二次函數(shù)與幾何圖形的綜合有解析（2019 年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題）專題八 二次函數(shù)與幾何圖 形的綜合中考備考攻略二次函數(shù)與幾何的綜合問題一般作為壓軸題呈現(xiàn),具有知識點(diǎn)多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關(guān)系復(fù)雜、綜合性強(qiáng)、解題方法靈活等鮮明特點(diǎn),同時(shí)題型變化多樣,如求線段的長、求圖形的面積、特殊三角形的存在性、特殊四邊形的存在性、相似三角形的存在性等等.1.二次函數(shù)與線段的長(1)一般設(shè)拋物線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x,縱坐標(biāo)為拋物線解析式,與之相關(guān)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為 x,縱坐標(biāo)為直線解析式,兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的絕對值即為線段的長度；(2)建立關(guān)于線段長的二次函數(shù),通過求二次函數(shù)的最值進(jìn)而求線段長的最值；(3)線段長之和最小的問題,轉(zhuǎn)化為對稱點(diǎn)后用兩點(diǎn)之間線段最短解決.2.二次函數(shù)與圖形的面積(1)根據(jù)二次函數(shù)中不同圖形的特點(diǎn)選擇合適的方法解答圖形的面積；(2)通過觀察、分析、概括、總結(jié)等方法了解二次函數(shù)面積問題的基本類型,并掌握二次函數(shù)中面積問題的相關(guān)計(jì)算,從而體會數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用；(3)利用二次函數(shù)的解析式求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),從而得出相關(guān)線段長,利用割補(bǔ)方法求圖形的面積.3.二次函數(shù)與特殊三角形(1)判斷等腰三角形,可以對頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論；(2)判斷直角三角形,可以對直角頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論.4.二次函數(shù)與特殊四邊形此類題型結(jié)合特殊四邊形的判定方法,對對應(yīng)邊進(jìn)行分類討論,求平行四邊形存在類問題用平移法解坐標(biāo)較簡單,其他特殊的平行四邊形結(jié)合判斷方法用邊相等、角為直角或?qū)蔷€的交點(diǎn)坐標(biāo)突破.5.二次函數(shù)與相似三角形結(jié)合相似三角形判定 方法, 如果一個(gè)角為直角 ,只需兩直角邊之比分別相等,此時(shí)要對對應(yīng)邊分類討論.中考重難點(diǎn)突破二次函數(shù)與線段的長例 1 (2018遂寧中考改編)如圖,已知拋物線yax232x4 的對稱軸是直線 x3,且與 x 軸相交于 A,B 兩點(diǎn)(B 點(diǎn)在 A 點(diǎn)右側(cè)),與 y 軸交于 C 點(diǎn). (1)求拋物線的解析式和 A,B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若 M 是拋物線上任意一點(diǎn),過點(diǎn) M 作 y 軸的平行線,交直線 BC 于點(diǎn) N,當(dāng) MN3 時(shí),求點(diǎn) M 的坐標(biāo).【解析】(1)由拋物線的對稱軸 x 3,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到 a 的值 ,進(jìn)而可得出拋物線的解析式,再利用拋物線與 x 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 0 可求出點(diǎn) A,B 的坐標(biāo)；(2)根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn) C 的坐標(biāo).由點(diǎn) B,C 的坐標(biāo) ,利用待定系數(shù)法可得直線 BC 的解析式.設(shè)點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為 m,可表示點(diǎn) M 的縱坐標(biāo).又由 MNy 軸, 可表示出點(diǎn) N 的橫縱坐標(biāo),進(jìn)而可用m 的代數(shù)式表示出 MN 的長,結(jié)合 MN3 即可得出關(guān)于 m 的含絕對值符號的一元二次方程,分類討論即可得出結(jié)果.【答案】解：(1)拋物線 yax232x 4 的對稱軸是直線 x3, 322a3,解得 a14,拋物線的解析式為 y14x2 32x4.當(dāng) y0 時(shí) ,14x232x 40,解得 x12,x2 8.點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(8,0) ；(2)當(dāng) x0 時(shí),y14x232x 44,點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(0,4).設(shè)直線 BC 的解析式為 ykxb(k0).將 B(8,0),C(0,4)代入 ykxb,得8kb0，b4，解得 k12， b4 ，直線 BC 的解析式為 y12x4.設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 m，14m232m4,則點(diǎn) N 的坐標(biāo)為 m，12m4,MN 14m232m412m414m22m.又MN 3,14m22m3.當(dāng)14m22m0,即 0m8 時(shí),14m2 2m3,解得 m12,m26,此時(shí)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(2,6)或(6,4).同理,當(dāng)14m22m0,即 m8 或 m0 時(shí),點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(427,71)或(427,71).綜上所述,點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(2,6),(6,4),(427,7 1)或(427,71).1.(2018安順中考改編) 如圖,已知拋物線yax2bxc(a0)的對稱軸為直線 x1, 且拋物線與 x 軸交于 A,B 兩點(diǎn),與 y 軸交于點(diǎn) C,其中 A(1,0),C(0,3).(1)若直線 ymx n 經(jīng)過 B,C 兩點(diǎn),求直線 BC 和拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸 x1 上找一點(diǎn) M,使點(diǎn) M 到點(diǎn) A 的距離與到點(diǎn) C 的距離之和最小,求出點(diǎn) M 的坐標(biāo).解：(1)依題意,得b2a 1，a bc 0，c3，解得 a1，b2，c3，拋物線的解析式為 yx2 2x3.令 y0,則x22x30,解得 x11,x2 3,點(diǎn) B(3, 0).把 B(3,0),C(0,3) 代入 ymxn,得3mn0，n3，解得 m1，n3，直線 BC 的解析式為 yx3；(2)設(shè)直線 BC 與 x1 的交點(diǎn)為 M,連接 AM.點(diǎn) A,B 關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,MAMB,MAMCMB MCBC,當(dāng)點(diǎn) M 為直線 BC 與 x1 的交點(diǎn)時(shí),MAMC 的值最小.把 x1 代入 yx3,得 y2,M(1,2).二次函數(shù)與圖形的面積例 2 (2018達(dá)州中考改編)如圖,拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O(0,0),A(1,1),B(72,0).(1)求拋物線的解析式；(2)連接 OA,過點(diǎn) A 作 ACOA 交拋物線于點(diǎn) C,連接OC,求AOC 的面積.【解析】(1)設(shè)交點(diǎn)式 yaxx 72,然后把 A 點(diǎn)坐標(biāo)代入求出 a,即可得到拋物線的解析式；(2)延長 CA 交 y 軸于點(diǎn) D,易得 OA2,DOA45°,則可判斷AOD 為等腰直角三角形 ,由此可求出 D 點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出直線 AD 的解析式,再結(jié)合拋物線的解析式可得關(guān)于 x 的一元二次方程 ,解方程可得點(diǎn) C 的坐標(biāo),利用三角形面積公式及 SAOCS CODSAOD 進(jìn)行計(jì)算,進(jìn)而得出AOC 的面積.【答案】解：(1)設(shè)拋物線的解析式為 yaxx72.把 A(1,1)代入 yaxx72,可得 a25,拋物線的解析式為 y25xx72,即 y25x2 75x；(2)延長 CA 交 y 軸于點(diǎn) D.A(1,1),OAC90°,OA2,DOA 45°,AOD 為等腰直角三角形,OD2OA2,D (0,2).由點(diǎn) A(1,1),D(0,2),得直線 AD 的解析式為 yx2.令25x275xx2,解得 x11,x25.當(dāng) x 5 時(shí),yx23,C(5, 3),SAOC S CODSAOD12×2×512×2×14.2.(2018眉山中考改編) 如圖,已知拋物線yax2bxc 經(jīng)過點(diǎn) A(0,3),B(1,0),其對稱軸為直線l：x 2,過點(diǎn) A 作 ACx 軸交拋物線于點(diǎn) C,AOB 的平分線交線段 AC 于點(diǎn) E,點(diǎn) P 是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn) ,設(shè)其橫坐標(biāo)為 m.(1)求拋物線的解析式；(2)若動點(diǎn) P 在直線 OE 下方的拋物線上 ,連接 PE,PO,當(dāng) m 為何值時(shí), 四邊形 AOPE 的面積最大？并求出其最大值.解：(1)由拋物線的對稱性易得 D(3,0),設(shè)拋物線的解析式為 ya(x 1)(x3).把 A(0,3)代入 ya(x1)(x3),得 33a,解得 a1,拋物線的解析式為 yx2 4x3 ；(2)由題意知 P(m,m24m3).OE 平分AOB,AOB 90°,AOE45 °,AOE 是等腰直角三角形 ,AE OA3,E(3,3).易得 OE 的解析式為 yx.過點(diǎn) P 作 PGy 軸,交 OE 于點(diǎn) G,則 G(m,m),PGm(m24m3) m25m 3.S 四邊形 AOPESAOE SPO E12 ×3×312PGAE92 12 ×(m25m3) ×332m2152m32m522758.32 0,當(dāng) m52 時(shí),四邊形 AOPE 的面積最大, 最大值是758.二次函數(shù)與特殊三角形例 3 (2018棗莊中考改編)如圖,已知二次函數(shù)yax232xc(a0)的圖象與 y 軸交于點(diǎn) A(0,4),與x 軸交于點(diǎn) B,C,點(diǎn) C 坐標(biāo)為(8,0),連接 AB,AC.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn) N 在 x 軸上運(yùn)動 ,當(dāng)以點(diǎn) A,N,C 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí),請寫出此時(shí)點(diǎn) N 的坐標(biāo).【解析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可得出答案；(2)分別以 A,C 兩點(diǎn)為圓心,AC 長為半徑畫弧,與 x 軸交于三個(gè)點(diǎn),由 AC 的垂直平分線與 x 軸交于一個(gè)點(diǎn),即可求得點(diǎn) N 的坐標(biāo).【答案】解：(1)二次函數(shù) yax232x c 的圖象與 y 軸交于點(diǎn) A(0,4),與 x 軸交于點(diǎn) C(8,0),c4，64a 12 c 0，解得 a 14，c4，二次函數(shù)的表達(dá)式為 y14x232x4；(2)A(0,4),C(8,0),AC4282 45.以點(diǎn) A 為圓心,AC 長為半徑作圓,交 x 軸于點(diǎn) N,則ANAC,故NAC 是以 NC 為底邊的等腰三角形,此時(shí)N 點(diǎn)坐標(biāo)為(8,0)；以點(diǎn) C 為圓心,AC 長為半徑作圓,交 x 軸于點(diǎn) N,則CNCA,故ACN 是以 NA 為底邊的等腰三角形,此時(shí)N 點(diǎn)坐標(biāo)為(8 45,0)或(845,0) ；作 AC 的垂直平分線,交 x 軸于點(diǎn) N,則 NANC,故ANC 是以 AC 為底邊的等腰三角形,此時(shí)點(diǎn) N 為 BC 的中點(diǎn).令 y14x232x 40,解得 x18,x2 2,此時(shí) N 點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0).綜上所述,點(diǎn) N 在 x 軸上運(yùn)動,當(dāng)以點(diǎn) A,N,C 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí),點(diǎn) N 的坐標(biāo)為(8,0),(845,0),(3,0)或(845,0).3.(2018蘭州中考) 如圖,拋物線 yax2 bx4 經(jīng)過A(3,0),B(5, 4)兩點(diǎn),與 y 軸交于點(diǎn) C,連接 AB,AC,BC.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)求證：AB 平分CAO；(3)拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn) M,使得ABM 是以AB 為直角邊 的直角三角形？若存在,求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由.(1)解：將 A(3,0),B(5, 4)代入 yax2bx 4,得9a 3b40，25a5b44 ，解得a16，b56，拋物線的表達(dá)式為 y16x2 56x4；(2)證明：AO 3,OC4,AC5.取 D(2,0),則 AD AC5.由兩點(diǎn)間的距離公式可知 BD（5 2）2（40）2 5.C(0,4),B(5, 4),BC5.ADACBDBC.四邊形 ACBD 是菱形 ,CABBAD,AB 平分CAO；(3)解：如圖,拋物線的對稱軸交 x 軸與點(diǎn) E,交 BC 與點(diǎn)F,過點(diǎn) A,B 分別作 MAAB,MBAB,交對稱軸于點(diǎn)M,M.拋物線的對稱軸為 x52,AE 115.A(3,0),B(5, 4), tan EAB 12.MAB90° ,tan MAE2.ME2AE11,M52，11.同理,tan MBF 2.又BF52, FM5,M52，9.綜上所述,拋物線的對稱軸上存在點(diǎn) M52，11 或52， 9,使得ABM 是以 AB 為直角邊的直角三角形.二次函數(shù)與四邊形例 4 (2018河南中考改編)如圖,拋物線yax26xc 交 x 軸 于 A,B 兩點(diǎn),交 y 軸于點(diǎn) C,直線yx5 經(jīng)過點(diǎn) B,C.(1)求拋物線的解析式；(2)過點(diǎn) A 的直線交直線 BC 于點(diǎn) M,當(dāng) AMBC 時(shí),過拋物線上一動點(diǎn) P(不與點(diǎn) B,C 重合),作直線 AM 的平行線交直線 BC 于點(diǎn) Q,若以點(diǎn) A,M,P,Q 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)； 【解析】(1)利用直線 BC 的解析式確定點(diǎn) B,C 的坐標(biāo) ,然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；(2)先利用拋物線的解析式求出 A 點(diǎn)坐標(biāo) ,再判斷OCB 為等腰直角三角形,繼而得到OBCOCB45°,則AMB 為等腰直角三 角形,進(jìn)而求出點(diǎn) M 的坐標(biāo),根據(jù)拋物線和直線 BC 的解析式設(shè)點(diǎn) P,Q 的坐標(biāo),根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分, 即可列出等式方程,解方程即可得到點(diǎn) P 的橫坐標(biāo).【答案】解：(1)當(dāng) x0 時(shí),y 5,則 C(0,5).當(dāng) y0 時(shí) ,yx 50,解得 x5, 則 B(5,0).把 B(5,0),C(0,5)代入 yax26xc,得25a30c0， c5，解得 a 1，c5 ，拋物線的解析式為 yx2 6x5 ；(2)令 y x26x50,解得 x11,x2 5,A(1,0).B(5,0),C(0,5),BAC90°, OCB 為等腰直角三角形,OBCOCB 45°.又AMBC,AMB 為等腰直角三角形,AM22AB22×422.以點(diǎn) A,M,P,Q 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,AMPQ,PQAM 22,PQ BC.作 PDx 軸交直線 BC 于點(diǎn) D,則PDQ45°,PD2PQ 2× 224.設(shè) P(m,m26m5),則 D(m,m5).當(dāng)點(diǎn) P 在直線 BC 上方時(shí),PDm2 6m5(m5)m25m4,解得 m11( 舍去),m2 4；當(dāng)點(diǎn) P 在直線 BC 下方時(shí),PDm5(m26m 5)m25m4,解得 m35412,m4 5412.綜上所述,點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 4,5412 或 5412.4.(2018濟(jì)寧中考改編) 如圖,已知拋物線yax2bxc(a0)經(jīng)過點(diǎn) A(3,0),B(1,0),C(0,3).(1)求該拋物線的解析式；(2)若點(diǎn) Q 在 x 軸上,點(diǎn) P 在拋物線上,是否存在以點(diǎn) B ,C,Q,P 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在,求點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由. 解：(1)把 A(3,0),B(1,0),C(0, 3) 代入 yax2bxc,得9a 3bc0，abc0，c3，解得a1，b 2，c3，該拋物線的解析式為 yx2 2x3 ；(2)存在以點(diǎn) B,C,Q,P 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.設(shè)直線 BC 的解析式為 ykx3,把 B(1,0)代入,得k30,即 k3,直線 BC 的解析式為 y3x3.設(shè) Q(x,0),P(m,m22m3).當(dāng)四邊形 BCQP 為平行四邊形時(shí) ,BCPQ,且 BCPQ.由 B(1,0),C(0, 3),得點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)為 3,即m22m33, 解得 m1±7,此時(shí) P(17,3)或 P(17,3)；當(dāng)四邊形 BCPQ 為平行四邊形或四邊形是以 BC 為對角線的平行四邊形時(shí),點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)為 3,即m22m33,解得 m0 或 m2, 此時(shí) P(2,3).綜上所述,存在以點(diǎn) B,C,Q,P 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,P 的坐標(biāo)為(17,3) 或(1 7,3),(2,3).二次函數(shù)與相似三角形例 5 (2018德州中考改編)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中, 直線 yx1 與拋物線 yx2bx c 交于 A,B兩點(diǎn),其中 A(m,0),B(4,n),該拋物線與 y 軸交于點(diǎn) C,與x 軸交于另一點(diǎn) D.(1)求 m,n 的值及該拋物線的解析式；(2)連接 BD,CD,在線段 CD 上是否存在點(diǎn) Q,使得以A,D,Q 為頂點(diǎn)的三角形與 ABD 相似？若存在,請求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在, 請說明理由.【解析】(1)把點(diǎn) A,B 的坐標(biāo)代入 yx1 求出 m 與n 的值,確定點(diǎn) A,B 的坐標(biāo),然后代入 yx2bxc求出 b 與 c 的值即可；(2)由點(diǎn) C,D 的坐標(biāo)易得直線 BC 的解析式為 yx5,再由直線 AB 的解析式易得 ABCD,因此ADC BAD. 分類討論：當(dāng) DAQABD 或DQAABD 時(shí), 根據(jù)對應(yīng)邊成比例求出 DQ 的長,即可求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo).【答案】解：(1)把點(diǎn) A(m,0),B(4,n)代入 yx1,得m 1,n3,A(1,0),B(4,3).yx2bxc 經(jīng)過 A,B 兩點(diǎn),1bc0，164bc3，解得b6，c5，該拋物線的解析式為 yx2 6x5 ；(2)在線段 CD 上存在點(diǎn) Q,使得以 A,D,Q 為頂點(diǎn)的三角形與ABD 相似.由(1)中結(jié)果可知 C(0,5),D(5,0),直線 CD 的解析式為 yx5.又直線 AB 的解析式為 yx1,ABCD,BADADC.設(shè) Q(x,x5)(0x5).當(dāng)ABDDAQ 時(shí),ABDAADDQ,即 3244DQ, 解得 DQ823,由兩點(diǎn)間的距離公式,得(x5)2 (x5)28232,解得x73 或 x233(舍去),此時(shí) Q73，83；當(dāng)ABDDQA 時(shí),ABDQ ADDA1, 即 DQ32,(x 5)2(x5)2(32)2,解得 x 2 或 x8( 舍去), 此時(shí) Q(2,3).綜上所述,點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 (2,3) 或 73，83.5.(2018深圳中考改編) 已知頂點(diǎn)為 A 的拋物線yax1222 經(jīng)過點(diǎn) B32 ，2.(1)求拋物線的解析式；(2)如圖, 直線 AB 與 x 軸相交于點(diǎn) M,與 y 軸相交于點(diǎn) E,拋物線與 y 軸相交于點(diǎn) F,在直線 AB 上有一點(diǎn) P,若OPMMAF,求POE 的面積.解：(1)把點(diǎn)B32 ，2 代入 yax122 2,解得 a1,拋物線的解析式為 yx 1222,即 yx2x74；(2)由(1) 中結(jié)果得 A12，2,F0，74.設(shè)直線 AB 的解析式為 ykxb,由點(diǎn) A,B 的坐標(biāo),得2 12kb，232kb，解得k2，b1，直線 AB 的解析式為 y2x1,OE1,FE34.若OPMMAF,則當(dāng) OPAF 時(shí),OPE FAE,OPFAOEFE13443,OP43FA43×1202 274253.設(shè)點(diǎn) P(t,2t1),則 OPt2（2t1）2 53,即(15t2)(3t2)0,解得 t1215,t223.由對稱性知,當(dāng) t1215 時(shí), 也滿足OPM MAF,t1,t2 的值都滿足條件.SPOE12OE|t|,當(dāng) t215 時(shí) ,SOPE12×1×215115 ；當(dāng) t23 時(shí),SOPE12×1×2313.綜上所述,POE 的面積為 115 或 13.中考專題過關(guān)1.(2018自貢中考改編) 如圖,拋物線 yax2 bx3過 A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn),直線 AD 交拋物線于點(diǎn) D,點(diǎn) D的橫坐標(biāo)為2,點(diǎn) P(m,n)是線段 AD 上的動點(diǎn).(1)求直線 AD 及拋物線的解析式；(2)過點(diǎn) P 的直線垂直于 x 軸,交拋物線于點(diǎn) Q,求線段PQ 的長度 l 與 m 的關(guān)系式,m 為何值時(shí) ,PQ 最長？解：(1)把(1,0),(3,0)代入 yax2bx 3, 得ab3 0，9a3b 30，解得 a1，b2 ，拋物線的解析式為 yx2 2x3.當(dāng) x2 時(shí),y( 2)22×(2)3 3,即 D(2,3).設(shè)直線 AD 的解析式為 ykxb .將 A(1,0),D(2,3) 代入,得k b0，2kb3，解得k 1，b1，直線 AD 的解析式為 yx1 ；(2)由(1) 可得 P(m,m1),Q(m,m2 2m3),l(m 1)(m22m3),即 lm2m2( 2m1),配方,得 lm122 94,當(dāng) m12 時(shí),PQ 最長.2.(2018中考改編) 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中 ,拋物線yax2bx5 交 y 軸于點(diǎn) A,交 x 軸于點(diǎn) B(5,0)和點(diǎn) C(1,0).(1)求該拋物線的解析式；(2)若點(diǎn) P 是直線 AB 下方的拋物線上一動點(diǎn),當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動到某一位置時(shí),ABP 的面積最大,求出此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)和ABP 的最大面積.解：(1)拋物線 yax2bx 5 交 y 軸于點(diǎn) A,交 x 軸于點(diǎn) B(5,0)和點(diǎn) C(1,0),25a5b50，ab50，解得 a1 ，b4，該拋物線的解析式為 yx2 4x5 ；(2)設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(p,p24p5),如圖.由點(diǎn) A(0,5),B(5,0) 得直線 AB 的解析式為yx5.當(dāng) x p 時(shí),yp5.OB5,SABP（p5）（p24p5 ）2552p522 254.點(diǎn) P 是直線 AB 下方的拋物線上一動點(diǎn),5p0,當(dāng) p52 時(shí),S 取得最大值,此時(shí) S 1258,點(diǎn) P 的坐標(biāo)是52，354,即當(dāng)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 52，354 時(shí),ABP 的面積最大,此時(shí)ABP 的面積是 1258.3.(2018泰安中考改編) 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中 ,二次函數(shù) yax2 bxc 交 x 軸于點(diǎn) A(4,0),B(2,0), 交y 軸于點(diǎn) C(0,6),在 y 軸上有一點(diǎn) E(0,2),連接 AE.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn) P,使 AEP 為等腰三角形？若存在,請求出所有 P 點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在 ,請說明理由.解：(1)二次函 數(shù) yax2bxc 經(jīng)過點(diǎn) A(4,0),B(2,0),C(0,6),16a4bc0 ，4a2bc 0，c6 ，解得a34 ，b32，c6 ，二次函數(shù)的表達(dá)式為 y34x232x6；(2)在拋物線對稱軸上存在點(diǎn) P,使 AEP 為等腰三角形.拋物線 y34x2 32x6 的對稱軸為 x1, 設(shè) P(1,n).又E(0,2),A(4,0),PA9n2,PE1（n2）2,AE 16425.當(dāng) PAPE 時(shí),9n21（n2）2,解得 n1,此時(shí) P(1,1) ；當(dāng) PAAE 時(shí),9n225,解得 n±11,此時(shí) P(1,±11)；當(dāng) PEAE 時(shí),1（n2 ）225,解得 n2±19,此時(shí) P (1,2±19).綜上所述,點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (1,1),(1, ±11)或(1,2±19).4.(2018上海中考) 如圖,在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,已知拋物線 y12x2 bxc 經(jīng)過點(diǎn) A(1,0) 和點(diǎn)B0，52,頂點(diǎn)為 C,點(diǎn) D 在其對稱軸上且位于點(diǎn) C 下方,將線段 DC 繞點(diǎn) D 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90°,點(diǎn) C 落在拋物線上的點(diǎn) P 處 .(1)求這條拋物線的表達(dá)式；(2)求線段 CD 的長；(3)將拋物線平移,使其頂點(diǎn) C 移到原點(diǎn) O 的位置,這時(shí)點(diǎn) P 落在點(diǎn) E 的位置,如果 點(diǎn) M 在 y 軸上,且以 O,D,E,M為頂點(diǎn)的四邊形面積為 8,求點(diǎn) M 的坐標(biāo).解：(1)把 A(1,0),B0，52 代入 y12x2bxc,得12 bc0 ，c52，解得 b2，c52，這條拋物線的表達(dá)式為 y12x22x 52；(2)y 12(x2)292,C2，92,拋物線的對稱軸為直線 x2.如圖,設(shè) CDt, 則 D2，92t.由題意,得PDC90 °,DPDC t,P2t， 92t.把 P2t ，92t 代入 y12x22x52,可得t10(舍去),t22.線段 CD 的長為 2；(3)由(2) 易知 P4，52,D2，52.平移后,E 點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2).設(shè) M(0,m),則 12|m|52228,m ±72,點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 0，72 或 0， 72.5.(2018綿陽中考改編) 如圖,已知拋物線yax2bx(a0)過點(diǎn) A(3,3)和點(diǎn) B(33,0).過點(diǎn) A 作直線 ACx 軸, 交 y 軸于點(diǎn) C.(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線上取一點(diǎn) P,過點(diǎn) P 作直線 AC 的垂線,垂足為點(diǎn) D.連接 OA,使得以 A,D,P 為頂點(diǎn)的三角形與AOC 相似,求出對應(yīng)點(diǎn) P 的坐標(biāo).解：(1)把點(diǎn) A(3,3),B(33,0)代入 yax2bx,得3a 3b3，27a33b0，解得 a12，b332.拋物線的解析式為 y12x2 332x；(2)設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為 x，12x2 332x.若點(diǎn) P 在直線 AD 上方, 則ADx3,PD12x2 332x 3.當(dāng)OCAADP 時(shí),OCADCADP,即 3x3312x2332x3,x 833 或 x3( 舍去), 此時(shí) P833，43；當(dāng)OCAPDA 時(shí),OCPDCADA,即 312x2332x33x 3,x 43 或 x3( 舍去), 此時(shí) P(43,6)；若 P 在直線 AD 下方, 同理可得點(diǎn) P 的坐標(biāo)為433，103.綜上所述,點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 833，43,(43,6)或433，103.6.如圖,在 C 的內(nèi)接AOB 中,AB AO4,tan AOB34,拋物線 yax2bx 經(jīng)過點(diǎn) A(4,0),(2,6).(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)直線 m 與C 相切于點(diǎn) A,交 y 軸于點(diǎn) D.動點(diǎn) P 在線段 OB 上,從點(diǎn) O 出發(fā)向點(diǎn) B 運(yùn)動；同時(shí)動點(diǎn) Q 在線段 DA 上, 從點(diǎn) D 出發(fā)向點(diǎn) A 運(yùn)動；點(diǎn) P 的速度為每秒 1 個(gè)單位長度,點(diǎn) Q 的速度為每秒 2 個(gè)單位長度.當(dāng) PQAD 時(shí),求運(yùn)動時(shí)間 t 的值.解：(1)拋物線 yax2bx 經(jīng)過點(diǎn) A(4,0),(2,6),16a4b0，4a2b6，解得 a12，b2.拋物線的解析式為 y12x2 2x.(2)連接 AC 交 OB 于點(diǎn) E,由垂徑定理得 ACOB.AD 為C 的切線,ACAD.ADOB.AOBOAD.tan AOB34,tan OAD34.ODOA tan OAD4×343.當(dāng) PQAD 時(shí),OPt,DQ 2t.過點(diǎn) O 作 OFAD 于點(diǎn) F,則四邊形 OFQP 是矩形.DFDQ FQ DQOP2t t t.DOFAOFOAF AOF 90°,DOFOAF.tan DOFDFOFtan OAD 34.OF43DF.在 RtODF 中,OD3,OF 43DF,OD2OF2 DF2,32 ( DF)2DF2.DF1.8.t1.8(s).