專題14 推理與證明、新定義1. 【2006高考北京理第8題】下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進出路口的機動車輛數(shù)如圖所示，圖中分別表示該時段單位時間通過路段的機動車輛數(shù)（假設：單位時間內，在上述路段中，同一路段上駛入與駛出的車輛數(shù)相等），則20，30；35，30；55，50 （ ）（A）（B）（C）（D）【答案】C2. 【2009高考北京理第8題】點在直線上，若存在過的直線交拋物線于兩點，且，則稱點為“點”，那么下列結論中正確的是 （ ） A直線上的所有點都是“點” B直線上僅有有限個點是“點” C直線上的所有點都不是“點” D直線上有無窮多個點（點不是所有的點）是“點”【答案】A考點：創(chuàng)新題型.3. 【20xx高考北京理第8題】學生的語文、數(shù)學成績均被評為三個等級，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”.若學生甲的語文、數(shù)學成績都不低于學生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學生甲比學生乙成績好”.如果一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好，并且不存在語文成績相同、數(shù)學成績也相同的兩位學生，那么這組學生最多有（ ）A2人 B3人 C4人 D5人【答案】B考點：合情推理，中等題.4. 【2005高考北京理第14題】已知n次式項式. 如果在一種算法中，計算的值需要k1次乘法，計算P3（x0）的值共需要9次運算（6次乘法，3次加法），那么計算P10（x0）的值共需要 次運算.下面給出一種減少運算次數(shù)的算法：P0（x）=a0，Pk+1（x）=xPk（x）+ak+1（k=0，1，2，n1）.利用該算法，計算P3（x0）的值共需要6次運算，計算P10（x0）的值共需要 次運算.【答案】考點：信息題。5. 【2007高考北京理第20題】（本小題共13分）已知集合，其中，由中的元素構成兩個相應的集合：，其中是有序數(shù)對，集合和中的元素個數(shù)分別為和若對于任意的，總有，則稱集合具有性質 （I）檢驗集合與是否具有性質并對其中具有性質的集合，寫出相應的集合和；（II）對任何具有性質的集合，證明：；（III）判斷和的大小關系，并證明你的結論6. 【2008高考北京理第20題】（本小題共13分）對于每項均是正整數(shù)的數(shù)列，定義變換，將數(shù)列變換成數(shù)列對于每項均是非負整數(shù)的數(shù)列，定義變換，將數(shù)列各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數(shù)列；又定義設是每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令（）如果數(shù)列為5，3，2，寫出數(shù)列；（）對于每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列，證明；（）證明：對于任意給定的每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，存在正整數(shù)，當時，7. 【20xx高考北京理第20題】(13分)已知集合SnX|X(x1，x2，xn)，xi0,1，i1,2，n(n2)對于A(a1，a2，an)，B(b1，b2，bn)Sn，定義A與B的差為AB(|a1b1|，|a2b2|，|anbn|)；A與B之間的距離為d(A，B)(1)證明：A，B，CSn，有ABSn，且d(AC，BC)d(A，B)； (2)證明：A，B，CSn，d(A，B)，d(A，C)，d(B，C)三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)；(3)設PSn，P中有m(m2)個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為 (P)，證明：. 8. 【20xx高考北京理第20題】若數(shù)列：，滿足（，2，），則稱為E數(shù)列。記.（1）寫出一個滿足，且的E數(shù)列；（2）若，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是；（3）對任意給定的整數(shù)，是否存在首項為0的E數(shù)列，使得？如果存在，寫出一個滿足條件的E數(shù)列；如果不存在，說明理由。9. 【2012高考北京理第20題】（本小題共13分）設是由個實數(shù)組成的行列的數(shù)表，滿足：每個數(shù)的絕對值不大于，且所有數(shù)的和為零. 記為所有這樣的數(shù)表組成的集合. 對于，記為的第行各數(shù)之和（），為的第列各數(shù)之和（）；記為，中的最小值.（1）對如下數(shù)表，求的值； （2）設數(shù)表形如 求的最大值；（3）給定正整數(shù)，對于所有的，求的最大值.10. 【20xx高考北京理第20題】（本小題滿分13分）對于數(shù)對序列，記，其中表示和兩個數(shù)中最大的數(shù).（1）對于數(shù)對序列，求的值；（2）記為，四個數(shù)中最小的數(shù)，對于由兩個數(shù)對組成的數(shù)對序列和，試分別對和兩種情況比較和的大??；（3）在由五個數(shù)對組成的所有數(shù)對序列中，寫出一個數(shù)對序列使最小，并寫出的值.(只需寫出結論).考點：新定義題型.11. 【20xx高考北京，理8】汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是（ ）A消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油D某城市機動車最高限速80千米/小時. 相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油【答案】D考點：本題考點定位為函數(shù)應用問題，考查學生對新定義“燃油效率”的理解和對函數(shù)圖象的理解.12. 【20xx高考北京，理20】已知數(shù)列滿足：，且記集合（）若，寫出集合的所有元素；（）若集合存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；（）求集合的元素個數(shù)的最大值【答案】（1），（2）證明見解析，（3）8考點定位：1.分段函數(shù)形數(shù)列通項公式求值；2.歸納法證明；3.數(shù)列元素分析.