陜西省黃陵中學(xué)2018屆高三數(shù)學(xué)6月模擬考試題 理（重點(diǎn)班，含解斬）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.1.已知集合，則A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：求的集合，根據(jù)集合的運(yùn)算，即可得到詳解：由集合，所以，故選D點(diǎn)睛：本題考查了集合的交集運(yùn)算，正確求解集合是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生推理與運(yùn)算能力2.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，若在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，則A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)z1與z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z1=3-4i，求出z2，代入計(jì)算即可【詳解】復(fù)數(shù)z1與z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z1=3-4iz2=-3-4iz1z2=3-4i-3-4i=-25故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題3.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若a1+a3=6，S4=16，則a4=A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】B【解析】分析：根據(jù)已知條件列出方程組求出a1,d，再求a4得解.詳解：由題得2a1+2d=64a1+6d=16,a1=1,d=2.所以a4=1+32=7.故答案為：B點(diǎn)睛：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和，意在考查學(xué)生等差數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和基本的運(yùn)算能力.4.九章算術(shù)是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中把三角形的田稱為“圭田”，把直角梯形的田稱為“邪田”，稱底是“廣”，稱高是“正從”，“步”是丈量土地的單位.現(xiàn)有一邪田，廣分別為十步和二十步，正從為十步，其內(nèi)有一塊廣為八步，正從為五步的圭田.若在邪田內(nèi)隨機(jī)種植一株茶樹，求該株茶樹恰好種在圭田內(nèi)的概率為A. 215 B. 25C. 415 D. 15【答案】A【解析】分析：利用面積公式以及梯形的面積公式，以及幾何概型能求出在邪田內(nèi)隨機(jī)種植一株茶樹，該株茶樹恰好種在圭田內(nèi)的概率.詳解：邪田的廣分別為十步和二十步，正從為十步，圭田廣為八步，正從為五步的，在邪田內(nèi)隨機(jī)種植一株茶樹，所以利用面積公式，算出圭田的面積面積，1285利用梯形的面積公式，算出邪田的面積，1210+2010根據(jù)幾何概型概率公式可得，該株茶樹恰好種在圭田內(nèi)的概率為：P=215，故選A.點(diǎn)睛：本題題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題. 解決幾何概型問題常見類型有：長(zhǎng)度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計(jì)算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時(shí)要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯(cuò)誤；（2）基本裏件對(duì)應(yīng)的區(qū)域測(cè)度把握不準(zhǔn)導(dǎo)致錯(cuò)誤 ；（3）利用幾何概型的概率公式時(shí) , 忽視驗(yàn)證事件是否等可能性導(dǎo)致錯(cuò)誤.5.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=10，a2+a3+a4+a5+a6=20，則“Sn取得最小值”的一個(gè)充分不必要條件是（ ）A. n=5或6 B. n=5或6或7 C. n=6 D. n=11【答案】C【解析】【分析】求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，令其小于或等于零【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為da2+a3+a4+a5+a6=-205a1+15d=-20a1=-10，d=2an=-10+2n-1=2n-12令an=2n-12=0，解得n=6，故當(dāng)n=5或6時(shí)S5=S6都是最小值，則滿足題意“Sn取得最小值”的一個(gè)充分不必要條件是n=6，故選C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最小問題，有兩種解法：一是求出an0的情況，另一個(gè)是化簡(jiǎn)Sn的表達(dá)式，得到一個(gè)關(guān)于n的一元二次函數(shù)問題。6.我國(guó)古代九章算術(shù)里，記載了一個(gè)例子：今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無(wú)深，袤七尺，問積幾何？”該問題中的羨除是如圖所示的五面體ABCDEF，其三個(gè)側(cè)面皆為等腰梯形，兩個(gè)底面為直角三角形，其中AB=6尺，CD=10尺，EF=8尺，AB,CD間的距離為3尺，CD,EF間的距離為7尺，則異面直線DF與AB所成角的正弦值為（ ）A. 9130130 B. 7130130 C. 97 D. 79【答案】B【解析】【分析】先找出異面直線所成的角，然后計(jì)算邊長(zhǎng)求出正弦值【詳解】如圖：根據(jù)題意ABCD，所以FDC異面直線DF與AB所成角，又因?yàn)镃D=10尺，EF=8尺且側(cè)面為等腰梯形，過點(diǎn)F作FGDC，則DG=9尺，CD,EF間的距離為7尺，故FG=7尺，由勾股定理得DF=81+49=130尺，所以sinFDC=7130=7130130,故選B【點(diǎn)睛】為求異面直線所成角要先通過平行線找出或者作出異面直線所成的角，然后構(gòu)造出三角形，求出邊長(zhǎng)，就可以求三角函數(shù)值。7.設(shè)a=log23，b=ln3，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值為（ ）A. 9+ln3 B. 3-ln3 C. 11 D. 1【答案】C【解析】【分析】將a=log23，b=ln3代入，然后執(zhí)行判定語(yǔ)句輸出結(jié)果【詳解】將a=log23，b=ln3輸入，a=log23=ln3ln2>ln3，即a>b，故S=4log23+ln9ln3=9+2=11，故選C【點(diǎn)睛】本題考查了流程圖輸出結(jié)果，只有判定和b的大小即可計(jì)算出結(jié)果，較為基礎(chǔ)8.近幾個(gè)月來，繼“共享單車”后，“共享汽車”也在我國(guó)幾座大城市中悄然興起，關(guān)系非常要好的A,B,C三個(gè)家庭（每個(gè)家庭2個(gè)大人，1個(gè)小孩，且大人都有駕照）共9人決定周末乘甲、乙兩輛共享汽車出去旅游，已知每車限坐5人（乘同一輛車的人不考慮位置），其中A戶家庭的3人需乘同一輛，則A戶家庭恰好乘坐甲車且甲車至少有2名小孩的概率為（ ）A. 113 B. 1124 C. 1142 D. 521【答案】C【解析】【分析】先求出總的基本事件，然后再求出滿足題意的至少兩名小孩的事件，運(yùn)用古典概率求出結(jié)果【詳解】總的基本事件數(shù)：C61C21+C62C21=42要求至少兩名小孩：C21+C41C21+C22=11則A戶家庭恰好乘坐甲車且甲車至少有2名小孩的概率P=1142故選C【點(diǎn)睛】本題考查了古典概率，按照題目要求分別求出滿足題意的事件數(shù)，然后求出概率。9.設(shè)F1,F2分別為雙曲線C:x2a2y2b2=1a0,b0的左、右焦點(diǎn)，過F1作一條漸近線的垂線，垂足為M，延長(zhǎng)F1M與雙曲線的右支相交于點(diǎn)N，若MN=3F1M，此雙曲線的離心率為（ ）A. 53 B. 43 C. 132 D. 263【答案】A【解析】分析：用雙曲線的一條漸近線與過焦點(diǎn)的直線聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用MN=3F1M，得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，將N點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線的方程，即可的雙曲線的離心率.詳解：由雙曲線的方程，可得其漸近線的方程為y=bax與直線y=ab(xc)，聯(lián)立方程組，可得M的坐標(biāo)為M(ac,abc)，又由MN=3F1M，且F1(c,0)，可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(3c24a2c,4abc)，將N點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線的方程，可得(3c24a2)2a2c216a2c2=1，整理得9c2=25a2，所以離心率為e=ca=259=53，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了雙曲線的離心率的曲解，以及雙曲線的漸近線方程的運(yùn)用，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出a,c ，代入公式e=ca；只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式，轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范圍)10.已知函數(shù)fx=sin2x+<<0將fx的圖象向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后所得的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則關(guān)于函數(shù)fx，下列命題正確的是（ ）A. 函數(shù)fx在區(qū)間6,3上有最小值 B. 函數(shù)fx的一條對(duì)稱軸為x=12C. 函數(shù)fx在區(qū)間6,3上單調(diào)遞增 D. 函數(shù)fx的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)為3,0【答案】C【解析】【分析】通過三角函數(shù)圖像的平移求出平移后的表達(dá)式，然后結(jié)合圖像關(guān)于y軸對(duì)稱求出的值，繼而判斷命題的真假【詳解】由題意，函數(shù)fx=sin2x+-<<0的圖象向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到：函數(shù)gx=sin2x+23+函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱g0=1即23+=k+2，kZ，解得=k-6，kZ，-<<0，=-6，即fx=sin2x-6令-2+2k2x-62+2k，kZ即-6+kx3+k，kZ當(dāng)k=1時(shí)，即x-6，3，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增故選C【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)正弦圖像的性質(zhì)，依據(jù)題意結(jié)合“左加右減”求出平移后的函數(shù)解析式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、最值、對(duì)稱軸來對(duì)命題進(jìn)行判斷。11.如圖，在OMN中，A、B分別是OM、ON的中點(diǎn)，若OP=xOA+yOB（x，yR），且點(diǎn)P落在四邊形ABNM內(nèi)（含邊界），則y+1x+y+2的取值范圍是（ ）A. 13,23 B. 13,34 C. 14,34 D. 14,23【答案】C【解析】分析：利用平面向量的線性運(yùn)算，得出x,y滿足的不等關(guān)系，再利用線性規(guī)劃思想求解.詳解：由題意，當(dāng)P在線段AB上時(shí)，x+y=1，當(dāng)P點(diǎn)在線段MN上時(shí)，x+y=2，當(dāng)P在四邊形ABNM內(nèi)（含邊界）時(shí)，x+y1x+y2x0y0（），又y+1x+y+2=1x+1y+1+1，作出不等式組（）表示的可行域，如圖，y+1x+1表示可行域內(nèi)點(diǎn)(x,y)與P(1,1)連線的斜率，由圖形知kPB=0(1)2(1)=13，kPC=2(1)0(1)=3，即13y+1x+13，13x+1y+13，141x+1y+1+134，故選C.點(diǎn)睛：在平面向量的線性運(yùn)算中，如圖OP=xOA+yOB，x,y的范圍可仿照直角坐標(biāo)系得出，OA，OB類比于x,y軸，直角坐標(biāo)系中有四個(gè)象限，類比在（O,OA,OB）中也有四個(gè)象限，如第象限有x>0y>0，第象限有x<0y>0，第象限有x<0y<0，第象限有x>0y<0，也可類比得出其中的直線方程，二元一次不等式組表示的平面區(qū)域等等.12.設(shè)實(shí)數(shù)m>0，若對(duì)任意的xe，不等式x2lnx-memx0恒成立，則m的最大值是（ ）A. 1e B. e3 C. 2e D. 【答案】D【解析】分析：將原問結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為mxlnx對(duì)任意的xe恒成立，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)求解實(shí)數(shù)m的最大值即可.詳解：不等式x2lnxmemx0 x2lnxmemx xlnxmemxx lnxelnxmxemx.設(shè)fx=xexx>0，則fx=x+1ex>0,于是f(x)在0,+上是增函數(shù).因?yàn)閙x>0，lnx>0，所以mxlnx，即mxlnx對(duì)任意的xe恒成立，因此只需mxlnxmin.設(shè)gx=xlnxxe，gx=lnx+1>0xe，所以gx在e,+上為增函數(shù)，所以gxmin=ge=e，所以me，即m的最大值是e.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.二、填空題13.設(shè)x、y滿足條件x+y-10x+3y-40y-x+30 則z=4x-2y最小值是_【答案】-5【解析】【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解目標(biāo)函數(shù)的最小值即可【詳解】如圖：z=4x-2y，則y=2x-12z，當(dāng)x+y-10x+3y-40即x=-12y=32時(shí)z=4-12-232=-5故答案為-5【點(diǎn)睛】本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)z=4x-2y的最小值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題。14.已知0<a<1，分別在區(qū)間（0，a）和（0，4-a）內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，且取的兩數(shù)之和小于1的概率為316，則a=_【答案】45【解析】【分析】分類討論，分別計(jì)算其面積，由幾何概型的計(jì)算公式可得答案【詳解】由題意可知：12a4-a=316a=6233，不合題意121-a+1aa4-a=316，解得a=45故答案為45【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概型的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是在于用平面區(qū)域表示出題干的代數(shù)關(guān)系。15.如圖，在等腰四面體ABCD中設(shè)BC=AD=a。AC=BD=b，AB=CD=c，外接球的半徑為R，則R=_（用a、b、c表示）【答案】24a2+b2+c2【解析】【分析】由題意得四面體是長(zhǎng)方體中的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的幾何體，其中相等的邊長(zhǎng)分別為長(zhǎng)方體的相對(duì)的面上的對(duì)角線，然后計(jì)算出結(jié)果【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為x，y，根據(jù)題意得x2+y2=a2，y2+z2=b2，x2+z2=c2，相加得x2+y2+z2=a2+b2+c22，R=12x2+y2+z2=12a2+b2+c22=24a2+b2+c2故答案為24a2+b2+c2【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球問題，本題需要把握住對(duì)邊相等長(zhǎng)度聯(lián)想到長(zhǎng)方體，三棱錐的外接球與長(zhǎng)方體的外接球是相同的，因此進(jìn)行轉(zhuǎn)化。16.在ABC中三個(gè)內(nèi)角A,B,C,所對(duì)的邊分別是a，b，c，若（b+2sinC）cosA=-2sinAcosC,且a=23，則ABC面積的最大值是_【答案】3【解析】【分析】運(yùn)用兩角和的正弦公式逆用，然后結(jié)合正弦定理、余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后運(yùn)用不等式求出面積最大值【詳解】b+2sinCcosA=-2sinAcosCbcosA=-2sinCcosA+sinAcosC=-2sinA+C=-2sinB則bsinB=-2cosA，結(jié)合正弦定理得-2cosA=asinA=23sinA，即tanA=-3，A=23由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=-12，化簡(jiǎn)得b2+c2=12-bc2bc，故bc4SABC=12bcsinA12432=3故答案為3【點(diǎn)睛】本題為求三角形面積的最大值，較為綜合，考查了正弦定理、余弦定理和均值不等式，注意兩角和公式逆用還有誘導(dǎo)公式的化簡(jiǎn)，整體計(jì)算需要把握好。三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17.已知nN*，設(shè)Sn是單調(diào)遞減的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a2=12且S4+a4，S6+a6，S5+a5成等差數(shù)列（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列bn滿足bn=log2an+n(1)，數(shù)列1bnbn+1的前n項(xiàng)和Tn滿足T2018=2018，求的值【答案】(1)an=(12)n1；(2)12019.【解析】分析: (1)根據(jù)S4+a4，S6+a6，S5+a5成等差數(shù)列求數(shù)列an的公比q,再求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.（2）先化簡(jiǎn)得bn=(+1)n-1，再利用裂項(xiàng)相消求的值詳解：（1）設(shè)數(shù)列an的公比為q，由2(S6+a6)=S4+a4+S5+a5，得(S6-S5)+(S6-S4)+2a6=a4+a5，即4a6=a4，q2=14，an是單調(diào)遞減數(shù)列，q=12，又a2=12，a1=1，an=(12)n-1（2）由（1）得bn=-log2(12)n-1+n=(+1)n-1，1bnbn+1=1(+1)n-1(+1)(n+1)-1=1+11(+1)n-1-1(+1)(n+1)-1，T2018=1+1(1-12019+2018)=2018(2019+2018)=2018，=-1或=12019，-1，=12019點(diǎn)睛：（1）本題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)的求法和等差中項(xiàng)，考查裂項(xiàng)相消法求和，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握能力和計(jì)算能力.(2) 類似canan+1（其中an是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無(wú)理數(shù)列等.用裂項(xiàng)相消法求和，需要掌握一些常見的裂項(xiàng)方法：1nn+k=1k1n1n+k，特別地當(dāng)k=1時(shí)，1nn+1=1n1n+1 1n+k+n=1kn+kn，特別地當(dāng)k=1時(shí)1n+1+n=n+1nan=(2n)2(2n1)(2n+1)=(4n21)+14n21=1+14n21=1+12(12n112n+1)an=1n(n1)(n+2)=121n(n+1)1(n+1)(n+2).18.某企業(yè)對(duì)現(xiàn)有設(shè)備進(jìn)行了改造，為了了解設(shè)備改造后的效果，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)其質(zhì)量指標(biāo)值，若質(zhì)量指標(biāo)值在20,60)內(nèi)，則該產(chǎn)品視為合格品，否則視為不合格品圖1是設(shè)備改造前的樣本的頻率分布直方圖，表1是設(shè)備改造后的樣本的頻數(shù)分布表（1）完成22列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān)：設(shè)備改造前設(shè)備改造后合計(jì)合格品不合格品合計(jì)（2）根據(jù)圖1和表1提供的數(shù)據(jù)，試從產(chǎn)品合格率的角度對(duì)改造前后設(shè)備的優(yōu)劣進(jìn)行比較；（3）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，根據(jù)客戶需求對(duì)合格品進(jìn)行等級(jí)細(xì)分，質(zhì)量指標(biāo)值落在30,40)內(nèi)的定為一等品，每件售價(jià)180元；質(zhì)量指標(biāo)值落在20,30)或40,50)內(nèi)的定為二等品，每件售價(jià)150元；其他的合格品定為三等品，每件售價(jià)120元根據(jù)頻數(shù)分布表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有合格產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級(jí)產(chǎn)品的概率現(xiàn)有一名顧客隨機(jī)購(gòu)買兩件產(chǎn)品，設(shè)其支付的費(fèi)用為X（單位：元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望附：P(K2k0)0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635K2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【答案】(1)答案見解析；(2)改造后的設(shè)備更優(yōu)；(3)答案見解析.【解析】分析：（1）先完成22列聯(lián)表，再利用公式計(jì)算K2，再判斷是否有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān).(2)根據(jù)產(chǎn)品合格率比較得到改造后的設(shè)備更優(yōu)(3)先求X，再求X對(duì)應(yīng)的概率，最后寫出X的分布列和期望.詳解：（1）根據(jù)圖1和表1得到22列聯(lián)表：設(shè)備改造前設(shè)備改造后合計(jì)合格品8696182不合格品14418合計(jì)100100200將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200(864-9614)218218100100=50008196.105，6.105<6.635，沒有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān)（2）根據(jù)圖1和表1可知，設(shè)備改造前的產(chǎn)品為合格品的概率約為86100=4350，設(shè)備改造后產(chǎn)品為合格品的概率約為96100=2425，顯然設(shè)備改造后合格率更高，因此，改造后的設(shè)備更優(yōu)（3）由表1知：一等品的頻率為12，即從所有合格品產(chǎn)品中隨機(jī)抽到一件一等品的概率為12；二等品的頻率為13，即從所有合格品產(chǎn)品中隨機(jī)抽到一件二等品的概率為13；三等品的頻率為16，即從所有合格品產(chǎn)品中隨機(jī)抽到一件三等品的概率為16由已知得：隨機(jī)變量X的取值為：240,270,300,330,360，P(X=240)=1616=136，P(X=270)=C211316=19，P(X=300)=C211216+1313=518，P(X=330)=C211213=13，P(X=360)=1212=14，隨即變量X的分布列為：X240270300330360P136195181314E(X)=240136+27019+300518+33013+36014=320點(diǎn)睛：（1）本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)和離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和應(yīng)用能力.(2) 一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為x1x2xnPp1p2pn則稱E= x1p1+ x2p2+xnpn+ 為的均值或數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望19.已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，D是BC邊上的中點(diǎn)，E點(diǎn)滿足B1E=2EB，平面ACE平面AC1D，求：(1)側(cè)棱長(zhǎng)；(2)直線A1B1與平面ACE所成的角的正弦值.【答案】(1)36；(2)6622.【解析】分析：(1)先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量垂直對(duì)應(yīng)向量數(shù)量積為零列式解得豎坐標(biāo)，即側(cè)棱長(zhǎng)；(2)利用方程組解得平面ACE一個(gè)法向量，由向量數(shù)量積得直線A1B1方向向量與平面ACE一個(gè)法向量的夾角，最后根據(jù)直線A1B1與平面ACE所成的角與向量夾角互余得結(jié)果.詳解：（1）如圖所示，以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AD所在的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則D33,0,0，C33,3,0.設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為3a，則C133,3,3a，E33,-3,a. AD平面BCC1B1， ADCE.故要使平面ACE平面AC1D，只需CEC1D即可，就是當(dāng)CEC1D時(shí)，則CE平面AC1D，平面ACE平面AC1D. CEC1D=0,-6,a0,-3,-3a=18-3a2=0，即a=6.故側(cè)棱長(zhǎng)為36時(shí)，平面ACE平面AC1D.（2）設(shè)平面ACE法向量為n=x,y,z，則nCE=x,y,z0,-6,6=-6y+6z=0， z=6y.nAC=x,y,z33,3,0=33x+3y=0， y=-3x.取n=1,-3,-32.又A1B1=33,-3,0， cosn,A1B1=1,-3,-3233,-3,0226=6622.故直線A1B1與平面ACE所成的角的正弦值為6622.點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.20.已知M1,0，N1,0，MR=22，OQ=12ON+OR，MP=MR，QPNR=0，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C.(1)求曲線C的軌跡方程.(2)若斜率為22的直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，與x軸相交于D點(diǎn)，則DA2+DB2是否為定值？若為定值，則求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)x22+y2=1；(2)答案見解析.【解析】分析：(1)根據(jù)向量幾何意義得P點(diǎn)為線段NR的垂直平分線與直線MR的交點(diǎn)，即得PM+PN=MR=22 ，再根據(jù)橢圓定義得曲線C的軌跡方程. (2) 設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，Dm,0，化簡(jiǎn)DA2+DB2得32x1+x22-2x1x2-2mx1+x2+2m2，再聯(lián)立侄媳婦與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)即得定值.詳解：（1）由OQ=12ON+OR可知，Q為線段NR的中點(diǎn).由MP=MR可知，P點(diǎn)在直線MR上. 由QPNR=0可知，QPNR.所以P點(diǎn)為線段NR的垂直平分線與直線MR的交點(diǎn)，所以PN=PR，所以PM+PN=MR=22，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以M、N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為22的橢圓，即a=2，c=1，所以b=1.所以曲線C的軌跡方程為x22+y2=1.（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，Dm,0，則直線的方程為y=22x-m，將y=22x-m代入x22+y2=1得2x2-2mx+m2-2=0. =4m2-8m2-2=16-4m2>0，所以-2<m<2.則x1+x2=m，x1x2=m2-22.所以DA2+DB2=x1-m2+y12+x2-m2+y22=32x1-m2+32x2-m2=32x1-m2+x2-m2=32x12+x22-2mx1+x2+2m2 =32x1+x22-2x1x2-2m2+2m2=32m2-m2-2=3故DA2+DB2是定值3.點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).21.已知fx=lnx，gx=12ax2+bxa0，hx=fxgx.（）若a=3,b=2，求hx的極值；（）若函數(shù)y=hx的兩個(gè)零點(diǎn)為x1,x2x1x2，記x0=x1+x22，證明：hx0<0【答案】（）極大值為ln356，無(wú)極小值；（）證明見解析.【解析】分析：（）先判斷函數(shù)hx在0,+上的單調(diào)性，然后可得當(dāng)x=13時(shí)，hx有極大值，無(wú)極小值（）不妨設(shè)0<x1<x2，由題意可得hx1-hx2=lnx1-lnx2-a2x12-x22-bx1-x2=0，即lnx1-lnx2=a2x12-x22+bx1-x2，又由條件得hx0=2x1+x2-ax1+x22+b，構(gòu)造x1-x2hx0=x1-x22x1+x2-ax1+x22-b=2x1x2-1x1x2+1-lnx1x2，令x1x2=t0<t<1，則rt=2t-1t+1-lnt，0<t<1，利用導(dǎo)數(shù)可得rt>r1=0，故得x1-x2hx0>0，又x1-x2<0，所以hx0<0詳解：（）hx=lnx-32x2-2x,x0,+，hx=1x-3x-2=-3x2-2x+1x=-3x-1x+1x，由hx=-3x-1x+1x=0得x=13，且當(dāng)0<x<13時(shí)，hx>0，即hx在0,13上單調(diào)遞增，當(dāng)x>13時(shí)，hx<0，即hx在13,+上單調(diào)遞減，當(dāng)x=13時(shí)，hx有極大值，且hx極大值=h13=-ln3-56，無(wú)極小值（）函數(shù)y=hx的兩個(gè)零點(diǎn)為x1,x2x1x2，不妨設(shè)0<x1<x2，hx1=lnx1-a2x12-bx1=0，hx2=lnx2-22x22-bx2=0hx1-hx2=lnx1-a2x12-bx1-lnx2-a2x22-bx2 =lnx1-lnx2-a2x12-x22-bx1-x2=0，即lnx1-lnx2=a2x12-x22+bx1-x2，又hx=fx-gx=1x-ax+b，x0=x1+x22，hx0=2x1+x2-ax1+x22+b，x1-x2hx0=x1-x22x1+x2-ax1+x22-b=2x1-x2x1+x2-12ax12-x22+bx1-x2=2x1-x2x1+x2-lnx1-lnx2=2x1x2-1x1x2+1-lnx1x2令x1x2=t0<t<1，則rt=2t-1t+1-lnt，0<t<1rt=4t+12-1t=-t-12t+12t<0，rt在0,1上單調(diào)遞減，故rt>r1=0，2x1x2-1x1x2+1-lnx1x2>0，即x1-x2hx0>0，又x1-x2<0，hx0<0點(diǎn)睛：（1）研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲怠⒑瘮?shù)的變化趨勢(shì)等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的大體圖象，然后通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)（2）證明不等式時(shí)常采取構(gòu)造函數(shù)的方法，然后通過判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助函數(shù)的最值進(jìn)行證明22.在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C1的參數(shù)方程是x=3cosy=sin（是參數(shù)）.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是sin+4=42（1）求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)P為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到C2上點(diǎn)的距離的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo).【答案】（1）x23+y2=1，x+y8=0；（2）d的最小值為32,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為32,12【解析】【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系把參數(shù)化為直角坐標(biāo)方程，利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程求得橢圓上的點(diǎn)到直線的距離為，可得的最小值，以及此時(shí)的值，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)【詳解】(1）由曲線:可得：，兩式兩邊平方相加可得：曲線的普通方程為:.由曲線得:,即,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為:.(2)由(1)知橢圓與直線無(wú)公共點(diǎn),橢圓上的點(diǎn)到直線的距離為,當(dāng)時(shí),d的最小值為,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是曲線的參數(shù)方程，參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，點(diǎn)到直線的距離公式，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力及三角恒等變換的掌握，屬于中檔題。6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375