第五講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）一、選擇題1曲線yex在點(diǎn)(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為()Ae2B2e2Ce2D解析：由題意可得yex，則所求切線的斜率ke2，則所求切線方程為ye2e2(x2)即ye2xe2，S1e2.答案：D2(2018西寧一檢)設(shè)曲線y在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線axy10垂直，則a()A2B2CD解析：由y得曲線在點(diǎn)(3,2)處的切線斜率為，又切線與直線axy10垂直，則a2.答案：A3(2018北京模擬)曲線f(x)xln x在點(diǎn)(1，f(1)處的切線的傾斜角為()ABCD解析：因?yàn)閒(x)xln x，所以f(x)ln xxln x1，所以f(1)1，所以曲線f(x)xln x在點(diǎn)(1，f(1)處的切線的傾斜角為.答案：B4已知函數(shù)f(x)x25x2ln x，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A和(1，)B(0,1)和(2，)C和(2，)D(1,2)解析：函數(shù)f(x)x25x2ln x的定義域是(0，)，令f(x)2x5>0，解得0<x<或x>2，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是和(2，)答案：C5函數(shù)f(x)在定義域R內(nèi)可導(dǎo)，若f(x)f(2x)，且當(dāng)x(，1)時(shí)，(x1)f(x)<0，設(shè)af(0)，bf，cf(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()Aa<b<cBc<b<aCc<a<bDb<c<a解析：因?yàn)楫?dāng)x(，1)時(shí)，(x1)f(x)<0，所以f(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(，1)上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以af(0)<fb，又f(x)f(2x)，所以cf(3)f(1)，所以cf(1)<f(0)a，所以c<a<b，故選C.答案：C6已知函數(shù)f(x)x33x29x1，若f(x)在區(qū)間k,2上的最大值為28，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A3，)B(3，)C(，3)D(，3解析：由題意知f(x)3x26x9，令f(x)0，解得x1或x3，所以f(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)f(x)00f(x)極大值極小值又f(3)28，f(1)4，f(2)3，f(x)在區(qū)間k,2上的最大值為28，所以k3.答案：D7已知函數(shù)f(x)k，若x2是函數(shù)f(x)的唯一一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A(，eB0，eC(，e)D0，e)解析：f(x)k(x>0)設(shè)g(x)，則g(x)，則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增g(x)在(0，)上有最小值，為g(1)e，結(jié)合g(x)與yk的圖象可知，要滿足題意，只需ke.答案：A8已知函數(shù)f(x)ln xnx(n>0)的最大值為g(n)，則使g(n)n2>0成立的n的取值范圍為()A(0,1)B(0，)CD解析：易知f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)n(x>0，n>0)，當(dāng)x時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以f(x)的最大值g(n)fln n1.設(shè)h(n)g(n)n2ln nn1.因?yàn)閔(n)1<0，所以h(n)在(0，)上單調(diào)遞減又h(1)0，所以當(dāng)0<n<1時(shí)，h(n)>h(1)0，故使g(n)n2>0成立的n的取值范圍為(0,1)，故選A.答案：A二、填空題9(2018高考全國卷)曲線y2ln x在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為_解析：因?yàn)閥，y|x12，所以切線方程為y02(x1)，即y2x2.答案：y2x210(2016高考全國卷)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)ex1x，則曲線yf(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程是_解析：設(shè)x>0，則x<0，f(x)ex1x.f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)，f(x)ex1x.當(dāng)x>0時(shí)，f(x)ex11，f(1)e111112.曲線yf(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為y22(x1)，即2xy0.答案：2xy011(2018太原二模)若函數(shù)f(x)sin xax為R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：f(x)cos xa，由題意可知，f(x)0對任意的xR都成立，a1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，1答案：(，112(2018新鄉(xiāng)一模)設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)x32ax2a2x的兩個(gè)極值點(diǎn)，若x1<2<x2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意得f(x)3x24axa2的兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2滿足x1<2<x2，所以f(2)128aa2<0，解得2<a<6.答案：(2,6)三、解答題13已知函數(shù)f(x)x1(aR，e為自然對數(shù)的底數(shù))(1)若曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線平行于x軸，求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值解析：(1)由f(x)x1，得f(x)1.又曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線平行于x軸，得f(1)0，即10，解得ae.(2)f(x)1，當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0，f(x)為(，)上的增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)無極值當(dāng)a>0時(shí)，令f(x)0，得exa，即xln ax(，ln a)時(shí)，f(x)<0；x(ln a，)時(shí)，f(x)>0，所以f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增，故f(x)在xln a處取得極小值，且極小值為f(ln a)ln a，無極大值綜上，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在xln a處取得極小值ln a，無極大值14(2018福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)aln xx2ax(aR)(1)若x3是f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求g(x)f(x)2x在區(qū)間1，e上的最小值h(a)解析：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2xa，因?yàn)閤3是f(x)的極值點(diǎn)，所以f(3)0，解得a9，所以f(x)，所以當(dāng)0<x<或x>3時(shí)，f(x)>0；當(dāng)<x<3時(shí)，f(x)<0.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，(3，)，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)g(x)aln xx2ax2x，則g(x)2.令g(x)0，得x或x1.當(dāng)1，即a2時(shí)，g(x)在1，e上為增函數(shù)，h(a)ming(1)a1；當(dāng)1<<e，即2<a<2e時(shí)，g(x)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，h(a)mingaln a2a；當(dāng)e，即a2e時(shí)，g(x)在1，e上為減函數(shù)，h(a)ming(e)(1e)ae22e.綜上，h(a)min