＝8， ∴CD＝3＋8＝11， ∴⊙O的半徑為5.5. 【答案】　A 圖2－5－18 3．如圖2－5－18，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝4，BC＝3.以BC上一點O為圓心作⊙O與AC、AB都相切，又⊙O與BC的另一個交點為D，則線段BD的長為(　　) A．1　　　B. C.　　　D. 【解析】　觀察

16、圖形，AC與⊙O切于點C，AB與⊙O切于點E， 則AB＝＝5. 如圖，連接OE，由切線長定理得AE＝AC＝4， 故BE＝AB－AE＝5－4＝1. 根據(jù)切割線定理得BDBC＝BE2， 即3BD＝1，故BD＝. 【答案】　C 4. 圖2－5－19 (2011北京高考)如圖2－5－19，AD，AE，BC分別與圓O切于點D，E，F(xiàn)，延長AF與圓O交于另一點G.給出下列三個結(jié)論： ①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AFAG＝ADAE；③△AFB∽△ADG. 其中正確結(jié)論的序號是(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【解析】?、夙?，∵BD＝BF，CE＝

17、CF，∴AD＋AE＝AC＋CE＋AB＋BD＝AC＋AB＋CF＋BF＝AC＋AB＋BC，故①正確； ②項，∵AD＝AE，AD2＝AFAG，∴AFAG＝ADAE，故②正確； ③項，延長AD于M，連結(jié)FD，∵AD與圓O切于點D，則∠GDM＝∠GFD， ∴∠ADG＝∠AFD≠∠AFB，則△AFB與△ADG不相似，故③錯誤，故選A. 【答案】　A 二、填空題 圖2－5－20 5．(2012天津高考)如圖2－5－20，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點B作圓的切線與AC的延長線相交wEw. 【解析】　因為AFBF＝EFCF，解得CF＝2，所以＝，即BD＝.設(shè)CD＝x，AD＝4x，所以

18、4x2＝，所以x＝. 【答案】　 6．(2013北京高考)如圖2－5－21，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，則PD＝________，AB＝________. 圖2－5－21 【解析】　由于PD∶DB＝9∶16，設(shè)PD＝9a，則DB＝16a. 根據(jù)切割線定理有PA2＝PDPB.又PA＝3，PB＝25a， ∴9＝9a25a，∴a＝，∴PD＝，PB＝5. 在Rt△PAB中，AB2＝PB2－AP2＝25－9＝16，故AB＝4. 【答案】　　4 三、解答題 圖2－5－22 7．如圖2－5－22所示，已知PA與⊙

19、O相切，A為切點，PBC為割線，D為⊙O上的點，且AD＝AC，AD，BC相交于點E. (1)求證：AP∥CD； (2)設(shè)F為CE上的一點，且∠EDF＝∠P，求證：CEEB＝FEEP. 【證明】　(1)∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC. 又∵PA與⊙O相切于點A，∴∠ACD＝∠PAD. ∴∠PAD＝∠ADC，∴AP∥CD. (2)∵∠EDF＝∠P，且∠FED＝∠AEP， ∴△FED∽△AEP. ∴FEEP＝AEED. 又∵A、B、D、C四點均在⊙O上， ∴CEEB＝AEED， ∴CEEB＝FEEP. 8．如圖2－5－23，圓的兩弦AB、CD交于點F，從F點引BC的平行線

20、和直線AD交于P，再從P引這個圓的切線，切點是Q，求證：PF＝PQ. 圖2－5－23 【證明】　∵A，B，C，D四點共圓， ∴∠ADF＝∠ABC. ∵PF∥BC，∴∠AFP＝∠ABC. ∴∠AFP＝∠FDP. ∵∠APF＝∠FPD，∴△APF∽△FPD. ∴＝. ∴PF2＝PAPD. ∵PQ與圓相切，∴PQ2＝PAPD. ∴PF2＝PQ2，∴PF＝PQ. 9．如圖2－5－24，已知PA、PB切⊙O于A、B兩點，PO＝4cm，∠APB＝60，求陰影部分的周長． 圖2－5－24 【解】　如下圖所示，連接OA，OB. ∵PA、PB是⊙O的切線，A、

21、B為切點， ∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝， ∠APO＝∠APB＝， 在Rt△PAO中， AP＝POcos＝4＝2 (cm)， OA＝PO＝2 (cm)， PB＝2(cm)． ∵∠APO＝，∠PAO＝∠PBO＝， ∴∠AOB＝， ∴l(xiāng)＝∠AOBR＝2＝π(cm)， ∴陰影部分的周長為 PA＋PB＋l＝2＋2＋π ＝cm. 10. 如圖，已知AD是⊙O的切線，D為切點，割線ABC交⊙O于B、C兩點，若DE⊥AO于E. 求證：∠AEB＝∠ACO. 【證明】　連接DO. ∵AD為切線， ∴AD⊥DO. ∴△ADE∽△AOD. ∴＝. 即AD2＝AEAO. 又∵AD為切線，∴AD2＝ABAC. ∴AEAO＝ABAC，即＝. ∵∠EAB＝∠CAO，∴△EAB∽△CAO. ∴∠AEB＝∠ACO. 最新精品資料