第三節(jié)第三節(jié) 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃 考點(diǎn)一 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 1(20 xx廣東，6)若變量x，y滿足約束條件4x5y8，1x3，0y2，則z3x2y的最小值為( ) A.315 B6 C.235 D4 解析 不等式組所表示的可行域如圖所示， 由z3x2y得y32xz2，依題當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線l：y32xz2經(jīng)過(guò)A1，45時(shí)，z取得最小值即zmin31245235，故選 C. 答案 C 2(20 xx北京，2)若x，y滿足xy0，xy1，x0，則zx2y的最大值為( ) A0 B1 C.32 D2 解析 可行域如圖所示目標(biāo)函數(shù)化為y12x12z，當(dāng)直線y12x12z，過(guò)點(diǎn)A(0，1)時(shí)，z取得最大值 2. 答案 D 3(20 xx福卷，5)若變量x，y滿足約束條件x2y0，xy0，x2y20，則z2xy的最小值等于( ) A52 B2 C32 D2 解析 如圖，可行域?yàn)殛幱安糠郑€性目標(biāo)函數(shù)z2xy可化為y2xz，由圖形可知當(dāng)y2xz過(guò)點(diǎn)1，12時(shí)z最小，zmin2(1)1252，故選 A. 答案 A 4(20 xx山東，6)已知x，y滿足約束條件xy0，xy2，y0，若zaxy的最大值為 4，則a( ) A3 B2 C2 D3 解析 不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示 易知A(2，0)，由xy0，xy2，得 B(1，1) 由zaxy，得yaxz. 當(dāng)a2或a3時(shí)，zaxy在O(0，0)處取得最大值，最大值為zmax0，不滿足題意，排除 C，D 選項(xiàng)；當(dāng)a2 或 3 時(shí)，zaxy在A(2，0)處取得最大值， 2a4，a2，排除 A，故選 B. 答案 B 5(20 xx陜西，10)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn) 1 噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為 3 萬(wàn)元、4 萬(wàn)元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤(rùn)為( ) 甲 乙 原料限額 A(噸) 3 2 12 B(噸) 1 2 8 A.12 萬(wàn)元 B16 萬(wàn)元 C17 萬(wàn)元 D18 萬(wàn)元 解析 設(shè)甲、乙的產(chǎn)量分別為x噸，y噸，由已知可得 3x2y12，x2y8，x0，y0， 目標(biāo)函數(shù)z3x4y，線性約束條件表示的可行域如圖陰影部分所示： 可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取到最大值 由x2y8，3x2y12，得A(2，3) 則zmax324318(萬(wàn)元) 答案 D 6(20 xx廣東，3)若變量x，y滿足約束條件yx，xy1，y1，且z2xy的最大值和最小值分別為m和n，則mn( ) A5 B6 C7 D8 解析 作出可行域(如圖中陰影部分所示)后，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)可知，當(dāng)直線y2xz經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z的值最大，由y1xy1x2y1，則mzmax2213.當(dāng)直線y2xz經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，z的值最小，由y1yxx1y1，則nzmin2(1)13，故mn6. 答案 B 7(20 xx安徽，5)x，y滿足約束條件xy20，x2y20，2xy20.若zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為( ) A.12或1 B2 或12 C2 或 1 D2 或1 解析 法一 由題中條件畫出可行域，可知A(0，2)，B(2，0)，C(2，2)，則zA2，zB2a，zC2a2，要使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解不唯一，只要zAzBzC或zAzCzB或zBzCzA，解得a1 或a2. 法二 目標(biāo)函數(shù)zyax可化為yaxz，令l0：yax，平移l0，則當(dāng)l0AB或l0AC時(shí)符合題意，故a1 或a2. 答案 D 8(20 xx新課標(biāo)全國(guó)，9)已知a0，x，y滿足約束條件x1，xy3，ya（x3），若z2xy的最小值為 1，則a等于( ) A.14 B.12 C1 D2 解析 作出約束條件表示的可行域如圖所示，是ABC的內(nèi)部及邊界 由目標(biāo)函數(shù)，得y2xz， 當(dāng)直線l：y2xz過(guò)點(diǎn)B(1，2a)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z2xy的最小值為 1. 22a1，則a12. 答案 B 9(20 xx新課標(biāo)全國(guó)，15)若x，y滿足約束條件x10，xy0，xy40，則yx的最大值為_ 解析 約束條件的可行域如下圖，由yxy0 x0，則最大值為 3. 答案 3 10(20 xx大綱全國(guó)，14)設(shè)x、y滿足約束條件xy0，x2y3，x2y1，則zx4y的最大值為_ 解析 作出約束條件下的平面區(qū)域，如圖所示由圖可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)zx4y經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1，1)時(shí)取得最大值，且最大值為 1415. 答案 5 11(20 xx湖南，14)若變量x，y滿足約束條件yx，xy4，yk，且z2xy的最小值為6，則k_. 解析 畫出可行域(圖略)，由題意可知不等式組表示的區(qū)域?yàn)橐蝗切?，平移參照直線2xy0，可知在點(diǎn)(k，k)處z2xy取得最小值，故zmin2kk6.解得k2. 答案 2 12(20 xx江蘇，9)拋物線yx2在x1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域?yàn)镈(包含三角形內(nèi)部和邊界)若點(diǎn)P(x，y)是區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn)，則x2y的取值范圍是_ 解析 由題意可知拋物線yx2在x1 處的切線方程為y2x1.該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的區(qū)域如圖中陰影部分所示： 當(dāng)直線x2y0 平移到過(guò)點(diǎn) A12，0 時(shí)，x2y取得最大值12. 當(dāng)直線x2y0 平移到過(guò)點(diǎn)B(0，1)時(shí)，x2y取得最小值2.因此所求的x2y的取值范圍為2，12. 答案 2，12 13(20 xx陜西，13)若點(diǎn)(x，y)位于曲線y|x1|與y2所圍成的封閉區(qū)域，則2xy的最小值為_ 解析 如圖，曲線y|x1|與y2 所圍成的封閉區(qū)域如圖中陰影部分，令z2xy，則y2xz，作直線y2x，在封閉區(qū)域內(nèi)平行移動(dòng)直線y2x，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，2)時(shí)，z取得最小值，此時(shí)z2(1)24. 答案 4 考點(diǎn)二 與線性規(guī)劃有關(guān)的綜合性問(wèn)題 1(20 xx山東，9)已知x，y滿足約束條件xy10，2xy30，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)zaxby(a0，b0)在該約束條件下取到最小值 2 5時(shí)，a2b2的最小值為( ) A5 B4 C. 5 D2 解析 法一 不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A(2，1)處取得最小值，故 2ab25，兩端平方得 4a2b24ab20，又 4ab2a2ba24b2，所以 204a2b2a24b25(a2b2)，所以a2b24，即a2b2的最小值為 4，當(dāng)且僅當(dāng)a2b，即b25，a45時(shí)等號(hào)成立 法二 把 2ab2 5看作平面直角坐標(biāo)系aOb中的直線，則a2b2的幾何意義是直線上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方，顯然a2b2的最小值是坐標(biāo)原點(diǎn)到直線 2ab2 5距離的平方，即|2 5|524. 答案 B 2(20 xx山東，6)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組2xy20，x2y10，3xy80所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則直線OM斜率的最小值為( ) A2 B1 C13 D12 解析 已知的不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示，顯然當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)直線OM的斜率最小，由直線方程x2y10和 3xy80，解得A(3，1)，故OM斜率的最小值為13. 答案 C 3(20 xx北京，8)設(shè)關(guān)于x，y的不等式組2xy10，xm0表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0，y0)，滿足x02y02，求得m的取值范圍是( ) A.，43 B.，13 C.，23 D.，53 解析 圖中陰影部分表示可行域，要求可行域內(nèi)包含y12x1 上的點(diǎn)，只需要可行域的邊界點(diǎn)(m，m)在y12x1 下方，也就是m12m1，即m12即k0，2x1，x0，D是由x軸和曲線yf(x)及該曲線在點(diǎn)(1，0)處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則zx2y在D上的最大值為_ 解析 由題知在點(diǎn)(1，0)處的切線的斜率kf(1)111，則切線方程為yx1.區(qū)域D為如圖陰影部分所示則z的最大值即為直線y12xz2在y軸上的最小截距，此時(shí)，(0，1)為最優(yōu)解，所以z02(1)2. 答案 2