《精校版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第1講 3 1 相似三角形的判定 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《精校版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第1講 3 1 相似三角形的判定 Word版含解析（18頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料 三　相似三角形的判定及性質(zhì) 1．相似三角形的判定 1．了解三角形相似的定義． 2．掌握相似三角形的判定定理，以及直角三角形相似的判定方法．(重點、易混點) [基礎(chǔ)初探] 教材整理1　相似三角形的有關(guān)概念 閱讀教材P10“定義”部分，完成下列問題． 1．定義 對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形． 2．相似比 相似三角形對應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù))． 教材整理2　相似三角形的判定 閱讀教材P10～P15“思考”以上部分，完成下列問題． 1．預(yù)備定理 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩

2、邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似． 2．相似三角形的判定 定理名稱 定理內(nèi)容 簡述 判定 定理1 對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似. 兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似． 判定 定理2 對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似. 判定 定理3 對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似. 三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似. 　如圖131

3、所示，在△ABC中，F(xiàn)D∥GE∥BC，則與△AFD相似的三角形有(　　) 圖131 A．1個　　　 B．2個 C．3個 D．4個 【解析】　∵FD∥GE∥BC， ∴△AFD∽△AGE∽△ABC. 【答案】　B 教材整理3　直角三角形的相似 閱讀教材P13～P16“相似三角形的性質(zhì)”以上部分，完成下列問題． 1．引理 如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊． 2．直角三角形相似的判定 定理：(1)如果兩個直角三角形有一個銳角對應(yīng)相等，那么它們相似． (2)如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比例，那么它們

4、相似． 定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似． 下列判斷中，不正確的是(　　) A．兩直角邊分別是3.5,2和2.8,1.6的兩個直角三角形相似 B．斜邊和一直角邊長分別是2，4和，2的兩個直角三角形相似 C．兩條邊長分別是7,4和14,8的兩個直角三角形相似 D．兩個等腰直角三角形相似 【解析】　由直角三角形相似判定定理知A，B，D正確． 【答案】　C [質(zhì)疑手記] 預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　 解惑：　 疑問3：　 解惑

5、：　 [小組合作型] 相似三角形的判定 　如圖132，在?ABCD中，過點B作BE⊥CD，垂足為E，連接AE，F(xiàn)為AE上一點，且∠BFE＝∠C. 圖132 (1)求證：△ABF∽△EAD； (2)若AB＝4，∠BAE＝30，求AE的長． 【精彩點撥】　(1)要證△ABF∽△EAD，易知∠1＝∠2，只需再找一對角相等，即可利用判定定理1證明兩三角形相似．(2)解Rt△ABE可求得AE的長． 【自主解答】　(1)證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴∠1＝∠2，∠C＋∠D＝180. 又∵∠C＝∠BFE，∠BFE＋∠BFA＝180， ∴∠D＝∠BFA，∴△ABF

6、∽△EAD. (2)∵AB∥CD，BE⊥CD，∴∠ABE＝90. 在Rt△AEB中，∠1＝30，AB＝4， ∴AE＝＝＝ . 判定兩個三角形相似時，關(guān)鍵是分析已知哪些邊對應(yīng)成比例，哪些角對應(yīng)相等，根據(jù)三角形相似的判定定理，還缺少什么條件就推導(dǎo)出這些條件． [再練一題] 1．如圖133，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36，BD是角平分線，證明：△ABC∽△BDC. 圖133 【證明】　∵∠A＝36，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝72. 又∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝36， ∴∠A＝∠CBD. 又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.

7、 　證明線段成比例 　如圖134，已知△ABC中，∠BAC＝90，AD⊥BC于D，E是AC的中點，連接ED并延長與AB的延長線交于F.求證：＝. 圖134 【精彩點撥】　由條件知：AB∶AC＝BD∶AD，轉(zhuǎn)證BD∶AD＝DF∶AF，變?yōu)樽C△FAD∽△FDB.其中BD∶AD正是兩對相似三角形的中間比． 【自主解答】　∵∠BAC＝90，AD⊥BC， ∴∠C＝∠BAD，Rt△ADB∽Rt△CDA， ∴＝. 又∵E是AC的中點，∴AE＝DE＝EC， ∴∠DAE＝∠ADE，∴∠BAD＝∠BDF. 又∠F＝∠F，∴△FDB∽△FAD. ∴＝， 即＝. 1．本題根據(jù)

8、＝，把欲證明的問題轉(zhuǎn)化為證明＝是解題的關(guān)鍵． 2．求證的成比例線段所在的三角形不相似時，應(yīng)考慮用中間比過渡，也就是轉(zhuǎn)證其他三角形相似，得到比例線段，最后得證結(jié)論． [再練一題] 2．如圖135所示，已知梯形ABCD中，AB∥DC，AC，BD相交于點O，BE∥AD交AC的延長線于點E.求證：OA2＝OCOE. 圖135 【證明】　∵DC∥AB， ∴△AOB∽△COD， ∴＝. 又∵AD∥BE，∴△ODA∽△OBE，∴＝， ∴＝，即OA2＝OCOE. 證明兩直線平行 　如圖136，D為△ABC的邊AB上一點，過D點作DE∥BC，DF∥AC，AF交DE于G，BE交D

9、F于H，連接GH.求證：GH∥A B. 圖136 【精彩點撥】　結(jié)合圖形的特點可以先證比例式＝成立，再證△EGH∽△EDB，由此得∠EHG＝∠EBD即可． 【自主解答】　∵DE∥BC， ∴＝＝，即＝. 又∵DF∥AC，∴＝. ∴＝，∴＝. 又∠GEH＝∠DEB，∴△EGH∽△EDB， ∴∠EHG＝∠EBD，∴GH∥AB. 1．由平行線可以得到比例式，由比例式也可以確定兩直線的平行關(guān)系． 2．證明平行關(guān)系時，可以由引理找到比例式得證，也可以使用平行線的其他判定方法． [再練一題] 3.如圖137，在平行四邊形ABCD中，直線EF∥AB，連接AE，BF，DE

10、，CF，分別交于G，H，連接GH.求證：GH∥BC. 圖137 【證明】　∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD. 又∵EF∥AB，∴AB∥EF∥CD， ∴△BAG∽△FEG，△DCH∽△EFH， ∴＝，＝，∴＝， ∴GH∥BC. [構(gòu)建體系] 1．如圖138，銳角三角形ABC的高CD和BE相交于點O，圖中與△ODB相似的三角形的個數(shù)是(　　) 圖138 A．1　　　 B．2 C．3 D．4 【解析】　∵BE⊥AC，CD⊥AB， ∴△ODB，△ABE，△ADC，△OCE都是直角三角形． 又∵∠DBO＝∠EBA，∠A＝∠A，∠DOB＝∠

11、EOC， ∴△ODB∽△AEB∽△ADC，△ODB∽△OEC， ∴與△ODB相似的三角形有3個． 【答案】　C 2．給出下列四個命題： ①三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似； ②一個角對應(yīng)相等的兩個直角三角形相似； ③一個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形相似； ④一個角對應(yīng)相等的兩個等腰三角形相似． 其中正確的命題是(　　) A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④ 【解析】?、佗鄱际桥卸ǘɡ恚@然正確，②中若相等的角是直角，則不一定相似，故不正確．④中，若相等的角在一個三角形中是頂角，在另一個三角形中是底角，則不一定相似，故不正確． 【答案】　A 3．如圖139所

12、示，DE與BC不平行，當(dāng)＝________時，△ABC∽△AED. 圖139 【解析】　△ABC與△AED有一個公共角∠A，當(dāng)∠A的兩夾邊對應(yīng)成比例，即＝時，這兩個三角形相似． 【答案】　 4．如圖1310所示，在△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB，AC＝6，AD＝3，則AB＝________. 圖1310 【解析】　在△ACD和△ABC中， ∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90. ∴△ACD∽△ABC， ∴＝， ∴＝，∴AB＝12. 【答案】　12 5．如圖1311，△ABC是等邊三角形，且點E，D在直線BC上，且∠DAE＝120，求證：△EAB∽△EDA

13、. 圖1311 【證明】　因為∠DAE＝120，△ABC是等邊三角形， 所以∠ABE＝120＝∠DAE， 又∠E為公共角， 在△EAB和△EDA中，有兩組對應(yīng)角相等，所以△EAB∽△EDA. 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學(xué)業(yè)分層測評(三) (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．如圖1312，在正方形網(wǎng)格上有6個三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK.其中，②～⑥中與三角形①相似的是 (　　) 圖1312 A．②③④　　 B．③④⑤

14、 C．④⑤⑥ D．②③⑥ 【解析】　由相似三角形判定定理知選B. 【答案】　B 2．如圖1313，在△ABC中，M在BC上，N在AM上，CM＝CN，且＝，下列結(jié)論中正確的是(　　) 圖1313 A．△ABM∽△ACB B．△ANC∽△AMB C．△ANC∽△ACM D．△CMN∽△BCA 【解析】　∵CM＝CN，∴∠CMN＝∠CNM. ∵∠AMB＝∠CNM＋∠MCN， ∠ANC＝∠CMN＋∠MCN，∴∠AMB＝∠ANC. 又＝， ∴△ANC∽△AM B. 【答案】　B 3．如圖1314，正方形ABCD中，E為AB的中點，AF⊥DE于點O，則等于(　　)

15、圖1314 A. B. C. D. 【解析】　∵AF⊥DE，∴Rt△DAO∽Rt△DEA， ∴＝＝. 【答案】　D 4．如圖1315，在等邊三角形ABC中，E為AB中點，點D在AC上，使得＝，則有(　　) 圖1315 A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD 【解析】　因為∠A＝∠C，＝＝2，所以△AED∽△CBD. 【答案】　B 5.如圖1316所示，已知點E，F(xiàn)分別是△ABC中AC，AB邊的中點，BE，CF相交于點G，F(xiàn)G＝2，則CF的長為(　　) 圖1316 A．4 B．4.5 C．

16、5 D．6 【解析】　∵E，F(xiàn)分別是△ABC中AC，AB邊的中點，∴FE∥BC，由相似三角形的預(yù)備定理，得△FEG∽△CBG，∴＝＝. 又FG＝2，∴GC＝4，∴CF＝6. 【答案】　D 二、填空題 6．如圖1317，BD⊥AE，∠C＝90，AB＝4，BC＝2，AD＝3，則DE＝________，CE＝________. 圖1317 【解析】　在Rt△ACE和Rt△ADB中，∠A為公共角，∴△ACE∽△ADB，∴＝， ∴AE＝＝＝＝8，則DE＝AE－AD＝5， 在Rt△ACE中，CE＝＝＝2. 【答案】　5　2 7．如圖1318，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90

17、，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則AE＝________. 圖1318 【解析】　由∠B＝∠D，AE⊥BC及∠ACD＝90可以推得： Rt△ABE∽Rt△ADC，故＝ ∴AE＝＝2. 【答案】　2 8.如圖1319，在平行四邊形ABCD中，E在DC上，若DE∶EC＝1∶2，則BF∶BE＝________. 圖1319 【解析】　∵DE∶EC＝1∶2， ∴DC∶EC＝3∶2，∴AB∶EC＝3∶2. ∵AB∥EC， ∴△ABF∽△CEF， ∴＝＝，∴＝. 【答案】　3∶5 三、解答題 9．如圖1320，已知△ABC中，AB＝AC，AD是中線，P是AD上一

18、點，過C作CF∥AB，延長BP交AC于E，交CF于點F. 求證：PB2＝PEPF. 圖1320 【證明】　連接PC. ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∵AD是中線，∴AD垂直平分BC， ∴PB＝PC， ∴∠PBD＝∠PCD， ∴∠ABP＝∠ACP. 又∵CF∥AB，∴∠ABP＝∠F＝∠ACP， 而∠CPE＝∠FPC. ∴△PCE∽△PFC， ∴＝，∴PC2＝PEPF， 即PB2＝PEPF. 10.如圖1321，某市經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)建有B，C，D三個食品加工廠，這三個工廠和開發(fā)區(qū)A處的自來水廠正好在一個矩形的四個頂點上，它們之間有公路相通，且AB＝CD＝900

19、米，AD＝BC＝1 700米．自來水公司已經(jīng)修好一條自來水主管道AN，B，C兩廠之間的公路與自來水主管道交于E處，EC＝500米．若自來水主管道到各工廠的自來水管道由各廠負(fù)責(zé)修建，每米造價800元． 圖1321 (1)要使修建自來水管道的造價最低，這三個工廠的自來水管道路線應(yīng)怎樣設(shè)計？并在圖中畫出該路線； (2)求出各廠所修建的自來水管道的最低造價各是多少元？ 【解】　(1)如圖，過B，C，D分別作AN的垂線段BH，CF，DG交AN于H，F(xiàn)，G，BH，CF，DG即為所求的造價最低的管道路線． (2)在Rt△ABE中，AB＝900米， BE＝1 700－500＝1 200米，

20、∴AE＝＝1 500(米)， 由△ABE∽△CFE，得到＝， 即＝， 可得CF＝300(米)．由△BHE∽△CFE， 得＝， 即＝，可得BH＝720(米)． 由△ABE∽△DGA，得＝， 即＝， 可得DG＝1020(米)． 所以，B，C，D三廠所建自來水管道的最低造價分別是720800＝576 000(元)，300800＝240 000(元)，1 020800＝816 000(元)． [能力提升] 1.如圖1322所示，要使△ACD∽△BCA，下列各式中必須成立的是(　　) 圖1322 A.＝　　　 B.＝ C．AC2＝CDCB D．CD2＝ACAB 【解析】

21、　∠C＝∠C，只有＝，即AC2＝CDCB時，才能使△ACD∽△BCA. 【答案】　C 2．如圖1323所示，∠AOD＝90，OA＝OB＝BC＝CD，則下列結(jié)論正確的是(　　) 圖1323 A．△DAB∽△OCA B．△OAB∽△ODA C．△BAC∽△BDA D．△OAC∽△ABD 【解析】　設(shè)OA＝OB＝BC＝CD＝a， 則AB＝a，BD＝2a， ∴＝，＝＝， ∴＝，且∠ABC＝∠DBA， ∴△BAC∽△BDA. 【答案】　C 3．如圖1324所示，∠BAC＝∠DCB，∠CDB＝∠ABC＝90，AC＝a，BC＝B.當(dāng)BD＝__________時，△ABC∽△C

22、DB. 圖1324 【解析】　由＝即可得到． 【答案】　 4．如圖1325所示，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F，連接FC(AB>AE)． 圖1325 (1)△AEF與△ECF是否相似？若相似證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由； (2)設(shè)＝k，是否存在這樣的k值 ，使得△AEF與△BFC相似，若存在，證明你的結(jié)論，并求出k的值；若不存在，說明理由． 【解】　(1)相似．在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90. ∵EF⊥EC，A，E，D共線，∴∠AEF＋∠DEC＝90. 又∵∠DCE＋∠DEC＝90，∴∠AEF＝∠DCE， ∴△AEF∽△DCE，∴＝， ∴AE＝DE，∴＝. 又∵∠A＝∠FEC＝90，∴△AEF∽△ECF. (2)存在．由于∠AEF＝90－∠AFE<180－∠CFE－∠AFE＝∠BFC， ∴只能是△AEF∽△BCF，∠AEF＝∠BCF. 由(1)知∠AEF＝∠DCE＝∠ECF＝∠FCB＝30. ∴＝＝＝，即k＝. 反過來，在k＝時，＝，∠DCE＝30， ∠AEF＝∠DCE＝30，∠ECF＝∠AEF＝30， ∠BCF＝90－30－30＝30＝∠AEF. ∴△AEF∽△BCF. 最新精品資料