專題02 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識必備一、正弦函數(shù),余弦函數(shù),正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)圖象定義域值域最值當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，既無最大值，也無最小值周期性最小正周期為最小正周期為最小正周期為奇偶性,奇函數(shù)，偶函數(shù)，奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)對稱性對稱中心；對稱軸，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形.對稱中心；對稱軸，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形.對稱中心；無對稱軸，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形.二、函數(shù)的圖象與性質(zhì)1函數(shù)的圖象的畫法（1）變換作圖法由函數(shù)的圖象通過變換得到（A>0,>0）的圖象，有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.如下圖. （2）五點作圖法找五個關(guān)鍵點，分別為使y取得最小值、最大值的點和曲線與x軸的交點.其步驟為： 先確定最小正周期T=,在一個周期內(nèi)作出圖象； 令,令X分別取0，,求出對應(yīng)的x值，列表如下：由此可得五個關(guān)鍵點； 描點畫圖，再利用函數(shù)的周期性把所得簡圖向左右分別擴展，從而得到的簡圖.2函數(shù)（A>0,>0）的性質(zhì)（1）奇偶性：時，函數(shù)為奇函數(shù)；時，函數(shù)為偶函數(shù). （2）周期性：存在周期性，其最小正周期為T= .（3）單調(diào)性：根據(jù)y=sint和t=的單調(diào)性來研究，由得單調(diào)增區(qū)間；由得單調(diào)減區(qū)間. （4）對稱性：利用y=sin x的對稱中心為求解，令，求得x. 利用y=sin x的對稱軸為求解，令，得其對稱軸.3函數(shù)（A>0,>0）的物理意義當(dāng)函數(shù)（A>0,>0,）表示一個簡諧振動量時，則A叫做振幅，T=叫做周期，f =叫做頻率,叫做相位，x=0時的相位叫做初相.核心考點考點一 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【例1】（奇偶性與對稱性）已知函數(shù)在處取得最大值，則函數(shù)是A偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點對稱 B偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點對稱C奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點對稱 D奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點對稱【答案】B 備考指南1對于函數(shù)y=Asin（x），其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點，因此在判斷直線x=x0或點（x0，0）是否為函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心時，可通過檢驗f（x0）的值進行判斷2若f（x）=Asin（x）為偶函數(shù)，則=k（kZ），同時當(dāng)x=0時，f（x）取得最大或最小值若f（x）=Asin（x）為奇函數(shù)，則=k（kZ），同時當(dāng)x=0時，f（x）=0.【例2】（周期性）已知函數(shù)，且，若的最小值為，則的值為A1 B C D2【答案】C 【解析】結(jié)合三角函數(shù)的圖象可知，即，則由三角函數(shù)的周期公式可得.故選C備考指南求三角函數(shù)的最小正周期，一般先通過恒等變形化為y=Asin(x)，y=Acos(x)，y=Atan(x)的形式，再分別應(yīng)用公式T=，T=，T=求解【例3】（單調(diào)性）已知函數(shù)的圖象的一個對稱中心為，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A BC D【答案】C 【解析】由題意得因此，所以選C備考指南1已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡單化原則，將解析式先化簡，并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”；求形如y=Asin（x）或y=Acos（x）（其中，>0）的單調(diào)區(qū)間時，要視“x”為一個整體，通過解不等式求解但如果<0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯2已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解3利用三角函數(shù)的單調(diào)性求值域（或最值）形如y=Asin（x）b或可化為y=Asin（x）b的三角函數(shù)的值域（或最值）問題常利用三角函數(shù)的單調(diào)性解決.【例4】（最值或值域問題）已知函數(shù)=（）的最大值為2，函數(shù)的圖象與軸的交點為（0，），現(xiàn)將的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若是偶函數(shù)，則在上的值域為 .【答案】【解析】因為=，所以，由函數(shù)的圖象與軸的交點為（0，1）得，解得，所以=，所以= =，由是偶函數(shù)得，即（），因為，所以，所以=，因為，所以，由正弦函數(shù)圖象知在上的值域為.備考指南1形如y=asinxbcosxk的三角函數(shù)化為y=Asin(x)k的形式，再求最值(值域)2形如y=asin2xbsinxk的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx=t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)3形如y=asinxcosxb(sinxcosx)c的三角函數(shù)，可先設(shè)t=sinxcosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值).【例5】（三角函數(shù)性質(zhì)的綜合）已知.（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的最大值，并寫出取最大值時自變量的集合；（3）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間.【解析】（1）函數(shù)的最小正周期.（3）令，得：，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為， ，是的單調(diào)遞增區(qū)間，令，得：，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，是的單調(diào)遞減區(qū)間.備考指南高考中常將三角函數(shù)的性質(zhì)綜合起來考查，熟練掌握三角函數(shù)的性質(zhì)：定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性以及三角圖象變換等，即可順利解決此類問題.考點二 三角函數(shù)的圖象變換【例6】（簡單的三角函數(shù)圖象變換）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)（ ）的圖象A BC D 【答案】B 【解析】，于是只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，即可得到函數(shù)的圖象故選B備考指南1對函數(shù)y=sin x，y=Asin(x)或y=Acos(x)的圖象，無論是先平移再伸縮，還是先伸縮再平移，只要平移|個單位，都是相應(yīng)的解析式中的x變?yōu)閤|，而不是x變?yōu)閤|.2注意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)再平移.【例7】（三角函數(shù)圖象變換與性質(zhì)的綜合）已知函數(shù)（）的最小正周期為，若將其圖象沿軸向右平移（）個單位，所得圖象關(guān)于對稱，則實數(shù)的最小值為A BC D【答案】C考點三 三角函數(shù)的解析式【例8】（由圖象確定三角函數(shù)的解析式）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則A B C D【答案】C 【解析】由圖象得，則函數(shù)的解析式為，將點代入得，又，所以，故選C備考指南1求A，B，已知函數(shù)的最大值M和最小值m，則.2求，已知函數(shù)的周期T，則.3求，常用方法有：代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時，A，B已知)五點法：確定值時，往往以尋找“五點法”中的第一個零點作為突破口，具體如下：“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點中距原點最近的交點)為x=0；“第二點”(即圖象的“峰點”)為x=；“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)為x=；“第四點”(即圖象的“谷點”)為x=；“第五點”為x=2.【例9】（三角函數(shù)解析式與性質(zhì)的綜合）已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，若，將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為A BC D【答案】D【解析】依題意，故，故，故，將點代入可得，因為，所以，故，則，令，解得，故選D能力突破1為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有的點A向左平移個單位長度 B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度 D向右平移個單位長度【答案】C 【解析】，所以向左平移個單位長度，選C【名師點睛】三角函數(shù)圖象變換是高考?？键c，必須熟練掌握.2函數(shù)的部分圖象如圖所示，則 A BC D【答案】D【解析】由已知得函數(shù)的最小正周期滿足又函數(shù)過點或，又函數(shù)過點，故選D【名師點睛】三角函數(shù)解析式的確定常以圖象為載體，綜合考查三角函數(shù)的性質(zhì).3已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到的圖象關(guān)于軸對稱，則當(dāng)取最小值時，的單調(diào)遞減區(qū)間為ABCD【答案】B 【解析】依題意得，故將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，則，故，因為，所以的最小值為，所以.令，即，即，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選B【名師點睛】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點，每年高考都會涉及，必須熟練掌握4已知函數(shù)（）的一個零點是，其圖象上一條對稱軸方程為，則當(dāng)取最小值時，下列說法正確的是 （填寫所有正確說法的序號）當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減；函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱【答案】【解析】由已知，或（），（），兩式相減得，又，故，此時，所以，又，則，所以，可知當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)先減后增，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，但不關(guān)于直線對稱，故填【名師點睛】對于三角函數(shù)性質(zhì)綜合問題，只要逐條掌握每條性質(zhì)即可順利求解.5設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值.【解析】（1）由題得.函數(shù)的最小正周期.由，得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）， ，的最大值是3.【名師點睛】此類問題常與三角函數(shù)公式相結(jié)合，注意二倍角公式，兩角和與差的正、余弦公式等，一定要將函數(shù)解析式化簡為（）的形式，再根據(jù)正弦（余弦）函數(shù)的性質(zhì)求解即可.高考通關(guān)1（2018天津理）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)A在區(qū)間上單調(diào)遞增 B在區(qū)間上單調(diào)遞減C在區(qū)間上單調(diào)遞增 D在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】A【解析】由函數(shù)圖象平移變換的性質(zhì)可知：將的圖象向右平移個單位長度之后的解析式為.則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足，即，令可得一個單調(diào)遞增區(qū)間為.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：，即，令可得一個單調(diào)遞減區(qū)間為：.故選A.【名師點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的判斷等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.2（2017新課標(biāo)理）已知曲線C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，則下面結(jié)論正確的是A把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2B把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2C把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2D把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2【答案】D【名師點睛】對于三角函數(shù)圖象變換問題，首先要將不同名函數(shù)轉(zhuǎn)換成同名函數(shù)，利用誘導(dǎo)公式，需要重點記??；另外，在進行圖象變換時，提倡先平移后伸縮，而先伸縮后平移在考試中也經(jīng)常出現(xiàn)，無論哪種變換，記住每一個變換總是對變量而言.3（2017新課標(biāo)理）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是A的一個周期為B的圖象關(guān)于直線對稱C的一個零點為D在(,)單調(diào)遞減【答案】D【解析】函數(shù)的最小正周期為，則函數(shù)的周期為，取，可得函數(shù)的一個周期為，選項A正確；函數(shù)圖象的對稱軸為，即，取，可得y=f(x)的圖象關(guān)于直線對稱，選項B正確；，函數(shù)的零點滿足，即，取，可得的一個零點為，選項C正確；當(dāng)時，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，選項D錯誤.故選D.【名師點睛】（1）求最小正周期時可先把所給三角函數(shù)式化為或的形式，則最小正周期為；奇偶性的判斷關(guān)鍵是解析式是否為或的形式.（2）求的對稱軸，只需令，求x；求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令即可.4（2017新課標(biāo)理）函數(shù)()的最大值是 .【答案】1【解析】化簡三角函數(shù)的解析式：，由自變量的范圍：可得：，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值1.【名師點睛】本題經(jīng)三角函數(shù)式的化簡將三角函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題，二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個二次”，它們常結(jié)合在一起，有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法.一般從：開口方向；對稱軸位置；判別式；端點函數(shù)值符號四個方面分析.5（2017浙江）已知函數(shù)（1）求的值（2）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間【解析】（1）由，得【名師點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡，以及函數(shù)的性質(zhì)，是高考中的常考知識點，屬于基礎(chǔ)題，強調(diào)基礎(chǔ)的重要性；三角函數(shù)解答題中，涉及到周期，單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間以及最值等考點時，都屬于考查三角函數(shù)的性質(zhì)，首先應(yīng)把它化為三角函數(shù)的基本形式即，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解你都掌握了嗎？ 有哪些問題？整理一下！