培優(yōu)點十七 離心率1離心率的值例1：設，分別是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，線段的中點在軸上，若，則橢圓的離心率為（ ）ABCD【答案】A【解析】本題存在焦點三角形，由線段的中點在軸上，為中點可得軸，從而，又因為，則直角三角形中，且，所以，故選A2離心率的取值范圍例2：已知是雙曲線的左焦點，是該雙曲線的右頂點，過點且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（ ）ABCD【答案】B【解析】從圖中可觀察到若為銳角三角形，只需要為銳角由對稱性可得只需即可且，均可用，表示，是通徑的一半，得：，所以，即，故選B對點增分集訓一、單選題1若雙曲線的一條漸近線經過點，則該雙曲線的離心率為（ ）ABCD【答案】D【解析】雙曲線的漸近線過點，代入，可得：，即，故選D2傾斜角為的直線經過橢圓右焦點，與橢圓交于、兩點，且，則該橢圓的離心率為（ ）ABCD【答案】A【解析】設直線的參數(shù)方程為，代入橢圓方程并化簡得，所以，由于，即，代入上述韋達定理，化簡得，即，故選A3九章算術是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應用，還提出了一元二次方程的解法問題直角三角形的三條邊長分別稱“勾”“股”“弦”設、分別是雙曲線，的左、右焦點，是該雙曲線右支上的一點，若，分別是的“勾”“股”，且，則雙曲線的離心率為（ ）ABC2D【答案】D【解析】由雙曲線的定義得，所以，即，由題意得，所以，又，所以，解得，從而離心率，故選D4已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點相同，它們交于，兩點，且直線過點，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD2【答案】C【解析】設雙曲線的左焦點坐標為，由題意可得：，則，即，又：，據(jù)此有：，即，則雙曲線的離心率：本題選擇C選項5已知點在橢圓上，若點為橢圓的右頂點，且（為坐標原點），則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意，所以點在以為直徑的圓上，圓心為，半徑為，所以圓的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立得：，此方程在區(qū)間上有解，由于為此方程的一個根，且另一根在此區(qū)間內，所以對稱軸要介于與之間，所以，結合，解得，根據(jù)離心率公式可得故選C6已知橢圓，點，是長軸的兩個端點，若橢圓上存在點，使得，則該橢圓的離心率的最小值為（ ）ABCD【答案】C【解析】設為橢圓短軸一端點，則由題意得，即，因為，所以，故選C7已知雙曲線的左，右焦點分別為，點在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率的最大值為（ ）ABC2D【答案】B【解析】由雙曲線的定義知 ；又， 聯(lián)立解得，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，當時，解得，即的最大值為，故選B解法二：由雙曲線的定義知 ，又， ，聯(lián)立解得，因為點在右支所以，即故，即的最大值為，故選B8已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，為坐標原點，若，且，則該橢圓的離心率為（ ）ABCD【答案】D【解析】由橢圓的定義可得，又，可得，即為橢圓的短軸的端點，且，即有，即為，故選D9若直線與雙曲線有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍為（ ）ABCD【答案】D【解析】雙曲線的漸近線方程為，由雙曲線與直線有交點，則有，即有，則雙曲線的離心率的取值范圍為，故選D10我們把焦點相同且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關曲線”已知，是一對相關曲線的焦點，分別是橢圓和雙曲線的離心率，若P為它們在第一象限的交點，則雙曲線的離心率（ ）AB2CD3【答案】C【解析】設，橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，可得，可得，由余弦定理可得，即有，由離心率公式可得，即有，解得，故選C11又到了大家最喜（tao）愛（yan）的圓錐曲線了已知直線與橢圓交于、兩點，與圓交于、兩點若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】直線，即，直線恒過定點，直線過圓的圓心，的圓心為、兩點中點，設，上下相減可得：，化簡可得，故選C12已知點為雙曲線右支上一點，點，分別為雙曲線的左右焦點，點是的內心（三角形內切圓的圓心），若恒有成立，則雙曲線的離心率取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】設的內切圓半徑為，由雙曲線的定義得，由題意得，故，故，又，所以，雙曲線的離心率取值范圍是，故選D二、填空題13已知拋物線與雙曲線有相同的焦點，點是兩曲線的一個交點，若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為_【答案】【解析】如圖所示，設雙曲線的另外一個焦點為，由于的斜率為，所以，且，所以是等邊三角形，所以，所以，所以，所以，由雙曲線的定義可知，所以雙曲線的離心率為14已知雙曲線，其左右焦點分別為，若是該雙曲線右支上一點，滿足，則離心率的取值范圍是_【答案】【解析】設點的橫坐標為，在雙曲線右支上，根據(jù)雙曲線的第二定義，可得，故答案為15已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線與橢圓交于，的兩點，且軸，若為橢圓上異于，的動點且，則該橢圓的離心率為_【答案】【解析】根據(jù)題意，因為軸且，假設在第一象限，則，過作軸于，則易知，由得，所以，所以，代入橢圓方程得，即，又，所以，所以橢圓離心率為故答案為16在平面直角坐標系中，記橢圓的左右焦點分別為，若該橢圓上恰好有6個不同的點，使得為等腰三角形，則該橢圓的離心率的取值范圍是_【答案】【解析】橢圓上恰好有6個不同的點，使得為等腰三角形，6個不同的點有兩個為橢圓短軸的兩個端點，另外四個分別在第一、二、三、四象限，且上下對稱左右對稱，設在第一象限，當時，即，解得，又因為，所以，當時，即且，解得：，綜上或三、解答題17已知雙曲線的的離心率為，則（1）求雙曲線的漸進線方程（2）當時，已知直線與雙曲線交于不同的兩點，且線段的中點在圓上，求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意，得，即，所求雙曲線的漸進線方程（2）由（1）得當時，雙曲線的方程為設，兩點的坐標分別為，線段的中點為，由，得（判別式），點在圓上，18已知橢圓的左焦點為，離心率（1）求橢圓的標準方程；（2）已知直線交橢圓于，兩點若直線經過橢圓的左焦點，交軸于點，且滿足，求證：為定值；若，求面積的取值范圍【答案】（1）；（2）見解析，【解析】（1）由題設知，所以，所以橢圓的標準方程為（2）由題設知直線斜率存在，設直線方程為，則設，直線代入橢圓得，所以，由，知，當直線，分別與坐標軸重合時，易知當直線，斜率存在且不為0時，設，設，直線代入橢圓得到，所以，同理，令，則，因為，所以，故，綜上