歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚，qq：2355394501絕密啟用前 2018年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)數學(理工類)本試卷分為第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第I卷1至2頁，第II卷3至5頁。 答卷前，考生務必將自己的姓名、準考號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試條形碼。答卷時，考生務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。 祝各位考生考試順利！第I卷注意事項：1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。2.本卷共8小題，每小題5分，共40分。參考公式：如果事件A，B互斥，那么 .如果事件A，B相互獨立，那么 .棱柱的體積公式，其中表示棱柱的底面面積，表示棱柱的高.棱錐的體積公式，其中表示棱錐的底面面積，表示棱錐的高.一. 選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 設全集為R，集合，則A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由題意首先求得，然后進行交集運算即可求得最終結果.詳解：由題意可得：，結合交集的定義可得：.本題選擇B選項.點睛：本題主要考查交集的運算法則，補集的運算法則等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.2. 設變量x，y滿足約束條件 則目標函數的最大值為A. 6 B. 19 C. 21 D. 45【答案】C【解析】分析：首先畫出可行域，然后結合目標目標函數的幾何意義確定函數取得最大值的點，最后求解最大值即可.詳解：繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結合目標函數的幾何意義可知目標函數在點A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點A的坐標為：，據此可知目標函數的最大值為：.本題選擇C選項. 點睛：求線性目標函數zaxby(ab0)的最值，當b0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最??；當b0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.3. 閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序，若輸入N的值為20，則輸出T的值為 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】分析：由題意結合流程圖運行程序即可求得輸出的數值.詳解：結合流程圖運行程序如下：首先初始化數據：，結果為整數，執(zhí)行，此時不滿足；，結果不為整數，執(zhí)行，此時不滿足；，結果為整數，執(zhí)行，此時滿足；跳出循環(huán)，輸出.本題選擇B選項.點睛：識別、運行程序框圖和完善程序框圖的思路：(1)要明確程序框圖的順序結構、條件結構和循環(huán)結構(2)要識別、運行程序框圖，理解框圖所解決的實際問題(3)按照題目的要求完成解答并驗證4. 設，則“”是“”的A. 充分而不必要條件B. 必要而不重復條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】分析：首先求解絕對值不等式，然后求解三次不等式即可確定兩者之間的關系.詳解：絕對值不等式 ，由 .據此可知是的充分而不必要條件.本題選擇A選項.點睛：本題主要考查絕對值不等式的解法，充分不必要條件的判斷等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.5. 已知，則a，b，c的大小關系為A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由題意結合對數函數的性質整理計算即可求得最終結果.詳解：由題意結合對數函數的性質可知：，據此可得：.本題選擇D選項.點睛：對于指數冪的大小的比較，我們通常都是運用指數函數的單調性，但很多時候，因冪的底數或指數不相同，不能直接利用函數的單調性進行比較這就必須掌握一些特殊方法在進行指數冪的大小比較時，若底數不同，則首先考慮將其轉化成同底數，然后再根據指數函數的單調性進行判斷對于不同底而同指數的指數冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準確6. 將函數的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數A. 在區(qū)間上單調遞增 B. 在區(qū)間上單調遞減C. 在區(qū)間上單調遞增 D. 在區(qū)間上單調遞減【答案】A【解析】分析：由題意首先求得平移之后的函數解析式，然后確定函數的單調區(qū)間即可.詳解：由函數圖象平移變換的性質可知：將的圖象向右平移個單位長度之后的解析式為：.則函數的單調遞增區(qū)間滿足：，即，令可得一個單調遞增區(qū)間為：.函數的單調遞減區(qū)間滿足：，即，令可得一個單調遞減區(qū)間為：.本題選擇A選項.點睛：本題主要考查三角函數的平移變換，三角函數的單調區(qū)間的判斷等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.7. 已知雙曲線的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點. 設A，B到雙曲線同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由題意首先求得A,B的坐標，然后利用點到直線距離公式求得b的值，之后求解a的值即可確定雙曲線方程.詳解：設雙曲線的右焦點坐標為（c>0），則，由可得：，不妨設：，雙曲線的一條漸近線方程為：，據此可得：，則，則，雙曲線的離心率：，據此可得：，則雙曲線的方程為.本題選擇C選項.點睛：求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數法具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標準方程的形式，然后再根據a，b，c，e及漸近線之間的關系，求出a，b的值如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標準方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出的值即可.8. 如圖，在平面四邊形ABCD中，. 若點E為邊CD上的動點，則的最小值為 A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由題意建立平面直角坐標系，然后結合點的坐標得到數量積的坐標表示，最后結合二次函數的性質整理計算即可求得最終結果.詳解：建立如圖所示的平面直角坐標系，則， 點在上，則，設，則：，即，據此可得：，且：，由數量積的坐標運算法則可得：，整理可得：，結合二次函數的性質可知，當時，取得最小值.本題選擇A選項.點睛：求兩個向量的數量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數量積的幾何意義具體應用時可根據已知條件的特征來選擇，同時要注意數量積運算律的應用 2018年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)數 學(理工類)第卷注意事項：1. 用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。2. 本卷共12小題，共110分。二. 填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。9. i是虛數單位，復數_.【答案】4i 【解析】分析：由題意結合復數的運算法則整理計算即可求得最終結果.詳解：由復數的運算法則得：.點睛：本題主要考查復數的運算法則及其應用，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.10. 在的展開式中，的系數為_.【答案】【解析】分析：由題意結合二項式定理展開式的通項公式得到r的值，然后求解的系數即可.詳解：結合二項式定理的通項公式有：，令可得：，則的系數為：.點睛：(1)二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(求解時要注意二項式系數中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數，且nr，如常數項指數為零、有理項指數為整數等)；第二步是根據所求的指數，再求所求解的項(2)求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數原理討論求解11. 已知正方體的棱長為1，除面外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F，G，H，M(如圖)，則四棱錐的體積為_. 【答案】【解析】分析：由題意首先求解底面積，然后結合四棱錐的高即可求得四棱錐的體積.詳解：由題意可得，底面四邊形為邊長為的正方形，其面積，頂點到底面四邊形的距離為，由四棱錐的體積公式可得：.點睛：本題主要考查四棱錐的體積計算，空間想象能力等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.12. 已知圓的圓心為C，直線(為參數)與該圓相交于A，B兩點，則的面積為_.【答案】【解析】分析：由題意首先求得圓心到直線的距離，然后結合弦長公式求得弦長，最后求解三角形的面積即可.詳解：由題意可得圓的標準方程為：，直線的直角坐標方程為：，即，則圓心到直線的距離：，由弦長公式可得：，則.點睛：處理直線與圓的位置關系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，則用幾何法；若方程中含有參數，或圓心到直線的距離的表達較繁瑣，則用代數法13. 已知，且，則的最小值為_.【答案】【解析】分析：由題意首先求得a-3b的值，然后結合均值不等式的結論整理計算即可求得最終結果，注意等號成立的條件.詳解：由可知，且：，因為對于任意x，恒成立，結合均值不等式的結論可得：.當且僅當，即時等號成立.綜上可得的最小值為.點睛：在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正各項均為正；二定積或和為定值；三相等等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現錯誤14. 已知，函數若關于的方程恰有2個互異的實數解，則的取值范圍是_.【答案】【解析】分析：由題意分類討論和兩種情況，然后繪制函數圖像，數形結合即可求得最終結果.詳解：分類討論：當時，方程即，整理可得：，很明顯不是方程的實數解，則，當時，方程即，整理可得：，很明顯不是方程的實數解，則，令，其中，原問題等價于函數與函數有兩個不同的交點，求的取值范圍.結合對勾函數和函數圖象平移的規(guī)律繪制函數的圖象，同時繪制函數的圖象如圖所示，考查臨界條件，結合觀察可得，實數的取值范圍是.點睛：本題的核心在考查函數的零點問題，函數零點的求解與判斷方法包括：(1)直接求零點：令f(x)0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點(3)利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點 三.解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15. 在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（I）求角B的大小；（II）設a=2，c=3，求b和的值.【答案】()；()，.【解析】分析：（）由題意結合正弦定理邊化角結合同角三角函數基本關系可得，則B=（）在ABC中，由余弦定理可得b=結合二倍角公式和兩角差的正弦公式可得詳解：（）在ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得又因為，可得B=（）在ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=由，可得因為a<c，故因此， 所以， 點睛：在處理三角形中的邊角關系時，一般全部化為角的關系，或全部化為邊的關系題中若出現邊的一次式一般采用到正弦定理，出現邊的二次式一般采用到余弦定理應用正、余弦定理時，注意公式變式的應用解決三角形問題時，注意角的限制范圍 16. 已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數分別為24，16，16.現采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調查.（I）應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數，求隨機變量X的分布列與數學期望；（ii）設A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.【答案】（）從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人（）（i）答案見解析；（ii）【解析】分析：（）由分層抽樣的概念可知應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人（）（i）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3且分布列為超幾何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）據此求解分布列即可，計算相應的數學期望為（ii）由題意結合題意和互斥事件概率公式可得事件A發(fā)生的概率為詳解：（）由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數之比為322，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人（）（i）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3P（X=k）=（k=0，1，2，3）所以，隨機變量X的分布列為X0123P 隨機變量X的數學期望（ii）設事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則A=BC，且B與C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=所以，事件A發(fā)生的概率為點睛：本題主要在考查超幾何分布和分層抽樣.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數超幾何分布的特征是：考查對象分兩類；已知各類對象的個數；從中抽取若干個個體，考查某類個體個數X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質是古典概型進行分層抽樣的相關計算時，常利用以下關系式巧解：(1) ；(2)總體中某兩層的個體數之比樣本中這兩層抽取的個體數之比 17. 如圖，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，DA=DC=DG=2.（I）若M為CF的中點，N為EG的中點，求證：；（II）求二面角的正弦值；（III）若點P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60，求線段DP的長. 【答案】()證明見解析；()；().【解析】分析：依題意，可以建立以D為原點，分別以，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標系.（）由題意可得：平面CDE的一個法向量n0=（1，0，1）又=（1，1），故，MN平面CDE（）依題意可得平面BCE的一個法向量n=（0，1，1）平面BCF的一個法向量為m=（0，2，1）據此計算可得二面角EBCF的正弦值為（）設線段DP的長為h（h0，2），則點P的坐標為（0，0，h），結合空間向量的結論計算可得線段的長為.詳解：依題意，可以建立以D為原點，分別以，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標系（如圖），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，1），N（1，0，2） （）依題意=（0，2，0），=（2，0，2）設n0=(x，y，z)為平面CDE的法向量，則 即 不妨令z=1，可得n0=（1，0，1）又=（1，1），可得，又因為直線MN平面CDE，所以MN平面CDE（）依題意，可得=（1，0，0），=（0，1，2）設n=（x，y，z）為平面BCE的法向量，則 即 不妨令z=1，可得n=（0，1，1）設m=（x，y，z）為平面BCF的法向量，則 即 不妨令z=1，可得m=（0，2，1）因此有cos<m，n>=，于是sin<m，n>=所以，二面角EBCF的正弦值為（）設線段DP的長為h（h0，2），則點P的坐標為（0，0，h），可得易知，=（0，2，0）為平面ADGE的一個法向量，故，由題意，可得=sin60=，解得h=0，2所以線段的長為.點睛：本題主要考查空間向量的應用，線面平行的證明，二面角問題等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.18. 設是等比數列，公比大于0，其前n項和為，是等差數列.已知，.（I）求和的通項公式；（II）設數列的前n項和為，（i）求；（ii）證明.【答案】()，；()（i）.（ii）證明見解析.【解析】分析：（I）由題意得到關于q的方程，解方程可得，則.結合等差數列通項公式可得 （II）（i）由（I），有，則.（ii）因為，裂項求和可得.詳解：（I）設等比數列的公比為q.由可得.因為，可得，故.設等差數列的公差為d，由，可得由，可得 從而 故 所以數列的通項公式為，數列的通項公式為（II）（i）由（I），有，故.（ii）因為，所以.點睛：本題主要考查數列通項公式的求解，數列求和的方法，數列中的指數裂項方法等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力. 19. 設橢圓(a>b>0)的左焦點為F，上頂點為B. 已知橢圓的離心率為，點A的坐標為，且.（I）求橢圓的方程；（II）設直線l：與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q. 若(O為原點) ，求k的值.【答案】()；()或【解析】分析：（）由題意結合橢圓的性質可得a=3，b=2則橢圓的方程為（）設點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（x2，y2）由題意可得5y1=9y2由方程組可得由方程組可得據此得到關于k的方程，解方程可得k的值為或詳解：（）設橢圓的焦距為2c，由已知知，又由a2=b2+c2，可得2a=3b由已知可得，由，可得ab=6，從而a=3，b=2所以，橢圓的方程為（）設點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（x2，y2）由已知有y1>y2>0，故又因為，而OAB=，故由，可得5y1=9y2由方程組消去x，可得易知直線AB的方程為x+y2=0，由方程組消去x，可得由5y1=9y2，可得5（k+1）=，兩邊平方，整理得，解得，或所以，k的值為或點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題 20. 已知函數，其中a>1.（I）求函數的單調區(qū)間；（II）若曲線在點處的切線與曲線在點 處的切線平行，證明；（III）證明當時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.【答案】()單調遞減區(qū)間，單調遞增區(qū)間為；()證明見解析；()證明見解析.【解析】分析：（I）由題意可得.令，解得x=0.據此可得函數的單調遞減區(qū)間，單調遞增區(qū)間為.（II）曲線在點處的切線斜率為.曲線在點處的切線斜率為.原問題等價于.兩邊取對數可得.（III）由題意可得兩條切線方程分別為l1：.l2：.則原問題等價于當時，存在，使得l1和l2重合.轉化為當時，關于x1的方程存在實數解，構造函數，令，結合函數的性質可知存在唯一的x0，且x0>0，使得，據此可證得存在實數t，使得，則題中的結論成立.詳解：（I）由已知，有.令，解得x=0.由a>1，可知當x變化時，的變化情況如下表：x00+極小值 所以函數的單調遞減區(qū)間，單調遞增區(qū)間為.（II）由，可得曲線在點處的切線斜率為.由，可得曲線在點處的切線斜率為.因為這兩條切線平行，故有，即.兩邊取以a為底的對數，得，所以.（III）曲線在點處的切線l1：.曲線在點處的切線l2：.要證明當時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線，只需證明當時，存在，使得l1和l2重合.即只需證明當時，方程組有解，由得，代入，得. 因此，只需證明當時，關于x1的方程存在實數解.設函數，即要證明當時，函數存在零點.，可知時，；時，單調遞減，又，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.由此可得在上單調遞增，在上單調遞減. 在處取得極大值.因為，故，所以.下面證明存在實數t，使得.由（I）可得，當時，有，所以存在實數t，使得因此，當時，存在，使得.所以，當時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.點睛：導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系 (2)利用導數求函數的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數 (3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題 (4)考查數形結合思想的應用 河北、山東、甘肅、陜西、內蒙古、北京、天津 資源投稿 qq：2355394501