第四節(jié)第四節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例 1.變變量間的相關(guān)關(guān)系量間的相關(guān)關(guān)系 (1)常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系. (2)從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，點(diǎn)散布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)正相關(guān)，點(diǎn)散布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān). 2.兩個(gè)變量的線性相關(guān)兩個(gè)變量的線性相關(guān) (1)從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，稱兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線稱兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線. (2)回歸方程為回歸方程為ybxa，其中，其中bi1nxiyin x yi1nx2in x2i1n xi x yi y i1n xi x 2， a y bx . (3)通過求通過求Qi1n yibxia 2的最小值而得到回歸直線的方法， 即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回的最小值而得到回歸直線的方法， 即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法歸直線的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法. (4)相關(guān)系數(shù)：相關(guān)系數(shù)： 當(dāng)當(dāng) r0 時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng) r0 時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān). r 的絕對(duì)值越接近于的絕對(duì)值越接近于 1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).r 的絕對(duì)值越接近于的絕對(duì)值越接近于 0 時(shí)，表明時(shí)，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系關(guān)系.通常通常|r|大于大于 0.75 時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性性. 3.獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn) 假設(shè)有兩個(gè)分類變量假設(shè)有兩個(gè)分類變量 X 和和 Y，它們的取值分別為，它們的取值分別為x1，x2和和y1，y2，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表 稱為稱為 22列聯(lián)表列聯(lián)表 為為 K2n adbc 2 ab ac bd cd (其中其中 nabcd 為樣本容量為樣本容量). 相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系異同點(diǎn)相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系異同點(diǎn) 共同點(diǎn)：二者都是指兩個(gè)變量間的關(guān)系共同點(diǎn)：二者都是指兩個(gè)變量間的關(guān)系. 不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，體現(xiàn)的是因果關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性系是一種確定性關(guān)系，體現(xiàn)的是因果關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性 y1 y2 總計(jì)總計(jì) x1 a b ab x2 c d cd 總計(jì)總計(jì) ac bd abcd 關(guān)系，體現(xiàn)的不一定是因果關(guān)系，可能是伴隨關(guān)系關(guān)系，體現(xiàn)的不一定是因果關(guān)系，可能是伴隨關(guān)系. 回歸直線回歸直線ybxa必過樣本點(diǎn)的中心必過樣本點(diǎn)的中心( x ， y )，這個(gè)結(jié)論既是檢驗(yàn)所求回歸直線方程，這個(gè)結(jié)論既是檢驗(yàn)所求回歸直線方程是否準(zhǔn)確的依據(jù)，也是求參數(shù)的一個(gè)依據(jù)是否準(zhǔn)確的依據(jù)，也是求參數(shù)的一個(gè)依據(jù). r 的符號(hào)表明兩個(gè)變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；的符號(hào)表明兩個(gè)變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；|r|的大小表示線性相關(guān)性的強(qiáng)弱的大小表示線性相關(guān)性的強(qiáng)弱. 獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對(duì)其是否有關(guān)系的判斷是對(duì)兩個(gè)變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對(duì)其是否有關(guān)系的判斷. 小題查驗(yàn)基礎(chǔ)小題查驗(yàn)基礎(chǔ) 一、一、判斷題判斷題(對(duì)的打?qū)Φ拇颉啊?，錯(cuò)的打，錯(cuò)的打“”“”) (1)散點(diǎn)圖是判斷兩個(gè)變量是否相關(guān)的一種重要方法和手段散點(diǎn)圖是判斷兩個(gè)變量是否相關(guān)的一種重要方法和手段.( ) (2)回歸直線方程回歸直線方程ybxa至少經(jīng)過點(diǎn)至少經(jīng)過點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中的一個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn).( ) (3)若事件若事件 X，Y 關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到的關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到的 K2的觀測值越小的觀測值越小.( ) (4)兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于 1，它們的相關(guān)性越強(qiáng)，它們的相關(guān)性越強(qiáng).( ) 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 二、選填題二、選填題 1.已知變量已知變量 x，y 之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其散點(diǎn)圖如圖所示，之間具有線性相關(guān)關(guān)系，其散點(diǎn)圖如圖所示，回歸直線回歸直線 l 的方程為的方程為ybxa，則下列說法正確的是，則下列說法正確的是( ) A.a0，b0 B.a0，b0 C.a0，b0 D.a0，b0 解析：解析：選選 D 由題圖可知，回歸直線的斜率是正數(shù)，即由題圖可知，回歸直線的斜率是正數(shù)，即b0；回歸直線在；回歸直線在 y 軸上的截距軸上的截距是負(fù)數(shù)，即是負(fù)數(shù)，即a0，故選，故選 D. 2.為了考察兩個(gè)變量為了考察兩個(gè)變量 x 和和 y 之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立地做之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立地做 10 次和次和 15次試驗(yàn)，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為次試驗(yàn)，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為 l1和和 l2，已知兩個(gè)人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，已知兩個(gè)人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)對(duì)變量變量 x 的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是 s，對(duì)變量，對(duì)變量 y 的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是 t，那么下列說法正確，那么下列說法正確的是的是( ) A.l1和和 l2必定平行必定平行 B.l1與與 l2必定重合必定重合 C.l1和和 l2一定有公共點(diǎn)一定有公共點(diǎn)(s，t) D.l1與與 l2相交，但交點(diǎn)不一定是相交，但交點(diǎn)不一定是(s，t) 解析：解析：選選 C 注意到回歸直線必經(jīng)過樣本中心點(diǎn)注意到回歸直線必經(jīng)過樣本中心點(diǎn). 3.下面是下面是 22 列聯(lián)表：列聯(lián)表： y1 y2 總計(jì)總計(jì) x1 a 21 73 x2 22 25 47 總計(jì)總計(jì) b 46 120 則表中則表中 a，b 的值分別為的值分別為_，_. 解析：解析：a2173，a52，又，又 a22b，b74. 答案：答案：52 74 4.已知已知 x，y 的取值如下表，從散點(diǎn)圖可以看出的取值如下表，從散點(diǎn)圖可以看出 y 與與 x 具有線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為具有線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為y0.95xa，則，則a_. x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 解析：解析：回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心( x ， y )，又，又 x 2， y 4.5，代，代入回歸方程，得入回歸方程，得a2.6. 答案：答案：2.6 考點(diǎn)一考點(diǎn)一 相關(guān)關(guān)系的判斷相關(guān)關(guān)系的判斷基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān) 題組練透題組練透 1.兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系有兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系有正相關(guān)，正相關(guān)，負(fù)相關(guān)，負(fù)相關(guān)，不相關(guān)，則下列散點(diǎn)圖從左到右分別反不相關(guān)，則下列散點(diǎn)圖從左到右分別反映的映的變量間的相關(guān)關(guān)系是變量間的相關(guān)關(guān)系是( ) A. B. C. D. 解析：解析：選選 D 第一個(gè)散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是從左下角區(qū)域分布到右上角區(qū)域，則是第一個(gè)散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是從左下角區(qū)域分布到右上角區(qū)域，則是正相關(guān)；第三個(gè)散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是從左上角區(qū)域分布到右下角區(qū)域，則是負(fù)相關(guān)；正相關(guān)；第三個(gè)散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是從左上角區(qū)域分布到右下角區(qū)域，則是負(fù)相關(guān)；第二個(gè)散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)圖第二個(gè)散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布沒有什么規(guī)律，則是不相關(guān)，所以應(yīng)該是中的點(diǎn)的分布沒有什么規(guī)律，則是不相關(guān)，所以應(yīng)該是. 2.已知變量已知變量 x 和和 y 滿足關(guān)系滿足關(guān)系 y0.1x1，變量，變量 y 與與 z 正相關(guān)正相關(guān).下列結(jié)論中正確的是下列結(jié)論中正確的是( ) A.x 與與 y 正相關(guān)，正相關(guān)，x 與與 z 負(fù)相關(guān)負(fù)相關(guān) B.x 與與 y 正相關(guān)，正相關(guān)，x 與與 z 正相關(guān)正相關(guān) C.x 與與 y 負(fù)相關(guān)，負(fù)相關(guān)，x 與與 z 負(fù)相關(guān)負(fù)相關(guān) D.x 與與 y 負(fù)相關(guān)，負(fù)相關(guān)，x 與與 z 正相關(guān)正相關(guān) 解析：解析：選選 C 因?yàn)橐驗(yàn)?y0.1x1 的斜率小于的斜率小于 0， 故故 x 與與 y 負(fù)相關(guān)負(fù)相關(guān).因?yàn)橐驗(yàn)?y 與與 z 正相關(guān)，可設(shè)正相關(guān)，可設(shè) zbya，b0，則，則 zbya0.1bxba，故故 x 與與 z 負(fù)相關(guān)負(fù)相關(guān). 3.在一組樣本數(shù)據(jù)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等不全相等)的散的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i1,2，n)都在直線都在直線 y12x1 上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為相關(guān)系數(shù)為( ) A.1 B.0 C.12 D.1 解析：解析：選選 D 所有樣本點(diǎn)均在同一條斜率為正數(shù)的直線上，則樣本相關(guān)系數(shù)最大，為所有樣本點(diǎn)均在同一條斜率為正數(shù)的直線上，則樣本相關(guān)系數(shù)最大，為 1，故選故選 D. 4.變量變量 X 與與 Y 相應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為相應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；變量；變量 U 與與 V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1).r1表示變量表示變量 Y 與與 X 之間的線性之間的線性相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)，r2表示變量表示變量 V 與與 U 之間的線性相關(guān)系數(shù)，則之間的線性相關(guān)系數(shù)，則( ) A.r2r10 B.0r2r1 C.r20r1 D.r2r1 解析：解析：選選 C 對(duì)于變量對(duì)于變量 Y 與與 X 而言，而言，Y 隨隨 X 的增大而增大，故的增大而增大，故 Y 與與 X 正相關(guān)，即正相關(guān)，即 r10；對(duì)于變量對(duì)于變量 V 與與 U 而言，而言，V 隨隨 U 的增大而減小，故的增大而減小，故 V 與與 U 負(fù)相關(guān)，即負(fù)相關(guān)，即 r20，故選，故選 C. 名師微點(diǎn)名師微點(diǎn) 判斷相關(guān)關(guān)系的判斷相關(guān)關(guān)系的 2 種方法種方法 (1)散點(diǎn)圖法：散點(diǎn)圖法：如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系.如如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系. (2)相關(guān)系數(shù)法：相關(guān)系數(shù)法：利用相關(guān)系數(shù)判定，當(dāng)利用相關(guān)系數(shù)判定，當(dāng)|r|越趨近于越趨近于 1 相關(guān)性越強(qiáng)相關(guān)性越強(qiáng). 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 回歸分析回歸分析師生共研師生共研過關(guān)過關(guān) 典例精析典例精析 下圖是我國下圖是我國 2011 年至年至 2017 年生活垃圾無害化處理量年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸單位：億噸)的折線圖的折線圖. (1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合 y 與與 t 的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明； (2)建立建立 y 關(guān)于關(guān)于 t 的回歸方程的回歸方程(系數(shù)精確到系數(shù)精確到 0.01)，預(yù)測，預(yù)測 2019 年我國生活垃圾無害化處年我國生活垃圾無害化處理量理量. 參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)：i17yi9.32，i17tiyi40.17, i17 yi y 20.55， 72.646. 參考公式：相關(guān)系數(shù)參考公式：相關(guān)系數(shù) ri1n ti t yi y i1n ti t 2i1n yi y 2，回歸方，回歸方程程yabt 中斜率和截距中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為的最小二乘估計(jì)公式分別為bi1n ti t yi y i1n ti t 2，a y b t . 解解 (1)由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得 t 4，i17 (ti t )228, i17 yi y 20.55， i17 (ti t )(yi y )i17tiyi ti17yi40.1749.322.89， r2.890.5522.6460.99. 因?yàn)橐驗(yàn)?y 與與 t 的相關(guān)系數(shù)近似為的相關(guān)系數(shù)近似為 0.99，說明，說明 y 與與 t 的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，從而可以用線性的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，從而可以用線性回歸模型擬合回歸模型擬合 y 與與 t 的關(guān)系的關(guān)系. (2)由由 y 9.3271.331 及及(1)得得 bi17 ti t yi y i17 ti t 22.89280.103. a y b t 1.3310.10340.92. 所以所以 y 關(guān)于關(guān)于 t 的回歸方程為的回歸方程為y0.920.10t. 將將 2019 年對(duì)應(yīng)的年對(duì)應(yīng)的 t9 代入回歸方程得代入回歸方程得y0.920.1091.82. 所以，預(yù)測所以，預(yù)測 2019 年我國生活垃圾無害化處理量約為年我國生活垃圾無害化處理量約為 1.82 億噸億噸. 解題技法解題技法 1.線性回歸分析問題的類型及解題方法線性回歸分析問題的類型及解題方法 (1)求線性回歸方程求線性回歸方程 利用公式，求出回歸系數(shù)利用公式，求出回歸系數(shù)b，a. 待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點(diǎn)的中心求系數(shù)待定系數(shù)法：利用回歸直線過樣本點(diǎn)的中心求系數(shù). (2)利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測，把線性回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測，把線性回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值. (3)利用回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān)，決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是系數(shù)利用回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān)，決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是系數(shù)b. (4)回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)|r|越趨近于越趨近于 1 時(shí)，兩變量的線性相時(shí)，兩變量的線性相關(guān)關(guān)性越強(qiáng)性越強(qiáng). 2.模型擬合效果的判斷模型擬合效果的判斷 (1)殘差平方和越小，模型的擬合效果越好殘差平方和越小，模型的擬合效果越好. (2)相關(guān)指數(shù)相關(guān)指數(shù) R2越大，模型的擬合效果越好越大，模型的擬合效果越好. (3)回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)|r|越趨近于越趨近于 1 時(shí)，兩變量的線性相時(shí)，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)關(guān)性越強(qiáng). 過關(guān)訓(xùn)練過關(guān)訓(xùn)練 1.(2019 廣州調(diào)研廣州調(diào)研)某基地蔬菜大棚采用無土栽培方式種植各類某基地蔬菜大棚采用無土栽培方式種植各類蔬菜蔬菜.過去過去 50 周的資料顯示，該地周光照量周的資料顯示，該地周光照量 X(單位：小時(shí)單位：小時(shí))都在都在 30小時(shí)以上，其中不足小時(shí)以上，其中不足 50 小時(shí)的有小時(shí)的有 5 周，不低于周，不低于 50 小時(shí)且不超過小時(shí)且不超過 70小時(shí)的有小時(shí)的有 35 周，超過周，超過 70 小時(shí)的有小時(shí)的有 10 周周.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，該基地的西紅根據(jù)統(tǒng)計(jì)，該基地的西紅柿增加量柿增加量 y(千克千克)與使與使用某種液體肥料的質(zhì)量用某種液體肥料的質(zhì)量 x(千克千克)之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為如圖所示的折線圖之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為如圖所示的折線圖. (1)依據(jù)折線圖計(jì)算相關(guān)系數(shù)依據(jù)折線圖計(jì)算相關(guān)系數(shù) r(精確到精確到 0.01)，并據(jù)此判斷是否可用線性回歸模型擬合，并據(jù)此判斷是否可用線性回歸模型擬合 y 與與x 的關(guān)系的關(guān)系.(若若|r|0.75，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合) (2)蔬菜大棚對(duì)光照要求較高，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每蔬菜大棚對(duì)光照要求較高，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀運(yùn)行臺(tái)數(shù)受周光照量周光照控制儀運(yùn)行臺(tái)數(shù)受周光照量 X 限制，并有如下關(guān)系：限制，并有如下關(guān)系： 周光照量周光照量 X/小時(shí)小時(shí) 30X50 50X70 X70 光照控制儀運(yùn)行臺(tái)數(shù)光照控制儀運(yùn)行臺(tái)數(shù) 3 2 1 對(duì)商家來說，若某臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，則該臺(tái)光照控制儀對(duì)商家來說，若某臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，則該臺(tái)光照控制儀產(chǎn)生的周利潤為產(chǎn)生的周利潤為 3 000 元；若某元；若某臺(tái)光照控制儀未運(yùn)行，則該臺(tái)光照控制儀周虧損臺(tái)光照控制儀未運(yùn)行，則該臺(tái)光照控制儀周虧損 1 000 元元.若商家安裝了若商家安裝了 3 臺(tái)光照控制儀，求臺(tái)光照控制儀，求商家在過去商家在過去 50 周的周總利潤的平均值周的周總利潤的平均值. 參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)： 0.30.55， 0.90.95. 解：解：(1)由已知數(shù)據(jù)可得由已知數(shù)據(jù)可得 x 2456855， y 3444554. 因?yàn)橐驗(yàn)閕15 (xi x )(yi y )(3)(1)000316， i15 xi x 2 3 2 1 20212322 5， i15 yi y 2 1 202020212 2， 所以相關(guān)系數(shù)所以相關(guān)系數(shù) ri15 xi x yi y i15 xi x 2 i15 yi y 262 5 2 9100.95. 因?yàn)橐驗(yàn)閨r|0.75，所以可用線性回歸模型擬合，所以可用線性回歸模型擬合 y 與與 x 的關(guān)系的關(guān)系. (2)由條件可得在過去由條件可得在過去 50 周里，周里， 當(dāng)當(dāng) X70 時(shí)，共有時(shí)，共有 10 周，此時(shí)只有周，此時(shí)只有 1 臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，臺(tái)光照控制儀運(yùn)行， 每周的周總利潤為每周的周總利潤為 13 00021 0001 000(元元). 當(dāng)當(dāng) 50X70 時(shí)，共有時(shí)，共有 35 周，此時(shí)有周，此時(shí)有 2 臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，臺(tái)光照控制儀運(yùn)行， 每周的周總利潤為每周的周總利潤為 23 00011 0005 000(元元). 當(dāng)當(dāng) 30X50 時(shí)，共有時(shí)，共有 5 周，此時(shí)周，此時(shí) 3 臺(tái)光照控制儀都運(yùn)行，臺(tái)光照控制儀都運(yùn)行， 每周的周總利潤為每周的周總利潤為 33 0009 000(元元). 所以過去所以過去 50 周的周總利潤的平均值為周的周總利潤的平均值為 1 000105 000359 0005504 600(元元)， 所以商家在過去所以商家在過去 50 周的周總利潤的平均值為周的周總利潤的平均值為 4 600 元元. 2.某機(jī)構(gòu)為研究某種圖書每冊(cè)的成本費(fèi)某機(jī)構(gòu)為研究某種圖書每冊(cè)的成本費(fèi) y(單位：元單位：元)與印刷數(shù)量與印刷數(shù)量 x(單位：千冊(cè)單位：千冊(cè))的關(guān)系，收的關(guān)系，收集了一些數(shù)據(jù)并進(jìn)行了初步處理，得到了下集了一些數(shù)據(jù)并進(jìn)行了初步處理，得到了下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值. x y u i18 (xi x )2 i18 (xi x )(yi y ) i18 (ui u )2 i18 (ui u )(yi y ) 15.25 3.63 0.269 2 085.5 230.3 0.787 7.049 表中表中 ui1xi， u 18i18ui. (1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷：根據(jù)散點(diǎn)圖判斷： yabx與與 ycdx哪一個(gè)模型更適合作為該圖書每冊(cè)的成本費(fèi)哪一個(gè)模型更適合作為該圖書每冊(cè)的成本費(fèi) y(單單位：元位：元)與印刷數(shù)量與印刷數(shù)量 x(單位：千冊(cè)單位：千冊(cè))的回歸方程？的回歸方程？(只要求給出判斷，不必說明理由只要求給出判斷，不必說明理由) (2)根據(jù)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)， 建立的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)， 建立y關(guān)于關(guān)于x的回歸方程的回歸方程(回歸系數(shù)的結(jié)果精確到回歸系數(shù)的結(jié)果精確到0.01). (3)若該圖書每冊(cè)的定價(jià)為若該圖書每冊(cè)的定價(jià)為 10 元，則至少應(yīng)該印刷多少冊(cè)才能使銷售利潤不低于元，則至少應(yīng)該印刷多少冊(cè)才能使銷售利潤不低于 78 840元？元？(假設(shè)能夠全部售出假設(shè)能夠全部售出.結(jié)果精確到結(jié)果精確到 1) 附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(1，1)，(2，2)，(n，n)，其回歸直線，其回歸直線 的斜率和截的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為距的最小二乘估計(jì)分別為i1n i i i1n i 2， . 解：解：(1)由散點(diǎn)圖判斷，由散點(diǎn)圖判斷，ycdx更適合作為該圖書每冊(cè)的成本費(fèi)更適合作為該圖書每冊(cè)的成本費(fèi) y(單位：元單位：元)與印刷數(shù)量與印刷數(shù)量x(單位：千冊(cè)單位：千冊(cè))的回歸方程的回歸方程. (2)令令 u1x，先建立，先建立 y 關(guān)于關(guān)于 u 的線性回歸方程，的線性回歸方程， 由于由于di18 ui u yi y i18 ui u 27.0490.7878.9578.96， c y du 3.638.9570.2691.22， y 關(guān)于關(guān)于 u 的線性回歸方程為的線性回歸方程為y1.228.96u， y 關(guān)于關(guān)于 x 的回歸方程為的回歸方程為y1.228.96x. (3)假設(shè)印刷假設(shè)印刷 x 千冊(cè)，千冊(cè)， 依題意得依題意得 10 x 1.228.96xx78.840， 解得解得 x10， 至少印刷至少印刷 10 000 冊(cè)才能使銷售利潤不低于冊(cè)才能使銷售利潤不低于 78 840 元元. 考點(diǎn)三考點(diǎn)三 獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)師生共研過關(guān)師生共研過關(guān) 典例精析典例精析 (2019 河北名校聯(lián)考河北名校聯(lián)考)某企業(yè)有兩個(gè)分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸某企業(yè)有兩個(gè)分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位：單位：mm)的值的值落在落在29.94,30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品的零件為優(yōu)質(zhì)品.從兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了從兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了 500 件，量其內(nèi)徑尺寸，件，量其內(nèi)徑尺寸， 得結(jié)果如下表：得結(jié)果如下表： 甲廠：甲廠： 分組分組 29.86,29.90) 29.90,29.94) 29.94,29.98) 29.98,30.02) 頻數(shù)頻數(shù) 12 63 86 182 分組分組 30.02,30.06) 30.06,30.10) 30.10,30.14 頻數(shù)頻數(shù) 92 61 4 乙廠：乙廠： 分組分組 29.86,29.90) 29.90,29.94) 29.94,29.98) 29.98,30.02) 頻數(shù)頻數(shù) 29 71 85 159 分組分組 30.02,30.06) 30.06,30.10) 30.10,30.14 頻數(shù)頻數(shù) 76 62 18 (1)試分別估計(jì)兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率；試分別估計(jì)兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率； (2)由以上統(tǒng)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面計(jì)數(shù)據(jù)完成下面 22 列聯(lián)表，并判斷是否有列聯(lián)表，并判斷是否有 99%的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠生兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”. 甲廠甲廠 乙廠乙廠 總計(jì)總計(jì) 優(yōu)質(zhì)品優(yōu)質(zhì)品 非優(yōu)質(zhì)品非優(yōu)質(zhì)品 總計(jì)總計(jì) 解解 (1)甲廠抽查的甲廠抽查的 500 件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有 360 件優(yōu)質(zhì)品， 從而估計(jì)甲廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率件優(yōu)質(zhì)品， 從而估計(jì)甲廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率為為360500100%72%； 乙廠抽查的乙廠抽查的 500 件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有 320 件優(yōu)質(zhì)品，從而估計(jì)乙廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率為件優(yōu)質(zhì)品，從而估計(jì)乙廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率為320500100%64%. (2)完成的完成的 22 列聯(lián)表如下：列聯(lián)表如下： 甲廠甲廠 乙廠乙廠 總計(jì)總計(jì) 優(yōu)質(zhì)品優(yōu)質(zhì)品 360 320 680 非優(yōu)質(zhì)品非優(yōu)質(zhì)品 140 180 320 總計(jì)總計(jì) 500 500 1 000 由表中數(shù)據(jù)計(jì)算得，由表中數(shù)據(jù)計(jì)算得， K21 000 360180320140 25005006803207.3536.635， 所以有所以有 99%的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”. 解題技法解題技法 獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟 (1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出 22 列聯(lián)表列聯(lián)表. (2)計(jì)算隨機(jī)變量計(jì)算隨機(jī)變量 K2的觀測值的觀測值 k，查下表確定臨界值，查下表確定臨界值 k0： P(K2k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 P(K2k0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (3)如果如果 kk0，就推斷，就推斷“X 與與 Y 有關(guān)系有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過 P(K2k0)；否；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過 P(K2k0)的前提下不能推斷的前提下不能推斷“X 與與 Y 有關(guān)有關(guān)”. 過關(guān)訓(xùn)練過關(guān)訓(xùn)練 (2018 全國卷全國卷)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取方式的效率，選取 40 名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組組 20 人人.第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間務(wù)的工作時(shí)間(單位：單位：min)繪制了如下莖葉圖：繪制了如下莖葉圖： (1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由. (2)求求 40 名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù) m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過 m和不超過和不超過 m 的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過超過 m 不超過不超過 m 第一種生產(chǎn)方式第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式 (3)根據(jù)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有中的列聯(lián)表，能否有 99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？ 附：附：K2n adbc 2 ab cd ac bd ， 解：解：(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高第二種生產(chǎn)方式的效率更高. 理由如下：理由如下： ()由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有 75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間高于高于 80 min， 用第二種生產(chǎn)方式的工人中， 有， 用第二種生產(chǎn)方式的工人中， 有 75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間低于的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間低于 79 min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. ()由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為 85.5 min， 用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為， 用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為 73.5 min.因此第二種生產(chǎn)方因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高式的效率更高. ()由莖葉圖可知： 用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需平均時(shí)間高于由莖葉圖可知： 用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需平均時(shí)間高于 80 min； 用； 用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需平均時(shí)間低于第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需平均時(shí)間低于80 min.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高高. ()由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖 8 上的最上的最多，關(guān)于莖多，關(guān)于莖 8 大致呈對(duì)稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖大致呈對(duì)稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖 7上的最多，關(guān)于莖上的最多，關(guān)于莖 7 大致呈對(duì)稱分布大致呈對(duì)稱分布.又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. (以上給出了以上給出了 4 種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分) (2)由莖葉圖知由莖葉圖知 m7981280. 列聯(lián)表如下：列聯(lián)表如下： 超過超過 m 不超過不超過 m 第一種生產(chǎn)方式第一種生產(chǎn)方式 15 5 第二種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式 5 15 (3)因?yàn)橐驗(yàn)?K240 151555 220202020106.635，所以有，所以有 99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異效率有差異.